Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

е. нз соотношений (5) н (7) следует, что хсл (б, ..., "х„»в (!) — конечная Зе-сеть для множества М. Пусть теперь к (!) — пронэвольный элемент нз К н в ~ 0 произвольно. Тогда нз условия (4) заключаем, что сушествует функцня к»з>(!) В М такая, что ! к (б — х»в> 66! < в Но (х„(!))м»з» — конечная в-сеть зля М, в это означает, что найлется функцня х„„(П такая, что [х„„(Г) — х»,'> (!)! с е. Таким образом; справедлнва оценка [х (!) — к„(!)! м 2о, которая означает, что множество »х„, ч (!)>ч»з»> является Зз-сеть»о для множества К По теореме Хаусдорфа за.

ключаем, что множество К компактно в С [О, ![ ~ 4. Сепарабельность и компактность. При вычислениях в множестве вещественных чисел иррациональные числа довольно часто заменяются с любой степенью точности рациональными числами, число которых счетно. Возникает вопрос о выделении таких же плотных счетных множеств и в других метрических пространствах. Обобщен»»ел» свойства плотности множества рациональных чисел в множестве действительных чисел в метрических пространствах является сепарабельность.

Пространство Хэ называется сепорабельныж, если в нем существует счетное всюду плотное множество, т е, существует последовательность (х„7 с: Х такая, что для каждого х ц Х при любом в- ») !ге Ш. Некоторые лонятия Функционального анализа найдется элемент х„,, хги Е (х„), для которого имеет место неравенство р (х, х„,) ( е. Сепарабельным пространством является пространство Е„, в котором счетным всюду плотным множеством является множество точек с рапиональными координатами.

Не останавливаясь на доказательстве, отметим, что пространства С (а, Ь!, 1Р (а, Ы и (Я, 1 ~ р ( оо, также являются сепарабельными. Одним из критериев сепарабельности является компактность. Теорема 4. Компактное прссгпрапстео Х сепарабеаьпо, ~ Выберем последовательность (е„), е„- О, Игп е„= О и для л ы гь каждого е„строим. е„-сеть (см. (2)), Тогда объединение А = () А„ яео счетно и всюду плотно в Х. В самом деле, для любого х с Х и произвольного е ) О выберем число и, так, чтобы еги ( е. Выберем теперь элемент хйап Е Аги с: А ' такой, чтобы выполнялось соотношение р(х,хм') ( его (е, а это и показывает, что множество А плотно в Х.~ ~~Д ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ й и линейные ногмиговднные пеоствднствл 1. Определение.

Множество Е элементов называется линейным нормированным пространством, если выполнены следующие условия: 1) Множество Š— абелева группа относительно операции сложения, т. е. егли хЕЕ, уЕЕ, то и х+уЕЕ, причем: а) х+ у = у+ х (коммутативность); б) к + (у + г) = (х + у) + г (ассоциативность); в) существует элемент В такой, что х + 9 = х для всех.х Е Е; г) для каждого х Е Е существует элемент ( — х) Е Е такой, что х+( — х) =О. 2) Определено умножение элементов множества Е на числа из вещественного (или комплексного) поля 0 (или К), удовлетворяющее условиям: д) Х (их) = (Хр) х (ассоциативность умножения); е) Х(х+у)=Хх + Ху1 ) (законы дистрибутивности); (Х+п)х=Хх+ рх) ж) 1х=х.

3) Каждому элементу х множества Е ставится в соответствие вещественное число (1 х1(, называемое нормой этого элемента, и норма удовлетворяет следующим аксиомам: з) () к11 =г О, причем 11 х11 = О только при х = 0; и) )1 к + у 11 ( 1) х 11 + 11 у(1; к) 11 Лх() =(Х( 11 к 1). В линейном нормированном пространстве можно ввести метрику Р (к, у) =- 11 х — у 11, выполнение аксиом которой очевидно. Сходимость элементов (х„) по этой метрике, а именно р(х„, х)=1!х„— х( — О при и- сю, называется скодамостью по норме. Если линейное нормированное пространство является -. ~ в смысле сходимости по норме, то оно называется пространгпь и ° на В или пространством Банаха. Банаховыми пространствами являются следующие: !М. Вполне непрерывные опереторы в линейных нормир.

прострвнствех пространство Е„с нормой (~х)( = (.~~хт)!тв; т=! пространство С (а, Ы с нормой )) х)! = гпах (к (г)); а<!<в пространства Гу (а, Ы и тл, р) ), соответственно с нормами у ь !!ть вт Л1!л (х$,„= ~~)х(Г))лдГ) и !(хил= ~~)' 1х,)л) а т=! 2. Простейшие свойства. Установим некоторые простейшие свой.

ства линейных нормированных пространств. Свойство !. Если х„- х, у„- у, то х + у„- х + у. ~ В самом деле, из условия и) выводим соотношения ))(х +у) — (х„-(-у„)~()х — х„)+~у — у„()-иО при а-и оо. й Свойство 2. Если х„- х, Л„-в Л, тв Л„х„- Лх.

