Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Показать, что рассматряваемый в пространстве Ез ( — со, со) 1 оператор усреднения Ту= 2 (1 (х+ з) + 7(л — з)) является самосопряженным, .)(ля етого оператора проверим условие самосопряжевности: (Т~,й)= ( — (7(х+и)+7(х — и) я(х)бх = ,) 2 ° ') 7(и) — (я(и — з) +)т(и+з)) с)и=(7, Ту). 2 Ф Таким образом, оператор усреднения в пространстве Ез ( — со, со) являет ся самосопряженным оператором. Прн решении уравнений математической физики методом сеток частные производные заменяются разностными отношениями, например дНдх заменяется либо отношением — ~~ ~х + — ) — 7' ~х — — ~~, либо й 2.
Самосопряженные операторы н нх свойства (ЗБ отношением — [/ (х + /з) — / (х)[, а вторая производная — может ! д*/ д дхду быть заменена отношением — ~/(х+ —, у+ — ) — /(х — —, у+ — ) — /(х + —, у — — ) + +/(х —, у — — )~ или отношением —, [/(х+/т,у+/з) — /(х, у+/т) — /(х+/з, у)+/(х, у)[. 1 Поэтому представляет интерес изучение в пространстве /.х ( — оо, оо) операторов '/[ = ( ~/(х+ — ) — /(х- — ~ )~, Ж = (У(х+/т) — 1(х)!, Н = /(х + —,, у+ — ) — / (х — —, у + — — / х + —, у — — т -[.
[/( й ь1 2 2/ (// = / (х + /з, у + /з) — / (х, у + /з) — / (х + /з, у) + / (х, у). П р и и е р 2". Показать, что оператор Т/ / [/ (х + й/2) — / (х —. й/2)) является самосопряжеиным в пространстве /.з ( — о», оо). Имеем соотношения ОЭ ОВ (Т/, й) = ~ / [/(х+й/2) — /(х — Ь/2)] п(х) дх ~ //(и) [й(и — й/2) — й(и+ СО +й/2)] пи= ) /(и) [/ [у(и+а/2) — д(и — й/2))) пи т.
е. действительно (Т/, д) (/, ТК).1 Иетрудно также проверить, что оператор У вЂ” самоспповженный. а опепа. торы 3 н 'н' — нет. П р н м е р 3'. Найти условие самосопряженности оперыорв Фредгоиьна Тф= ) /((П а) ф(5) дз ° Ив Ч. Самосопряженные операторы в гнпьбертовом пространстве к(ля любых е е ь.к (а, Ь) н е б 1,з (а, Ь) имеем равенства ь уь ь (ь (кк к)-((Якк. зкк)~)Ь(ок-Як(к((кк. ~зс мк)ьа к а а а уь -(км((кк, )тк)к)~ -н,н. о в Ь где р (Г) = )г К (з, 1) кр (з) оз.
а ~Применяя неравенство Шварца и учитывая неравенство (2), имеем оценку 1(тр, Ф)1~11 ТФ1111 р11 ~11 Т11,11 р)1. Отсюда следует неравенство 1(Тр, р)1~Сг1)ч 11', (й) (б) причем для постоянной Ст справедлива оценка С,<1тйр Пусть теперь г чь 0 — произвольный элемент из Н. Положим и = 1 = — Тг, где а = (1 Тг )г11г 1йыз, и оценим сверху величину 11 Тг 11' =(Тг, Тг) =(Тг, аи). Используя свойства а) и б) скалярного произведения и самосопряжен ность оператора Т, можно записать равенства (Тг, аи) =(аи, Тг) = се(и, Тг) =а(Тг, и) =а(г, Ти) =(аг, Ти), а это означает, что (Тг, аи) = (Таг, и).
Применяя свойства скалярно го произведения, нетрудно убедиться в справедливости равенства (Таг, и) = — ((Т (аг + и), (аг + и)) — (Т (аг — и), (аг — и))), 1 4 Отсюда заключаем, что если К (з, г) К(й з), то определяемый соотношеннем (3) оператор Фредзольмп будет сомосопряженнмм, причем в случае вещественного ядра К (К з) условие его свмосопряженностн состоит в снмметрнчностн, т. е. вещественный оператор Фредгольма самосопряженный, если К (з, !) К (й з). 2. Вычисление нормысамосопряжениогооператора.
