Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Из предыдущих рассуждений следует, что всякий сильный экстремум есть н слабый экстремум. Обратное, вообще говоря, неверно. Нахождение слабого экстремума является, как правило, задачей более простой, чем нахождение сильного экстремума. Это объясняется тем, что рассматриваемые функционалы, будучи непрерывными в пространстве С<'>, довольно часто не являются непрерывными в пространстве С. Заметим, что отыскание достаточных условий существования экстремума функционала — довольно сложная задача, поэтому ограничимся рассмотрением только необходимых условий экстремума.
3. Необходимое условие экстремума. Будем рассматривать функционалы, у которых существует вариация. Теорема !. Если функционал ! (У) достигает экстремума при у = = у„то его вариация обращается е ноль при у = уо, т. е. 61)о а,=О. (9) 4 Пусть функционал ! (У) задан на нормированном пространстве Е с нормой (у( и достигает для определенности при у = уо минимума. По определению минимума функционала, его приращение <зт = ((У) — ! (Уо) = у(уо+") — у(уо))() в некоторой е-окрестностн точки уо, у чь у, есть р(уо, а) =(у Е Е, !(у — Уо() =() й)!(е). По условию теоремы существует вариация, поэтому приращение представимо в виде !т! =-бу()>)+06 И (()) О.
й 2. Экстремум функционала 159 Предположим, что вариация Ь! (й) Ф О. Так как величина о (161) бесконечно малая более высокого порядка, чем~| й ), то она не влияет на знак приращения и поэтому з1кп й! (6) = з(дп И (6). По предположению, Ы (й) ) 0 в з-окрестности точки уе, следовательно, и И (6) ~ 0 в этой окрестности.
Если у, + й принадлежит е-окрестности точки уе, то и уа — й также принадлежит этой окрестности. Из линейности функционала следует, что И ( — 6) = — б! (й). Таким образом, функционалы И (6) и б! ( — 6) имеют разные знаки и приращение гх! не сохраняет своего знака ни в какой в-окрестности точки уе. Следовательно, у, не может давать минимума функционалу. Полученное противоречие и доказывает теорему.
~ 3 а и е ч а н и е. Если точка у, дает слабый экстремум функционалу, то вариация функционала обращается в ноль при у = уе, т. е. б! ! О в У=Уо пространстве Сич Если уа дает сильный экстремум функционалу, то она дает и слабый экстремум, а поэтому выполняется равенство б! ) О как в пространстве С, так и в пространстве Сцй Следовательно, необходимым условием слабого н сильного экстремума является равенство нулю вариации фуннционала б! в пространстве СО>. Заметим, что достаточные условия для слабого и сильного экстремумов раэличны н, как отмечено выше, ввиду сложности их выводов мы не будем на них останавливаться. 4.
Основная лемма вариацнонного исчисления. При решении вариационных задач очень полезной оказывается следующая лемма. Лемма. Пусть а (х) — фиксированная, непрерьмная на 1а, Ь) функция. Если для любой непрерывной на (а, Ь) вместе со своей производной функции й (х) такой, что й (а) = й (Ь) = О, имеет место равенство ~ а(х) й(х) дх= О, О (10) то а (х) = 0 на (а, Ь).
< Предположим, что а (х) И~ О, тогда существует точка $ Р (а, Ь) та- каЯ, что сс ($) чь 0; пУсть, напРимеР, длЯ опРеделенности а ($) ) О. По свойству непрерывности, существует интервал (х„х ) с: (а, Ь), в котором а (х) > О. Рассмотрим функцию й(х)=~ ! (х — х,)'(х,— х)', х Е (х„х,) о х~(х„хх) Очевидно, что й (х) и й' (х) непрерывны на [а, Ь) и 6(а) =* й (Ь) = О. (Подынтегральная функция а (х) йг(х) больше нуля при х Е (х„хэ), 1бо тГ1, Основы вариациоииого исчисления по свойству интеграла знак неравенства сохранится и для иитеьрала: ь «г ) а (х) й (х) йх = ) сс (х) (х — х,)' (х, — х)' дх ) О.
а к, Таким образом, для выбранной нами функции )ь(х) не выполняется соотношение (10), т. е. пришли к противоречию а условием леммы. ~ 3 а м е ч а н и е. Основная лемма вариационного исчисления будет сира. ведлива и для более узкого класса функций, а именно когда Ь (х) непрерывна на (п, Ь) вместе с производными до л-го порядка включительно. В атом случае вме. сто функции (1!) можно рассмотреть функцию О (х — х,)я" (х — х,)я", х~(хы хз) л (х)= хф(хы хя). й 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ !.
Уравнение Эйлера. Различают вариационные задачи с закрепленными н свободными концами. Начнем с рассмотрения задачи в случае закрепленных концов, как наиболее простой. Будем считать, что подыптегральные функции в рассматриваемых функционалах непрерывны и обладают непрерывными частными производными до нужного порядка и сами функционалы непрерывны в рассматриваемом пространстве. Изучим простей1пую вариационную задачу для функционала (2.2) и получим для него необходимые условия в виде дифференциального уравнения.
Функционал ((у)=) Р(х, у, у')дх а будем рассматривать на множестве функций у (х) Е С1'), удовлетворяющих граничным условиям у (а) = А, у (()) = В. (2) Это условие означает, что концы допустимых кривых закреплены. ставится следующая вариационная задача. среди всех функ1(ийу (х) с граничным условием (2) найти такие, которые дают экстремум функционалу (1). Решение атой задачи будем проводить только в рамках необходимых условий, для чего рассмотрим теорему. Теорема 1.
