Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Решение не будет тривиальным только в том случае, когда з!п )/тЛ+ ! (и/2) 0 т. е, когда !/Л -)- ! (и/2) йд. Это означает, что если Л Ль 4йз — 1, й 1, 2, ..., то уравнение (9) имеет нетривиальные решенна ~рь (х) зш 2йх, й !.2, .„) Учитывая ато, можно перейти к решению уравнения (7). В данном случае /(х) 1 и и/3 и/з 4 /э 4 соз 2йх 2 (/,~рь) — ~ 1 з1п2йхбх — — — — — [созйп — 1) и 2й и в е [ О при й-2, 4 ш=1,2, ..., при й 2ш — 1, м (2ш — 1) 148 тг, Самосопряженные операторы в гильбертоаом пространстве поэтому, припевая формулу (б) при Л чь Лш находим искомое рчшеиие ср(х) =!+Л 4 5!п (4си — 2) х и (2«л — !) ([4 (2си — 1)« — Ц вЂ” Ч 4Л у а!п (4«л — 2) х 1+ — Ъ .
(и) я льс (2сп — !) (1бш" — !От+3 — Л) ! ср(х) — Л ) е !» ! ср(с) ос=«. и (12) Однородное уравнение аапишем в виде * с ср(х) — Ле «~е ~р(С) с)С вЂ” Ле (е с ср(С) бг О. Дважды дифференцируя ато равенство, получаем соотношеиия « ! ср' (х)+Ле « ~ еСср(С) дс Ле«( е-С ср(с) бс 0 (!3) (И) « ! ср'(х)-Ле «~е ср(с)б( — Ле«) е ср(с)йс+Лср(х)+Лф(х) О. Последнее соотношеияе в силу (13) аапишется в виде ср'(х)+(2Л вЂ” !) ср(х) =О. Иэ равенств (13) и (14) следуют граничные условия с с ср(0)=Л ~ е ср(с)бс=ср'(0), ср(1)= — ) е ср(С)бс=-ср'(1), Г -с о о т. е.
условия (13) ' р(о) = ч'Со). и П)- — р (ц. (1б) Если 2Л вЂ” 1 с О, т. е. Л ~ !/2, то для решения р (х) уравнении (15) имеем со. отношения ~р(х) =Сс е с ЯЬ «+Се е ~рю (х) '$с! 23 (С еМТ вЂ” та«С е — т с — тд «) Если же Л Л !бт« — 1, то с (), срт„) О, т. е. функция с (х) ш 1 ортогопальна соответствуюпсей собствеиной функции ~р (х) а!п 4«х, а пот« тому решение уравнения (7) будет отличаться от решения (11) дополнительным слагаемым С Ип 4«х, где С вЂ” произвольиая постоянная. В случае, когда Л Л, 10«« — 1бт+ 3, ч 1, 2, ..., уравнение (7) решений не имеет.
2'. Решить уравиение Сь (1 — р!+Се (1+ р! О, С, еа(1+в)+Се е "(1 — р) О. втой сястемы, т. е. выражение Определитель р ьь е н (1 р)ь — еа (1 ! р)ь е и (1+9)ь ( ) — еак| ~ +.) может обратиться в ноль только в случае, когда ! — !ь ее=в (16) ! +р Но пря р ) О правая часть меньше единицы, в левая — больше, т, е. равенство (16) невозможно, а зто означает, что система (17) имеет только тривиальное решенне С, = С О, т. е. значения Х ~ 1/2 — правнльные Если же !г 1/2, то для решения уравнения (1б) нмеем равенства <р(х)=Сьх+Сь, Ф'(х)=Сь.
Учитывая условия (1б), получаем отсюда соотношення Сь=Сю С,+Се=С,, т. е. Сь С, О. Наконец, прн Х ~ 1/2 решением уравненяя (15) будет функция <р (х) Сд соь 1тт23~ — 1 х+Сь з!и $/23~ — 1 х. Вновь полагая р ')/'2)г — 1, запишем равенства ю (х) Сг соь рх+ Сь юп рх, <р' (х) р ( — 'С, ь(п >х + Сь соь рх) н, принимая во внимание условия (16), пркходям к системе уравнеякй рСь С!сов р+ Сь ь!и р — р ( — С! ь!п р+ С соь р).