Докажем лемму о связи нормы оператора со скалярным произведением. Лемма 1. Для нормы любого самосопряженного оператора Т, отображающего пространство Н в Н, имеет место равенство 11 Т 1)з = зпр 11 Тх 11 = зпр 1(Тх, х)1. н к Н~! Н к н= ! й 2. Самосопрвженные операторы и их свойства 137 используя которое и учитывая оценку (4) получаем соотношение )) Тг ))'.~ — ()(Т (аг + и), (аг -(- и))! + $Т (аг — и), (аг — и)))) «« ~ <(Ст О(аг + и ()х + й аг — и ()').
Принимая во внимание записанное в предыдущем параграфе в терминах нормы свойство 4) скалярного произведения и определения величин и и а, получаем неравенства ()в~ Сг (2 г~ ()х 2(~„)(в) Сг ~ й!гП о 1! г и — )) Тг ()о) =Сг() г(()( Тг ~~. )) ггй Разделив обе части неравенства на ) Тг)), выводим оценку ) Тг )' =. ( Ст )г 1, из которой следует, что )! Т !)т -.: С .
,(6) Из оценок (5) и (б) вытекает равенство Сг = ) Т )„а тогда из (4) — утверждение леммы. Ф 3. Вещественность характеристических чисел самосопряженного оператора. В гильбертовом пространстве Н рассмотрим уравнение тр — 'кТф = О, (7) где Т вЂ” оператор, отображающий Н в Н, и )о — постоянное число. Ясно, что уравнение (7) имеет тривиальное решение тр = 8. Может'оказаться, что при некотором значении Х = Хо уравнение(7) имеет нетривиальное решение тр = тро Ф 8.
Тогда зто значение Хо называется характеристическим числом оператора Т, а соответствующее атому )ое решение фе называется собственной функцией оператора Т. Вопрос о существовании и свойствах характеристических чисел и собственных функций произвольного оператора Т довольно сложный, однако для самосопряженных операторов собственные функции и характеристические числа обладают рядом интересных свойств, к доказательству которых мы и перейдем.
Теорема 1. Пусть Т вЂ” самосопрлженный оператор в еильбертовом пространстве Н. Тогда характеришпические числа этого оператора вещественны. ж Пусть )со — характеристическое число, а фо — соответствующая ему собственная функция оператора Т. Это означает, что ф,— ),,Тф,=о, (8) где фо ~ 8, Хо чь О, !/фо//т Ф О. Умножив равенство (8) скалярно на фо, приходим к соотношению (тго тсо) = ьо (Тфо, фо) 138 у. Самосопрвженнме операторы а птньбертовем пространстве из которого получим представлениш <тц„р,) <тщ,, ев) (ч чъ) й чв й' Утверждение теоремы будет доказано, если мы покажем, что (Ттре, ~ра) вещественно.
Из условий самосопряженности и свойств скалярного произведения имеем равенства (г тгс Ч'ь) = (Фс Т Фв) н (~ ~рв Фа) =(Фв г 'Рв)т из которых выводим соотношение (Чты Тфв) = (Ч с Ттрв) которое возможно только для вещественных чисел. Следовательно, (Ттрв, <рв) вещественно. р 4. Ортогональиость собственных функций самосопряжениого оператора. Собственные функции самосопряженных операторов обладают целым рядом интересных свойств, одним из которых является их ортогональность. Теорема 2. Собственныв функции самосопряженного оператора Т, соОтветствующие различным характеристическим числам, ортогональны между собой.
4 Пусть Л, и Л, — характеристические числа оператора Т, причем Л, Ф Л„а ф, и трт — соответствующие им собственные функции. Это означает, что имеют место равенства р, — Л„Т'~р, = О и р, — ЛвТрт = О. Умножая первое равенство скалярио на у„получаем соотношение (р,, р,) = Л, (тЧ,, р,) = Л, (р„, т Рв). Но Тф = ( 1!Л)тр„поэтому в силу вещественности Л, приходим к равенству «г„ р,) = (л,гл,) Ор„ Р,), т. е. к равенству (! — Л,тЛв) Ор» ~рт) = О. По предположению, Л, ~ Л„поэтому отсюда и вытекает равенство (йм тр,) = О. в Отметим без доказательства, что множество характеристических чисел самосопряженного вполне непрерывного оператора не более чем ) счетно.
Это утверждение можно вывести из доказанной ниже теоремы 6. Теорема 3. Последовательность собственных функций самосопрпженного оператора 7 можно сделать ортонормированной. а Если некоторому характеристическому числу соответствует несколько собственных функций (линейно независимых), то можно их ортогонализировать, применяя, например, метод ортогонализацни Шмидта.
