Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ВыбиРаЯ Лс = шах ()тсс (и), Уо (е)), полУчаем, что пРи п, ) У справедлива оценка )) А хо — хо )) ( е. Но левая часть этого неравенства есть постоянное число, следова. тельно, Ах, = хо, а это и означает, что х, — неподвижная точка оператора А. оь 2. Сусцествование решения дифференциального уравнения. Применим теорему Шаудера к доказательству существования решення дифференциального уравнения второго порядка. П р и м е р )'. Показать, что если функция )(с, х, бх/с)С) непрерывна по своим аргументам в области О< с ~ Т, — оо Сх(со, бх оо ( (Оо с)с то лрн 0 ( С <; Т существует решение уравнения йох с)х ) — =) )с, х(с),— ~, о ~' ' с)с~' удовлетворяющее граничным условиям (2! х (О) = хс, х (Т) хз, Рассмотрим функцию о (Т вЂ” С) — при 0<о~С~Т т 6(с, о)= с СТ вЂ” о) — прн 0<с<о<Т т и покажем, что всякое решение интегрального уравнения т «т хг 1 ( бх(а) х(1) = х,+ г — ) 0 (г, а) / 1 а, х (а), ) ба о (4) является решением уравнения (1), удовлетворяюшям условяэя (2).
В самом деле, выполнение условий (2) очевидно, так как О (О. а) О (Т, в) О, Разбивая интеграл в (4) яа промежутки О ц а ~ 4 я г' С з аС Т и дяффе. ренцируя полученные интегралы по параметру ( и по переменным верхнему ° нижнему пределам, получаем равенства г(т — г) х, х') ба+ — /(Г, «(!), х' (()) Т х (Г) - /(Е х (г), х' (Г)). Последнее равенство означает, что если функция х (() является решением уравнения (4), то она удовлетворяет н уравнению (!). Стало быть, достаточно показать разрешнмость уравнения (4).
Пусть Š— банахово пространство непрерывно дифференцируемых функций х (Г), О .ц'. Г ~ Т, с нормой 1»(= ацр (/«(1)(+(«(Г)(), онгжт Рассмотрим оператор А, значеаие которого на каждой функции х(г) О Е ва- писывается в виде Т ха — х, А» и х ( г ~6((, а) /(а, х(а), х'(а)) ба ° Т о Аналогично получению равенства (5) убеждаемся в том, что функция Ах (Г) танже непрерывно днффереицируема, т. е, оператор А отображает пространство Е в себя. Йепрерывность оператора А есть очевидное следствие непрерывности /(Е х, х'). /(окажем, что образ А (Е) есть компакт. Лействнтельно, пусть (/) < М в области (). Тогда, учитывая вытекающую из соотношения (3) оценку О < б(Г, а) < Т/4, О < а, г < Т, получаем неравенство (Ас ( < (хт (+(х — хг(+МТт/4.
(б) » — х Г а х' (1) = т ~ Т о г й 3. Теорема Шаудера и ее применение 123 г(Т вЂ” П /(а, х. х') да — /(1, х(1), х' (())— + — / (3, х, «) ба — ) / (а, «, х ) да (5) т,) Т 124 1Ч. Впопнв непрерывные операторы в линейных нормир. пространствах С помощью преобразований, проведенных прн выводе соотношении (5), выводим равенство т Т .тз — х, 1 Я (Ах)', + — /(з, х, х') ба- ~/(я, х, х') бяс с иа которого следует оценка )(Ахг') < я +2МТ.
Т (В) Из неравенств (6) и (8) заключаем, что семейство функпий /Ах), х 6 Е, равновграничено. пРедполагаа длЯ опРеделенности гг ~ йм нз УРавнениЯ (4) найдем соотношение х,— х, Ах((П вЂ” Ах(Г,) = (1,— 1) — [0((„з) — 0(с„я)) /(я, х, х') с)я. Принимая во внимание равенство /О при 0<я<ге и при сс ч. ТмТ. гс (гы Я) — 0 ((з, Я)= Сз (Т вЂ” Я) Я (Т вЂ” Ссс Т Т прн ~я<1„ получаем следующее представление: хз — х, Ах (гг) Ах (Гз) = (сс — сз)+~ (Я вЂ” гя) / (Я, х, х ) дав Т ° — ~ — (1,— 1)/(я, х, х') Пя. ,) т Учнсывая, что )/) ( М.