Такам образом, для С, н Сь имеем однородную снстему уравнений С,— рс,-о, Сг (соь р — р ь!п р) + Сь (ь!и р + р соз р) О. Приравняв нулю определитель етой системы, получим ып р + 2р соь р — р' ь1п р О, (19) нля (1 — рь) ып р + 2р соь р О. Следовательно, система (!9) имеет ненулевые решения, если велнчяна р удовлетворяет трансцендентному уравнению 2 с!9 р р — !/р, (20) 9 3. Теорема Гильберта — Шмидта и ее иримеиеиии !49 Уеловня (16) приводят тогда к системе уравнений Сь+Сь )/) -2)г (С, — С,), Ст е ть +Сь е ьь — 3~! — 2ь (Ст е~ ' ьь — С, е т" ь'1, которая, если ввести обозначенве ')/1 — 2Г р, р ~ О, ванншсгск в воде !бп чт. Самосопряженные операторы е г»»ьбертовом пространстве Введем обозначение й»5 = ) 1р»5 (х) дх, »=1, 2, ..., е (2!) и положим Ф (х) = — р»(х), =), 2..., ~п Тогда при и т- и (1+ р«)г2 решение уравнения (12) запипется в виде к ! (Х 5Р») Р 1 'р(х)=х+)к 7 крп(х) х+)к ~р) х1р» 1х) пх 1р„(х).
пп — )К 2Ю 3 " Дз(Д„Л) и ! Л й) »» 1 Вычислим интегРалы ( жР» (х) дх! 5 ХЩ»(х) дх= х(Р»созР»х+5!п )кп х) пх=~х~з!п)к» х )~ ~ 1 СО5 Рп Х 5 е 11» х е ! со5 !1» х ), соз !1» со5 11» — 1 51» !1» -! (и,.* — )~*-.к.— и р рп н»5 (р,', +!) з!п р» — р» Подставляя»тн значения в найденное решение, получаем выражение (Н,'+ !) 5!П Рп — и» 1р(х)= +2й Ъ 1Р + 5 5 5 1 2„) 1Р»(х) »р»(р» где числа Ф» определены равенствами (21). Обозначая через р„положительные корни уравнения (20) н выбирая Сз 1, найдем С!»! р», и 1, 2, ..., а потому собственные функпии уравнения (15) 1 запишутся в виде ~р„(х) =р» сов)5» 5+5!яр» х, »=1, х...
~~~~ ОСНОВЫ БДРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ й 1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ 1. Примеры вариационных задач. В вариационном исчислении рассматриваются задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функционалов. Функционал является обобщением понятия функции. Функция у = ) (х) каждому значению х из некоторого числового множества Х ставила в соответствие определенное число у из числового множества )'. Если теперь вместо числового множества Х рассмотреть множество гс' произвольной природы (например, множество функций), то придем к понятию функционала. Говорят, что на множестве Р определен функционал ! ()), если каждому элементу Т" р гс поставлено в соответствие определенное число ! (Т).
Приведем некоторые примеры вариационных задач. 1. Нахождение плоской линии, соединяющей две заданные точки и имеющей наименьшую длину. В этой задаче исследуемый функционал— длина линии. Искомой линией будет отрезок прямой, соединяющей данные точки. 2. Нахождение кривой, соединяющей две заданные точки, по которой материальная точка скатывается под действием силы тяжести в кратчайшее время. Здесь исследуемым функционалом является время движения точки по кривой. Кривая, дающая минимум этому функционалу, называется брахистохроной".
3. Нахождение замкнутой кривой данной длины, ограничивающей наибольшую площадь. Исследуемый функционал — площадь фигуры. В отличие от двух предыдущих задач в этой задаче на рассматриваемые кривые накладывается дополнительное условие: все кривые имеют одну и ту же длину. Это дополнительное условие задается функционалом, имеющим данное значение. Задача подобного типа относится к так называемым изолериметрическим задачам, общие методы решения которых были разработаны Л. Эйлером. 2.
Пространства непрерывно диффереицируемых функций. Будем рассматривать вариациоииые задачи для функционалов, заданных в пространствах С, Снч и С<">. ' Задача о брааистохроне была поставлена И. Бернулли в 1696 г., а ее реюенне было дано И. Бернулли, и. Бернулли, Ньютоном и Лопиталем. <Ьз <г'<. Основы ввриеционного исчисления Введем эти пространства.