А так каи собственные функции, соответствующие различным характеристическим числам, ортогональны между собой, то, нормнруя их, мы получим ортогонормированную систему. Таким образом, имеем систему характеристических чисел Л„ Л„ ..., Л„, ... и соответствую щую им ортонормированную систему собственных функций тр„ тр„ .. $2. Самосоврвжвнныв ооарвторы и их свойства !ЗЭ М =(!Т!!т= зпр !(Т~р, ~Р)!, ао!!-! из которого заключаем, что существует последовательность векторов (Рв), !!чтв !! = 1 такаЯ, что Вгп (Ттр„, ~р„) = М (или = — М).
в тв Оператор Т вполне непрерывен, поэтому можно выделить сходящуюся в Н подпоследовательность (у„в) с: (тр„), для которой существует предел 1пп Т~р„в = и (по норме Н). В-ты Докажем теперь справедливость равенства й ш )) ф„„— — Ттр„~ $~ ~= О. Учитывая соотношение '!Р„„— ' ТЧ„„~~' =1 — — '(Р„,те.„)+ ' )(Тр„„р, (9) приходим к выражению !пп ~~та„— Тчт„!! 1 — М+ — (!у)!в= а — 1>О. (10) ! ш 2 1 в !! а !!в КРоме того, из определения нормы вытекает оценка !!Тр„„!)~(!Т)!,!! Р„„!!=М, из которой после перехода к пределу получаем !! а! < М. Принимая теперь во внимание неравенство (10), приходим к равенству 1а!! = М.
Таким образом, справедливо соотношение (9), из которого следует, что для подпоследовательности фр„в) в метрике Н ~„, „. ( (Ч в, ~р ) = 0 при и чь т, (тсв, Ч в! = !), причем равные )с, повторяются столько раз, сколько нм соответствует различных собственных функций.$ б, Существование характеристических чисел. В предыдущих тео. ремах устанавливались свойства характеристических чисел и собственных функций в предположении их существования, Ответ же на вопрос о существовании характеристических чисел дается следующей теоремой. Теорема 4. Всякий вполне непрерывный самосопряженный оператор Т имеет по крайней мере один собственный вектор трв, отвечающий отличному от нуля характеристическому числу )в.
4 Обозначим через М норму оператора Т. Тогда, согласно лемме 1, можно записать соотношение !40 Ч. Самосопряигеииьга операторы в гипьбертовом простраивтае ' существует предел Вш ф„= д/М. Выбирая гра а/М из соогноше- а~оэ ния (9), получаем фе — — Тф'=О, или фа — Л*Тф'=О, М где Л* = 1/М. Ь 6.
Оценки роста характеристических чисел. В применениях само- сопряженных операторов, в особенности при приближенном решении уравнений, достаточно часто возникают задачи, связанные с порядном роста характеристических чисел. С втой целью получим для них некоторые оценки. Теорема 5. Для характеристических чисел Ла, й = 1, 2, ..., само- сопряженного вполне непрерывного в Н оператора Т справедлива ог(енка !Ль!)!/М, й= 1,2, ..., где М =))Т)), = зцр /(Тф, гр))1 иеп-г а Предположим противное, т.
е. пусть существует характеристическое число Л" оператора Т такое, что ! Л" ! ( 1/М. Пусть фа — соответствующий ему собственный вектор, причем !!фв ! = ! (иначе рассмотрели бы вектор ф = ф*/!! ф* !!). Умножая равенство ф* — Л'Тфа = О скалярно на ф*, получаем соотношение (фв фе) — Ле(тфв фа) — ! Ла ! !(Тфа фв)! из которого следует неравенство !!фе!!в=1=)Ла! )(Тр*,гр"))(!Л'! зцр !(Тф, р)!=!Ла!М.«-!. !!еп-! Таким образом, пришли к противоречию; итак, !Л*! ) 1/М. Ь 3 а м е ч а и и е. Ив теоремы 5 следует, что найденное в теореме 4 харак теристическое число Х* = !/М = !/! Т 1, является наименьшим по модулю характеристическим числом оператора Т, а потому для иормы оператора Т справедлива оценка !!Т!й <!ПЛь! (!!! где Лх — наименьшее по модулю характеристическое число етого оператора. /для того чтобы сделать некоторые заключения о поведении характеристических чисел на вещественной оси, докажем один вспомогательный результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
