Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. Ф („"' Ф (хт) — Ф (хз). Формулу (5) называют общей формулой вариации для фунхцаонала, висящего от одной функции. Если'бх бх, = буз бут О, то на (б) и чаем ваоиацню функционала (!) в случае закрепленных концов. 9 !, Варнвционныв задачи с подвижными концами !8,' В. Необходжчое условие экстремума в вариацмонной задаче с подввкнымн нонцамн. Вариация функционала (1) в случае подвижных концов определяется формулой (Ь), а так как для экстремальных нрнвых должно выполняться условие 67 = О„то иыеем в б! = ~(Рд Рд'~"Ох+ Рд' г!к к бук Ри' »к» буэ+((Р— у' Ри ) бх)»"'=О. кк (6) Если функция у (х) с концевыми точками Рз и Рт дает экстремум функционалу (!), рассматриваемому нз всех допустимых кривых, то она тем более будет давать экстремум по отношению ко всем кривым, имеющим те же концевые точки Р, н Рт. Это означает, что у дает экстремум функционалу (1) на кривых, концы которых закреплены, а поэтому у (х) удовлетворяет уравнению Эйлера б Р = Рд -О.
бх (7) Следовательно, условие (6) для экстремальной кривой у (х) превращается в граничное условие Ри' (к „, буг+(Р— у Рд')(» — „, 6»з — Рд' !»=»,Оуо — (Р— у Ри')(к» (8) Из равенства (8) получим в отдельности условия для левых и правых концов экстремальных кривых, Проведем рассуждения, например, для правого конца. Если кривая у (х) с концевыми точками Р, н Р, дает экстремум функционалу (!) на всех допустимых кривых, то онэ тем более будет давать экстремум по отношению к кривым, имеющим левый конец в точке Рз, в этом случае буэ —— ° = 6»з — — 0 н условие (8) принимает внд Ри 1»=к бр~+(Р У Рд ) !к=к, 6»к (9) Аналогичные рассуждения показывают, что экстремальная кривая у (х) на левом конце удовлетворяет условию Рд (к к буе+(Р— у' Ри ) ( бхе=о.
(!0) Таким образом, если кривая у у(х) дает экстремум функционалу (!) в случае подвижных концов, то она удовлетворяет уравнению Эйлера (7) и граничным условиям (9) н (!0). На практике условиямн (9) и (!О) пользоваться неудобно, так как они содержат вариации 6»г, бу!, ! 1,2, причем вариации бу! может зависеть от бхь Однако этн условия (9) и (!0) будут использованы нами в следующих пунктах прн выводе естественных граничных условий и условий трансверсальностн.
3. Естественные граничные условия. На практике часто встреча. ется следующая варнационная задачи. Найти экстремум фун~щионала (1) при условии, чгпо конг(гл допустимых кривых лежат на прямых х = х, н х = х,. В этом случае у (х,) н у (х,) не заданы, но вариации бхе = бх, = О. Условия (9) и (1О) запишутся тогда в виде Рд („„6ук О, Рд ( к буз=О Отсюда вследствие произвольности бу, н бу, получаем условия г"и )„„,--О н Рд (...=О, (11» 184 «'П. Некоторые методы решения зариационных задач называемые ествственносии граничнь(лси условиями для функционала (1). Таким образом, для нахо|кдення экстремалей функционала (1) в случае, когда не заданы значения у (х,) и у (х,), следует решить уран- а нение Эйлера Рз — — Ра = О и произвольные постоянные определить из естественных граничных условий (11).
П р и м е р 1'. Найти экстремалн функционала 1(у) ~(уз — у'5 — 2уяп х)бх у при условии, что левый конец закреплен Ф (у (0) 0), а правый перемещается по й (Х 5 прямой х = а. На значение экстремали у (х) в пра„.у |х| вом ноице х н не накладывается никаких условий, поэтому для отысканив «й 15 экстремали следует найти решение уравне.
ния Эйлера у + у 5!п х прн естествен. иом граничном условии Р'„,|„ у') у х О. Общее решение уравнения Эйлера записывается в виде Рис. 41 1 У С,СОЗХ+С 51П Х= ХСО5 Х. 2 Тогда из условия у(0] 0 находим с, = О, а нз условия у' (и) 0 получаем уравнение созх ха|их 1! 1 у') = с,созх — — + = — с,+ — =О, откуда са = 1/2. Следовательно, экстремалью является кривая у 1 2 (55П Х вЂ” Х 505 Х). 4. Условие трансверсальностн. Рассмотрим вариационную задачу для функционала «, 1(у) =~ Р(х, у, у') бх «« в случае, когда концы допустимых кривых передвигаются по заданным линиям у = 52 (х) и у = ф (х).
