Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем оценку; ь ь ь ь т [Т тРР=~[2 тР['б1=~ ~ ~К(1, )К(,,)дз Р(з,)дзт д1~ а а а а ь1ь ь|ь а[([~тааттк[([квакв,*ат*/ тл)юо а а а а ььгь ь а~тт[[([~ка, н*тфка, атт )хаааа а а 1ьь ьь -Ю[[[~кв Л*а~т [[~ка, цх т*тн)=в ~тг. ха аа $4. Метод итераций дая рея!ения уравнения Фредтоаьма !29 Отсюда выводим неравенство !!7 ф)<В 1ф), (3) из которого заключаем, что для нормы оператора Т* справедлива оценка 3Т')т= гор)Ттф):я В'.
!!е!!к! Аналогично можно показать, что для и-го итерирвванного ядра Фредгольма имеет место представление ьь ь Ки(1 в) =т! ~" ~К(Г вт) К(вь вг)" К(ва-и з) йвь дгг" дви-ь . ф„=)+ Т)+...+). Т ). Функцию ф„можно рассматривать как частную сумму ряда ЯЛ Т), ти О (6) называемого рядом Неймана. Теорема 1. Если ядро К (т, в) уравнения(5) квадратично суммируемо на квадрате а ~ т, г( Ь и !Х! 1/В, где ьь Вг = ~ ~ ) К (1, в) ~г д1 дв, /~ ав то ряд Неймана (6) сходится в среднем к суммируемому в ивадр!ямом Решению уравнения (5), причем вто решение единственно. <Оценим величину И. — ф.1= ~ ) Т 1 ° , в зая. !6!а а для норлгы и-го итерированного оператора Т" справедлива оценка "! Ти '1т ( В". (4) 2. Решение уравнения Фредгольма.
Перейдем теперь к решению так называемого уравнения Фредгольма ь тр (1) — Х ~ К (т„з) ф (в) да =1 (1), (5) а т. е. уравнения тр — ХТф = 1. За начальное приближение возьмем фа = 1, тогда имеем равенства ф, =)+) Тф, =)+),Т), , ф, = ~+),Тф, =)+КТ) +) Т ~, !30 1Ч. Вполне непрерывные операторы в линейных иормир. пространствах Применяя неравенства (3) и (4), получаем соотношение ,р„[(,Р' [л[-1т )11( ~ [л[ 1Т-11,11[1( м=л+1 лт=л+1 '(111 ~ ([Л[В)-(111 (1'[')"+' . тл л+! Если [Л[( 1!В, то правая часть стремится к нулю при и-и оо, а это означает, что (ф„) есть последовательность Коши.
В силу полноты пространства !'.з [а, Й, в пространстве с.з [а, Й существует функция ф* такая, что 1пп ф„=ф*, т. е. [ф„— ф*1-»О при п — оо. Докажем, что !рв есть решение уравнения (5). В самом деле, так как ф„=[+ ЛТф„„то при и- оо левая часть этого равенства стремится к тр*, а так как в силу неравенства (3) справедливо соотношение [тф„, — тф'1=[т «р„! — ф*Ц1( В1 р„, — р'1 о, то правая часть стремится к выражению 1+ Лтф". Это означает, что трв есть решение уравнения (5). Предположим, что имеется два решения уравнения (5): тр* б х.з [а, ь[ и тре* р !.з [а, Й.
тогда справедливы равенства ф'=1+ Лтф* и ф** =1+ Лтф'*, из которых выводим соотношение (ф* — ф*') = лт (ф"- ф*'). Применяя оценку (3), выводим отсюда неравенство 1ф* — ч **1=-1л И т(ф' — ф'*)1(1л1В[ч * — ф'*1. Учитывая, что 1 Л 1( 1/В, получим невозможное соотношение 1ф' — ф*'1(1ф' — ф'* 1. Итак, предположение о существовании двух решений приводит к противоречию; следовательно, тр* = трез. [» 3 а м е ч а и и е. Если [Л~ ь 1/В, то в зависимости от ядра К (д з) решение уравнения (о) может все же существовать. В этом можно убедиться на следующен примере, П р и м е р. Показать, что уравнение ! ф(з) — Х1Ф(з) т( =1 (7) о имеет решение как при [Л[ к 1, так и при 1Л [ > 1.
й 4. Матод итераций дяя решения ураанеиия Фредгояьыа !31 Ядро уравнения (7) тождественно равно единице, а тогда по теореме 1 решение этого уравнения при 1Л! ~ 1 существует. Найдем зто решение, Выбирая !рз (х) м 1, имеем равенства 1 !р, (х)=1+ Л ~ 1 да=1+ Л, о ! !Рз(х)=1+Л~(1+Л)бз 1+Л+Лз о 1 ця(х)=1+Л')(!+Л+...+Л"-1)бз 1+Л+...+Ли, е из которых следует, что гуя(х)- 1/(1 — Л) пРи )Л) < 1.