Если функция у = у (х) Е Сгн удовлетворяет условиям (2) и дает экстремум функь(ион лу (1), то она является решением уров. ненил Эйлера Ра — — Е„= О. в (3) бх й 3. Вариационные задачи с закрепленными концамн !б! 4 Для вариации функционала (1) воспользуемся формулой (2.4); ь 61 = ~ (Рз й+ Рь й') дх. а Пусть функция у (х) дает эксчремум функционалу (1). По необходимому условию существования экстремума, вариация функционала должна равняться нулю, т. е.
61= ) (Рьй+Р ° Ь')б[х=О. ' (4) а Интегрированием по частям получаем ь ь ь Из граничных условий (2) следует, что рассматриваемые приращения й (х) должны обращаться в ноль в точках х = а и х = Ь, т. е. й (и) =Ь(Ь) =О. (5) ь Подставляя тогда значение интеграла ) Рь Л'б[х в (4), получаем а ь ~(Рь = — Рь ) Ьб[х=О. Но функция х (х) = Р, — — Рз непрерывна на [а, Ь), а й(х) — любая д функция, непрерывная вместе с первой производной на [а, Ь) и удои. летворяющая условиям( 5). Применяя основную лемму вариационно. е го исчисления, заключаем, что бб (х) = Є— „- Р„= О, т.
е. функция пх у (х) удовлетворяет уравнению Эйлера (3). Ь функции, явлшопьиеся решениями уравнения Эйлера, называ1от экстрсиаляьш. Теорема 1 дает только необходимое условие существования экстре мума функционала. Но часто само существование экстремума бываю ясно из физических соображений. В этом случае уравнение Эйлера полностью решает варнационную задачу.
Уравнение Эйлера (3) играет фундаментальную роль во всем варнационном исчислении. Оно представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение зависит от вух произволь. ных постоянных. В задаче Коши эти произвольные постоянные нахо. лились из начальных условий. Здесь мы имеем другую задачу для дифференциальных уравнений — краевую задачу, в которой произ.
вольные постоянные находятся из граничных условий. Так, для уравЗлк. 1б!б 162 1Г!. Основы аариационного исчисления пения Эйлера (3) произвольные постоянные находятся из условия (2). В общем случае уравнение (3) не разрешимо в квадратурах. 2. Частные случаи уравнения Эйлера. Рассмотрим несколько случаев, когда уравнение (3) допускает понижение порядка и сводится к дифференциальному уравнению первого порядка. Ф у н к ц и я г (х, у, у') н е со д е р ж и т я в н о у, т.
е. г (х, у, у') = г'(х, у'). В этом случае г'и — — 0 и уравнение Эйлера принимает вид Отсюда находим, что Га —— с = сопз(, (6) т. е. имеем дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее явно у. П р и и е р 1'. Материальная точка перемещается из точки А (1, О) в точку В (2, 1) со скоростью о = к.
Найти кривую, по которой время движения будет минимальным. Время, затраченное на прохождение дуги кривой у = у (х), определяется с помощью интеграла представляющего собой функционал вида (1), в котором рассматриваемые кривые у(х) удовлетворяют условиям д(1) = О, у(2) 1. Подынтегральнач Функция ~/1+ у' г (х, у, р') не аавнснт от у, позтому из (6) имеем равенства у' 1 г"а, —— Определяя отсюда у".' Х у и интегрируя, находим зкстремали у=с,~')гс" — л', или (р-с,)+ ге=с' Из граничных условий у (1) О и у (2) 1 для определения с н сг полу- й чаем систему сз+! =са, (1 — сг)а+4=се. Отсюда находим, что сг 2, сз 5 н уравнение искомой зкстремали есть окруж ность к'+ (у — 2)а 5 с центром в точке (О, 2) радиуса !Гб. Из физических соображений ясно, что максимума для времена движения по различным кривым не существует и функция у 2 — Ьг — 5 — лв дает мнниму функционалу.
164 Ч). Основы аарчацчонного исчисления Постоянные с и ся находим на системы у,=оси(ха+с~), уа=сей(ха+сд), которая может иметь одно, два или ни одного решения. функция Р(х, у, у') не зависит от у', т. е. Р = Р (х, у). Уравнение Эйлера в этом случае принимает вид Р„=О, (8) которое представляет собой не дифференциальное, а конечное уравне- ние, определяющее одну или несколько кривых. Если среди этих кри- вых есть кривые, удовлетворяющие условиям (8), то они и будут экстремалями. П р н и е р 3'.
Найти акстремали функционала 1 .1(у)=) 1х — у)'оу, если у(0)=1, у(1)=2. 'е Уравнение (8) для рассматриваемого случая записывается в виде Ра= 2( У) 0. Его решение у = х не удовлетворяет граничным условиям и, следовательно, не является вкстремальв. В следующей теореме отмечается частный случай вариационной задачи (1), (2), часто встречающейся в приложениях, когда экстремаль реализует минимум функционала (1).
Теорема 2. Пусть функции р (х), р' (х), д (х) и 1 (х) непрерывны на отрезке (а, Ь) и, кроме того, р (х) - О, а(х) ) О. Если у (х) есть экстремаль для функционала 1 (у) =" (р (х) у'+ г) (х) у'+ 2у 1 (х)1 дх О (9) и удовлетворяет граничным условиям (2) у (а) = А, у (Ь) = В, то она реализует абсолютный минимум функционала (9), т. е. для любой другой допустимой кривой у = у (х) выполняется неравенство 1 (у) ) > 1(у). 4 Пусть у = у(х) есть экстремаль для функционала (9), тог- 6 да она удовлетворяет уравнению Зйлера — (ру ) — ау — 1 = О и граничным условиям у (а) = А, у (Ь) = В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