выводим отсюаа опенку: ) хз — х,) ) Ах(сг) — Ах(с,)) < ( с,— с,)+2М (гс — сз)з. (9) Кроме того, нз выражения (7) следует равенство с, (Ахр (С,) — (Ах)' (1,)= — ~ /(я, х, х') бя, с, нз которого получим неравенство ) (Ах)' (Г ) — (Ах)' Ызс( < М ( Сс — гз( (1О) и нз оценок (9) и (10) убеждаемся в том, что семейство функций (Ах/, х В Е, равностепенно непрерывно по норме пространства Е. Применяя теорему Арцела для пространства Е (на доказательстве ее мы не будем останавливаться), убеждаемся в том, что множество А (Е) компактно в Е. Таким образом, оператор А вполне непрерывен и, по теореме Шаудера, су. шествует неподвижная точка этого оператора, а это означает, что уравнение (4) имеет решение, а стало быть, имеет решение и уравнение (!) с условием (2).
ф 3. Теорема Шаудера и ее применение 125 3. Применение к монотонным операторам. Теорема Шаудера часто используется при применении итерационных методов к так называемым монотонным операторам. Для иллюстрации этого применения введем предварительно следующие определения.
Множество М называется частично упорядоченным, если для не. которых пар х и у элементов этого множества введено отношение порядка (например, х предшествует у). Будем записывать это отношение порядка в виде х и-у; х Е М, у Е М. Ели же отношение порядка +- введено для любых пар х, у элементов множества М, то множество М будем называть вполне упорядо. чем ным. Например, множество бесконечномерных векторов х = (х„х„..., ..., х„, ...) становится вполне упорядоченным, если отношение порядка — ввести следующим образом: х - у, если х„= у, при и = ], 2, ..., т и х е,(у чы В пространстве С [а, О] можно ввести частичную упорядоченность, полагая, что х (1) - у (1), если х (() ( у (1) при всех (Е (а, (з]. Оператор А: (Х-» Х), отображающий пространство Х в себя, назовем монотонно возрастающим, если отношение х +-у (х, у р Х) влечет аналогичное отношение образов: Ах — Ау.
Если же отношение х — у влечет отношение Ау ч- Ах, то оператор А назовем монотонно убываюи(им. В существовании таких операторов легко убедиться на следующих примерах. П р н м е р ы. В". Пусть на полуупорядоченном пространстве С (О, Ц вадан оператор Т =1 К (3, т, х (1)) Ш, а ядро которого К (з, С х (1)) при з, т р (и, Ь] я любых х 0 С (О, 1] удовлетворяет условию дК!дх и О.
Доказать, что оператор Т вЂ” монотонно возрастаюший, Действительно, если х (1) у (т), т. е, для 0 ( 1-( 1 имеет место соотио. жение х(Т) (у (1), то, полагая «11)=х(1)+0(1)(у,т) — х(1)], 0<0(1)(1, х(1)ЕС(О, Ц, имеем соотношение Ту — Тх=~(К (з, т, у(1)) — К(з, С х(1))] б( а .ь дК з. 1, х (1)) (у(1) — хуП т > О, вх а а ато и означает, что Тх Ту, 12В !тг. Вполне непрерывные операторы в линейным нормнр. пространставк 3'. Пусть на вполне упорядоченном л-мерном евклядовом пространстве Е„аадан оператор растяжения А, определяемый матрнпей 1(оказать, что еслн Л„> О прв т = 1, 2...„н, то оператор А — монотонно воарастающнп В самом де.те, еслн х=(хт„..., х„) у=(у„..., уя), то хг=ут, (=1,2,...,т, н х +,<у е! т<л.
Но тогда Л!хг Л уб / 1,2, ...,гл, я Лыь,х,ны<Л„,ь,у„,ьы т. е. Ах Ау. Оператор А: (Х вЂ” ы Х) называется линейным, если для л!обык чисел а и () и лвбых элементов х и у из Х имеет место соотношение А (ах + ~у) аАх + ()Ау. Теорема 2. Пусть в частично упорядоченном банаховом пространстве Х задано уравнение Тх = — Ах+ 1 = х, где А — вполне непрерывный линейный оператор, представимый в виде суммы моногпонно возраспииощего оператора А, и манон!омно убываятщего оператора А „ определенных и непрерывных в вьспуклой области К с: Х. Пусть начиная с элементов уе Е К и ге Е К проведена ип!ера!(ия по формулам .