Пространство С состоит из функций / (х), непрерывных на отрезке (а, Ы, а норма определяется равенством 1!/1)с = <пах !/(х)!. (1) «а <а. а< Через С<'< будем обозначать пространство непрерывно днфференцируемых на 1а, Ы функций / (х) с нормой !!/11,=!!/!1,«< = и<ах !/(х)1+ и<ах !/'(х)1=!!/!!с+!!/'!!с. (2) «~<а, Ь< « Е <а, ь< Рис. ВВ Пространство С<"' состоит из функций / (х), имеющих на 1а, Ь! непрерывные производные/<в< (х), й = 1, 2, ..., и, до и-го порядка включительно, и норма определяется равенством а !!/!!.=!!/!!...
~ ' 1/" ( )1=,'У !!/<в !!., (3) в-в "с' " в=е где /«п(х) = /(х). Под е-окрестностью элемента у, нормированного пространства Е понимается множество всех таких элементов или точек у Е Е, что Р (Ув У) = 11 У вЂ” ув 11( е. Рассмотрим множеством функций, имеющих на 1а, Ь! непрерывные производные до и-го порядка включительно. В этом множестве можем вводить норму как в смысле (!), так и в смысле (2) или (3). В первом случае (при норме (1)) в е-окрестность кривой у = / (х) попадают те кривые, которые по ординатам отличаются меньше, чем на е.
Таким образом, все кривые из <<с, целиком лежащие между кри. выми у = / (х) — е и у = / (х) + е, принадлежат е-окрестности кривой у = / (х) (рис. 38). Но близость кривых по ординатам не означает, что они близки и в смысле нормы (2). В е-окрестность кривой у = / (х) по норме (2) й 1. Первоначальные понятия 153 попадут только те кривые, которые мало отличаются как по значениям функции, так и по значениям первой производной.
Например, на рис. 38 кривые у = / (х) и у = /> (х) близки в смысле пространства С (иорма !)), но не будут близки в смысле пространства Ст» (норма (2)). Если кривые у = / (х) и у = / (х) близки в смысле нормы пространства Сп>, то они будут близки и в смысле нормы пространства С.
Близость элементов в смысле пространства Стл> означает близость значений как самих функций, так и их производных до и-го порядка включительно. Напомним понятие непрерывности функционала. Если в множестве /с определено понятие расстояния р (у, г), где у, г Е )т, то определение непрерывности функционала можно ввести совершенно аналогично определению непрерывности функции, а именно: функционал / (у) называется неарерьмныл> в точке уе Е )з>, если ту е ь О В 6) О такое, что ! / (уо) — / (у) ! (е, как только р (у„у) (6. Отсюда следует, что непрерывность функционала зависит не только от аналитического выражения этого функционала, но и от нормированного пространства, нз котором он задан.
Один и тот же функционал может быть непрерывен на одном нормированном пространстве и разрывен на другом. П р н м е р 1'. Показать, что функцнонал / <у> =) ~ 1 +у>з й», (1) определенный на мноткестве функцнй у = у (»), непрерывных вместе с первой производной на (а, Ь), непрерывен в пространстве С" >, но не является непрерывным в С. Вначале покатаем, что функционал (4) непрерывен в лространстве Стт>, Действительно, имеем соотношения ь ь — — !У'+Ув! )У' — Ув! !/ОД вЂ” /!У.>)= 1()')+~' — ~')+ ")и «)",, й. ) 1+у'+) 1+уз Из непрерывностн пронзводных у' н у' следует, что ! У'+Ув ! Далее, нз определенна нормы (2) в пространстве Со> ззкл>очаем, что п>ах )у — уо )=!!У ув йс < 1! У вЂ” Уа !!« «с).
ь) По заданному е) О выберем 6 = е/(М (Ь вЂ” а)). Тогда для всех у Р Сп> и таких, что !! у — у, !!, ( 6, имеем ! / (у) — / (уз) ! ( М шах ! у' — ус ! (Ь вЂ” а) ( М (Ь вЂ” а) !! у — ув /)> ( е, « ~ 1«, ь> а это и означает, что функционал (4) непрерывен в пространстве Сп>. 15( кт!. Основы варивциоииого исчисления Если функционал (4) рассматривать в пространстве С, то он уже не будет непрерывным, ибо норма )) у — уе (( с учитывает только близость по ординатам и не учитывет близости по касательным (рис. 38).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