Таким образом, решением уравнения (7) является функция !р(х) 1/(! — Л) при )Л! ~ 1. С другой стороны, замечая, что постоянен входящий в уравнение (7) интеграл ~ !р (з) дз С, приходим к равенству а !р (х) 1+ ЛС Интегрируя это равенство в пределах от 0 до 1, получаем соотношение 1 ~ гр(х) дх 1+ЛС, о которое можно записать в виде С !+ЛС, Отсюда при Л~! найдем значение интеграла, т, е. постоянную С 1/(1 — Л), Следовательно, для всех Л +! решением уравнения (7) является функция !р (х) 1 + Л/(1 — Л) 1/(1 — ЛЛ Если же Л 1, то исходное уравнение (7) решения не имеет, САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ч, В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ й 1.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 1. Скалярное произведение и его свойства. Пространспмом Гиль- берии Н называется полное линейное пространство над полем комплексных чисел К, в котором каждым двум элементам, называемым обычно векторами, сопоставляется некоторое, вообще говоря, комплексное число, называемое скалярным (внутренним) произведением векторов х и у, обозначаемое через (х, у) и удовлетворяюшее условиям: а) (у, х) = (х. У); б) (а,х, + а,х„ у) = а, (х» у) + а, (хг» у), а» а, Е К; в) (х, х) ) 0; г) из соотношения (х, х) = 0 вытекает, что х = 0 (нулевой элемент Н).
Частными случаями пространства Гильберта являются рассмотренные ранее евклидово пространство Е„, функциональное пространство г.а ]а, и, координатное пространство р. Скалярные произведения в этих пространствах определяются следуюшим образом: Л если х=(х» ...,х„) ЕЕ„, у=(у» ...,У„) Е Е„, то (х,у) = ~ч~ х„у,;, Т ! е если 7(х)Е]з(а,Ь), д(х)ЕЕ']а,Ь], то (/,д) =~/(х)д(х)дх; если х=(х»...,х„,...)ЕР, у=(у» "»у, ')Е)з то (х У) = ч', хаум ь=~ Скалярное произведение обладает следующими свойствами: !) Если х Е Н, то (ах, ах) = ] а' ] (х, х) для любого а Е К.
Т11 тЙспользуя условия б), а) и в), находим ':! (ах, ах) = а (х„ах) = а (ах, х) = аа (х„х) = ] а ]з (х, х). ° 2) Длл любых х и у из Н имеет место неровенство Шварца ] (х, У) ] (3Г(х, х)'Р'(У, У). 4 При любых Х Ф О и у ~ О имеем неравенство (х+ ) у, х + + Ау) ~) (). Отсюда выводим соотношение (х, х) + Х (х, у) + Х(у', х) + ] Х ]'(у, у) ) О. (1 й 1. Основные понвтив гильбертова пространства !33 Если положить )т = — (х, у)т(у, у), то из соотношения (!) можно получить неравенство (х, х) — ((х, у) )в/(у, у) ) О, из которого и следует неравенство Шварца.
В 3) Для любых х и у из Н справедливо неравенство треугольника )т (х+у, х+у) <)~ (х, х)+)/(у, у). (2) М Раскрывая скалярное произведение и учитывая справедливое для комплексных чисел неравенство г + г ( 2)г(, имеем оценку (х + у, х + у) = (х, х) + (х, у) + (у, х) + (у, у) ( (х, х) + (у, у) + + 21(х, у)(. Используя неравенство Шварца, выведем неравенство (х+у, х+у)((х, х)+(у, у)+2У(х,хЯ(у, у) = = ()Г(х, х)+)т (у, у))'. ~ 4) Очевидно следуюи(ее равенство: (х + у, х + у) + (х — у, х — у) = 2 (х, х) + 2 (у, у), называемое равенством параллелограмма.
2. Норма в Н. С помощью скалярного произведения можно ввести в Н и понятие нормы, т. е. сделать Н линейным нормированным пространством. Полагаем, что 3 х ~!в = (х, х). Тогда выполнение всех свойств нормы очевидно. Свойство 4) скалярного произведения в терминах нормы можно переписать в виде (х+у)в+)х — у(в = 21х)~+2)у1т, а это есть обобщение на случай пространства Гильберта геометриче. ской теоремы о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. Справедливо также следующее утверждение. Теорема 1. Скалярное произведение есть непрерывная функция от. носительно сходимости по норме, т. е.
если ~~ х„— х ~~ -и О и (~у„— у) -т-О при и- оо, то и ! (х„, у„) — (х, у) / — т- О при и-т- оо. (3) 4 Из свойств скалярного произведения имеем оценку ! (х„, у„) — (х, у) ) = ! (хтн у„) — (хтн у) + (хтн у) — (х, у) ! ( в ') (Хтн (у„— у)) ~ + < ((Մ— х), у) ~()'(хтн х ) )/ (у„— у, у„— у) + -)-'р' (х„— х, х„— х) ) (у, у) =!!х„!И~у„— у~!+$х„— х!/3 у$.
Нормы ц х„ц и д у ц ограничены. Поэтому из полученной оценки и следует соотношение (3). й 134 'т'. Самосопрвженные операторы в гильбертовом пространстве 5 2. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА 1. Определения. Большую роль в приложениях играют так называемые самосопряженные операторы, к определению которых мы и перейдем. Пусть на плотном в пространстве Н множестве Р определен оператор Т, отображающий Р в Н. Оператор Т называется ограниченныж на Р, если существует постоянная М ) О такая, что для всех х Е 0 справедлива оценка 11 Тх)|(М 1)х(. Наименыпая из таких постоянных М называется нормой оператора Т на Р.
Будем обозначать ее через ! Т 1,. Тогда неравенство (1) можно записать в виде 1 Тх)1 ()1 Т (т)) х ~. Норму оператора Т можно определить также с помощью соотноше ния ')1 Т(,=зир )) ~) .= зцр (Тхаг кеп ))Х) Пкнои однако мы ие будем останавливаться на его доказательстве. Оператор Т называется самосопряженносм на Н, если для любых элементов х и у из Н справедливо соотношение (Тх, у) = (х, Ту). Приведем несколько примеров самосопряженных операторов. П р и м е р 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