у~+д Атун+Аягт+1~ г~е! Атгн+Аауя+1, п=О, 1, причем для элементов у„г, у„г! справедливо соотношение т рядка уе»-у!»-г!»-ге. Тогда оператор Т отображает отрезок М„=1у„, га), т. е. множество точек х = ау„+ (1 — а)г„, О ( а ( 1, в себя и уравнение Тх = х имеет решение х такое, что у„— х» — г„, и = О, 1. 4Докажем по индукции, что при всех и = О, 1, ... выполняется отношение порядка у» »-унет » — гя+т '-гв. (11) Пусть у„, - у„» вЂ” г„»- г,, Тогда справедливы соотношения А! уп»-Атея н Аяге» вЂ” Атут применяя которые выводим отношение порядка уь+, — — А, у„+ Ая г„+ у» — А, г„+ Аа у„+1 = г„+;. Из соотношений А, уа, я А,у„и А г„, ( А,г„вытекает справ ливость отношений порядка у„= А, у„т -+ Ат г„, + у»- А т у„+ А, г„+1 = у„„.т и г„+,— — А,г„+Ату +1» Атг„т+Аау„т+( =г„.
й 3. теорема Шаудера» ее применение !27 Таким образом, доказаны соотношении (11). Из выпуклости области К следует, что отрезок М„= 1у„, г„) весь принадлежит К и в силу (1!) отображается вполне непрерывным оператором Т в себя: Т (М„) = М„+, — М„, Принимая во внимание непрерывность операторов А, и Аз н соотношения у»+1 = Ат у» + Аз г» + 1~ г»тз = Ах г» + Азу» +1» при и-ь оо получим равенства у = Ату + Авг + ~, г = А г + А,у + ~, в которых у а — г. Полагая х = — (у+ г), имеем соотношение у„а- х»- 2 — г„н равенство х = Ах + 7, а зто и означает, что х — решение исходного уравнения. Ь П р и м е р 4'.
В частично упорядоченном пространстве дважды днфференцируемых функций Сэ 10, Ц установить границы для решения уравнения нвхКнз= — 1 — У х (!2) с граничными условиями х (О) О, х (!) !. (!3) Уравнение (!2) е условиями (!3) эквивалентно интегральному уравнение 1 х(1) 1+~ С(1, з)(з+)7 х(в)) <$в, о где в(! — 1) прн О<в<1» 1, С(1, з) = 1(! — з) при О<1~в< ! ° Если выберем ур (1) 1в, х (1) (2')/Т вЂ” бв, то иа интегрального уравнения найдем первые приближении: 1 4 1» у,(1)=!+~С(1, з) 2вбз 3 3 а 1 хз (1) =1+ ) С (1, в) 2 3l з бв = — 1 — — 1 1 ° 23 8 !5 15 в Нетрудно проверить, что выполняются отношения порядка ра(1) р, (1) а- ха(1) э- ха(1), поэтому для решения х (1) уравнения (!2) имеем опенку 4 гз 23 8 — 1 — — - х(1) — — 1 — — 1"' 3 3 .- !5 15 1ЯВ [Ч, Вполне непрерывные операторы ° лннеаных нормнр. пространствах $4.
МЕТОД ИТЕРАЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 1. Свойства итерированных операторов Фредгольма. Установим предварительно некоторые свойства итерировоикых лдвр и операторов Фрвдгольма. Как и в 5 2, будем предполагать, что ядро К (1, з) квад. ратично суммируемо в квадрате а ~ 1 и„Ь, а т з:~ Ь, т.
е. удовлетворяет условию ьь Ве = ~ ~ [ К (1, з) [т с[1 дт ( оо,' (1) аа Б и. 3 з 2 было показано, что для каждой функции ч (1) с 1в [а, Ь! значение оператора Фредгольма Т(у=~К(1тз)тр(з) дз (2) а снова принадлежит 1.'[а, Ь). Отсюда следует, что к знзчению Ттр можно также применить оператор Т.
Тогда имеем представление ь ь ТТтР = Т' тр = ~ К (1, з) ~ К (з, з,) ~р (з,) дз, дз = ьрь -[ [каакь.ъ1т1таатъ а а из по~орого получаем форму второго итерированного лдра Фредгвльзтп К, (1, з) = ~ К (1, з,) К (з„ь) дз,. Оценим норму элемента Татр, который также принадлежит 1.в [а, Ь[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