~Дейтствительно, учитывая условия и) и к), получаем () Л„х„— Лх) ='(Л„(х„— х)+(˄— Л) х) ( ((Л„)((к„— х(+(˄— Л(~х(- О при и-н оо. Э' Свойство 3. Если к„- х, т. е. ))х„— кЦ вЂ” О, то ))х„()— -~ Ц х Ц. Другими словами, из сходимссиш по норме щюстрансн!ла следует схсдимость норм. ° 4 Представляя элемент х в виде х = у+(х — у), получаем опенку. (х(=(у+(х — у))в '(у((+)х — у(1 или (х) — (у)(((х — у!ь Аналогично найдем, что й у!) — () хй ( 'й к — у)); таким образом, ) !) х (! — (! у й ! ( () к — у ().

Используя полученное неравенство, выводим соотношенпь )) х„(! — (х)) ((х„— х(. Но правая чгвсть, по условию, стремится к нулю, а потому и 'й к„)! - й к 1~ Линейные нормированные пространства являются метрическими пространствпми, поэтому на них переносятся все свойства метрических пространств 3. Линейные многообразия.

Выпуклые множества. Множество элементов к„х„..., х„из линейного нормированного пространства Е называется линейно независимым если из равенства Л,х, + Л,х, + ... + +Л„х„=О следует, что Л, =Л, =... =Л„=О. Йепустое множество 6 элементов линейного пространства Е называется линейныл! многообразием, если вместе о элементами х„хв, ..., л ..., х„оно содержит и любую линейную комбинацию ~ а,х, этих эле- й 2. Непрерыеные н вполне непрерыеные опереноры 115 ментов.

Простейшим линейным многообразием линейного нормирован- ного пространства .Е явяется прямая, определяемая элементом х, т. е. множество элементов вида у = 1х, х р Е, — оо < 1( оо. Всякое линейное многообразие обязательно содержит элемент О. Действительно, многообразие Е не пусто, т. е. Е Е х, а потому имеем ( — х) Е Ь (а = — 1) и х + ( — х) = 0 Е Ь (ач = а, = !). Число линейно независимых элементов х„х„..., х„, порождаю- щих данное многообразие, называется числом измерений этого много- образияя.

Если при любом п в линейном нормированном пространстве Е существует п линейно незав1гсимых элементов, то Е называют бвс- конечномерным. Множество элементов вида у = 1х, + (1 — 1) х„0 ( 1 ' 1, определяемое элементами х, н х, Е Е, называется отрезком. Множество М называется выпуклым, если каждый отрезок, соеди- няющий две произвольные точки множества М, целиком принадлежит множеству М, т. е. из условия х„х, Е М следует, что у = гх, + (!в — 1) х, Е М при любом 1Е (0, П, Пересечение выпуклых множеств есть множество выпуклое.

Сле- довательно, для каждого множества А с: Е существует наименьшее выпуклое множество в Е, содержащее множество А.Оно называется ввтуклой оболочкой множества А. Выпуклая оболочка множества А состоит из всех конечных сумм вида Хоихо где х, — произвольные зле- 1 менты из А, 0(а, ! Ха,=(. Теорема. Е .линейном нормированном пространстве любой аамкиу- тыи шар (х — а! ( г являгпкн выпуклым множеством. < Действительно, пусть !х,— а!<г, !х — а !<г и у=(х,+(1 — 1)хм 0<1(1. Тогда имеем соотношения '!у — аф =фтх, +(! — 1) х,— а ! = 11х, + (1 — 1) х,— йг — (1 — 1) а! =* = !1(х,— а)+(1 — 1)(х,— а)! =1(х,— а!+(! — 1)!хе — а1( ~ гг+ (1 — 1) г = г, т. е. 1у —,а1 = г, а это означает, что у принадлежит тому же шару.

й 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ И ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРЛтОРЫ !. Определения. Пусть А — оператор, определенный на пространстве Е„со значениями в пространстве Е,. Оператор А называется ад. оитивным, если для любых х, х,ЕЕ выполняется соотношение А (хе + х ) = Ах, + Ахе. !16 1тт'. Вполне непрерывные операторы в линейных. нормир. пространствах Оператор А называется непрерывным в точке х, Е Е„, если из условия х„-их„или (х„— хо(-и О при и-и оо, следует, что Ах„— -и Ахо (11Ах, — Ахо(-+.

О при и -э. оо). Оказывается, что требование непрерывности аддитивного оператора в точке является сильным ограничением. Это подтверждается следующим утверждением. Теорема 1. Если аддитивный оператор А: (ń— и Е„) непрерывен в точке х, Е Е„, то он непрерывен и на всем Е„. ео Пусть х — произвольная точка пространства Етп Выберем последовательность точек х„Р Е, так, чтобы х„- х. Тогда имеем (х„— х+ х,) — х, и из непрерывности оператора А в точке хо следует соотношение Иш А(хп — х+х,) = Ах,. л-тФ о(з аддитивности оператора А выводим равенство А (х„— х+ х,) = Ах„—.4х+ Ах„ учитывая которое из (1) получим выражение )пп Ах„— Ах + Ахо-- в =Ах„из которого следует, что Иш Ах„= Ах. й Л Ф Основным объектом наших дальнейших исследований будут так -называемые вполне непрерывные операторы.

Оператор А, непрерывный на множестве М и принимающий значения в том же множестве М, называется вполне непрерывным, если он всякое ограниченное множество М, с: М переводит в компактное множество, т. е. множество А (М,) есть компактное множество. 2. Непрерывность предела равномерно сходящейся последовательности вполне непрерывных операторов. Вполне непрерывные операторы обладают рядом свойств, используемых в приложениях. Одно из таких свойств устанавливается следующей теоремой.

Характеристики

Список файлов книги