Ради простоты будем считать, что один конец (левый) закреплен, а второй (правый) — перемещается по кривой у ф(х) (рнс. 41). Экстремальная кривая удовлетворяет уравнению Эйлера (7) и граничному условию (9), т. е. системе уравнений б Є— — Р„О, «х (в), Рв )«, бу, +(Р— у' Рэ ) (««бх, =О. тз«к«к концы конных у (х) н у (х) лежат на линни у ф (х), то Оу, — Э ~«5 рбх«) — у(ХИ ф(х«+бхд — ф(хд ф'(хт) бх«+ о(бх,), й !. Вариационные задачи с подвижными концами 185 поэтому условие (9) можно записать в виде (Р у Еа'+фрв')»=к бк„б) бхз произвольно, поэтому (Р у Рэ +ф Р„.)), „ =0. Точно так же если левый конец Рв перемещается по кривой у ф (х), то для него должно выполняться условие (Р— у Р„,+р'Р„,)).
к =0. (13) Граничные условия (!2 и (!3) называются условиями трансаерсальности. Итак, при исследовании вариационной задачи в случае, когда концы допустимых кривых лежат на данных линиях, необходимо найти решение уравнения Эйлера [7), а две произвольные постоянные определить из граничных условий трансверсальности (12) и (13). Наиболее просто условия трансверсальности выглндят для функционала вида к~ /(у) =1 1(х, у) 7"~-ру'в дх, (14) кк часто встречающегося на практике.
В этом случае имеем у' у' р Рэ -— !(х, у) Р !+у 1+у н условие (12) записывается в виде откуда получаем условие для правого конца у'ф !» Таким же образом находим условие для левого копна: ргрк) = 1 Таким образом, для функционала (14) условие трансверсальности сводится к условию ортогональиости в граничных точках зкстремалей и направляющих кривых у = ф(х) н у ф (х).
П р и м е р 2'. Йайтн экстремали функционала к, ((у)=~ Р" 1-Руд !+д'к бх, если левый конец закреплен (у (О) = О), а второй перелвигаетсн по прямой у+х+ 1=0 Полынтегральная функция зависит только от у н у' н не з-ькыит ьвно от в, поэтому уравнение Эйлера имеет вид у'эР 1+2 Р»1+У У!+У'* — =ею У 1+у'* 1ио Уи.
Некоторые методы решения варивциоииых задач откуда находим, что (х+сз'з д= +с,"- — 1 4с~з /!анный функционал принадлежит к функционалам типа (14), поэтому ус. ловие трансверсальности сводится к условию ортогональности искомой экстре- мали и прямой у — х — 1. Для определения постоянных с,, с и точки пересе. чения экстремалн с прямой р = — х — 1 имеем систему уравне~ий сз х+сз [х+сз1' — +с!=1, — =1, а+в+1=0, р=, +с,' — 1.
4с, 2с, 4сз Решая эту систему, находим сз 1/5, сз 4/5. Следовательно, искомой экст- 5 ремалью является парабола у = — ха+ 2х. 4 й 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Вариационные задачи с закрепленными граничными значениями. Исследуем на экстремум функционалы, зависящие от функций нескольких переменных. Ради простоты будем рассматривать функции двух переменных г = г (х, и), которые дважды дифференцнруемы в замкнутой плоской области О. Приращение, или вариация, аргумента бг = г (х, у) — г (х, у) представляет собой также дважды дифференцируемую функцию, причем имеют место равенства г (62)» = гэ — 2а = 62в.
(бг); = г„— г„'= бг„', В дальнейшем прира!цение аргумента будем обозначать через Д = 6 (х, р), т. е. й = /г (х, у) = бг = г (х, у) — г (х, у). Под вариацией функционала / (г) = Ц Р (х, у, г, г,', г„') дх бу (1) а будем понимать главную часть приращения, линейную относительно /г, /г;, /гэ. Рассмотрим вариационную задачу для функционала (1), считая, что область О не варьируется и па границе у области О заданы значения функции г(х, у), т. е. 2(т=гр(х, у). (2) Геометрически эти условия означают, что в плоскости хОу задана фиксированная область О с границей у и задан пространственный контур Г, проекция которого на плоскости хОу есть у.
Все допустимые поверхности г = г (х, у) натянуты на этот контур Г. Решение вариа- 5 2. Вариационные задачи длл функций нескольких леременных !87 циониой задачи (1), (2) в рамках необходимых условий дается теоремой 1. Для функционалов, зависящих от функций нескольких переменных, имеет место аналог основной леммы вариационного исчисления. Лемма. Если фиксированная функция сс (х, у) непрерывна в замкнутой области 0 и для любой непрерывной в 6 функции й (х, у), имеющей в б непрерывные частные производные до второго порядка включительно и обращающейся в ноль на границе у, интеграл Ц~ а (х, у) й (х, у) бх бу = О, Є— — Р, — — г,.
=О. да * ду 'а Решения уравнения Остроградского называют экстремалями. 4 Предполагая функцию г" трижды дифференцируемой по своим аргументам, найдем вариацию функционала (1), для чего выделим главную часть приращения: Л! = Я [р (х, у, г+ й, г,'+ 1г„', г„'+ й„') — р (х, у, г, г,', г )! бх с1у. Так же как и для функционала, зависящего от функции одной переменной, преобразуя подынтегральное выражение по формуле Тейлора, находим, что главная часть приращения, линейная относительно й, й', й„', являющаяся вариацией функционала (1), имеет вид И = (((р, й+ г, й„' + г, й„') бх бу. о (4) Представим зту вариацию в другом виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
