Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Полнота метрических пространств 9Т П р и м е р. Покааать, что в пространстве Вв оператор раствжеаив непрерывен в литбоа точке пространства. В самом деле, пусть дли ваданнего е ) О в Еаданноа точка втю иослеаоаа. еельность (х~е') выбрана так, чтобм прв л Ь йе (а) выполнвлось иераееиства рл„(хгаг, х,) = 3 ~'„(х<е~ — х<а~)т ~Уптал )хвт ' — «т ))а" !~и.сл ( а птах )аа) г~вча Тогда при д > «т (е) имеем соотношение к р (А бн А <Е)) тГ~ та ( ГМ <от)т т 1 С гнал )хт) (/й гпаи )ктг г — хГ )) < в. ~.
тсв 1чткк Следовательно; оператор растижеиив А непрерывен в каждой точке лГв~ пространства Ев. в 3. ПОЛНОТА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 1. Определение. В предыдущем параграфе дано определение предела последовательности в метрическом пространстве. Естественна постановка вопроса о необходимых и достаточных условиях существования предела, об аналоге критерия Коши в метрическом пространстве. Ясно, что всякая сходящаяся к пределу х* последовательность (х„) удовлетворяет необходимому условию критерия Коши: 'ггз)0 н У Лг (е) такое, что неравенство р (х„, х ) ( з имеет место для всех и, гп > ) гт' (з). Однако если в множестве рациональных чисел (г) ввести метрику р (г„г,) = ~гт — г,~, то получится метрическое пространство )г', в котором ие каждая последовательность (и„), удовлетворяющая достаточному условию критерия Коши, будет иметь предел в атом пространстве )с.
Этот пример показывает, что в произвольном метрическом пространстве аналога критерия Коши быть не может. Поэтому ставится задача о выделении тех метрических пространств, в которых имеет место критерий Коши. Введем следующее определение. 4 звк ~Не П1. Некоторые ненятия функциенаяьного анализе Последовательность элементов (х„) метрического пространства Хр называется сходящейся в себе (или последовательностью Коши), если чг е - О н ту' = Ф (е) такое, что р(х„, х )(е 'сг и, т)лт(е).
(1) Очевидно, что всякая сходящаяся к пределу х', х* Е Х„последовательность (х„) с: Ха является последовательностью Коши. Метрическое пространство Хе называется полным, если каждая последовательность Коши сходится к пределу х*, являющемуся элементом того же пространства Хр. 2. Теорема о вложенных шарах. Чтобы получить некоторую характеристику полных метрических пространств, докажем, что в таких пространствах имеет место аналог теоремы о вложенных отрезках. Введем предварительно следующие понятия. Точка а с Хе называется предельной точкой множества М с:.
Х„ если любая окрестность 5 (а, г) точки а содержит хотя бы одну точку множества М~ а, т. е. 5(а, г) () (М' а)ФО для любого г) О. Замаканием множества М, обозначаемым через М, называется объединение множества М с множеством А всех его предельных точек, т. е. М=М() А. Теорема 1.
В полном метрическом пространстве Ха последовательнотпь вложенных друг в друга замкнутьгх шаров 5, (а,, г,):з 5, (а„г,) ~ ...:з 5„(а„, г„) ~ .: (2) со стремящимися к нумо радиусами г„имеет одну и только одну точ- ку а, принадлежащую всем шарам. 4 Покажем прежде всего, что последовательность центров шаров, т, е. последовательность а„а„..., а„, ..., сходится в себе. действи- тельно, так как при любом р = 1, 2, ... справедливо вложение 5„ея (а„ь„, г„„„) с: 5„(а„, г„), то расстояние между центрами шаров удовлетворяет условию р (а„е„а„) ( г„.
Но г„-ь О при и-ь ео, а потому р (а„ер, а„) ( в, если только и ) )у' (з) и р = 1, 2, ..., а это и означает, что после- довательность (а„) сходится в себе. По условию, Х вЂ” полное прост- ранство, поэтому существует элемент а, а ~ Х, такой, что а = И ш а„. к Пусть й ) 1 — фиксированное целое число. Из (2) следует, что все точки ая, ая+„..., аяь„, ... принадлежат шару 5я (ае, гя), а пото- му этому шару принадлежит и предельная точна а = Ишак.ь„~ 5„(а, г„); первая часть теоремы установлена. й 3. Полнота метрнческнт пространств 99 Предположим тенер»ь что существует элемент Ь Р Х, Ь ~ а такой, что Ь с 5„(а„, гл) для всех и = 1, 2, ...
Так как Ь ~ а, то р (а, Ь) = = б - О. С другой стороны, применяя неравенство треугольника, получаем оценку Выберем последовательности в» = 1/2 и /!/» = /Ч (1/2»), для которых р(хны хн„» )(1/2" Ч~р=1, 2, ... (з) Рассмотрим последовательность замкнутых шаров 5»(хн„1/2% 5,(хн„!/2), ...,5»(хн„, 1/2» '), (4) Учитывая, что хн„, = хн„„при некотором р„для любого х Е 5»+, (хн,, 1/2») имеем оценку ! 1 ! р(х, хн»)(р(х, хн„)+р(хн,, хн„) = —,, + —, Это означает, что х Е 5» (хн», 1/2' — '), т. е. справедливо вложение 5»+т (хн,, 1/2') с: 5„(хн», 1/2' ').
Радиусы шаров (4) стремятся к нулю, а так как, по условию теоремы, их пересечение не пусто, то сутцествует точка х,, принадлежащая всем шарам. Покажем, что х„— предел последовательности (хл). Действительно, имеем неравенство р(х„, х )(р(х„, хн„)+р(хн„, х,). Но х, Р 5» (хн», 1/2» — !) и расстояние от хн„до х, удовлетворяет условию р(хн„, хь) (1/(2» — '), 4$ р (а, Ь) л ' р (а, а„) + р (а„, Ь) ( 2г„— н О при и — оо. из которой следует, что б ) О быть не может.
Следовательно, б = О, и по аксиоме тождества для метрики заключаем, что Ь = а. ~ Условие теоремы ! является в некотором роде характеристикой полных метрических пространств. В самом деле, имеет место следую- . щее утверждение. Теорема 2. Если в метрическом пространстве Хр любая последовательность вложенных друг в друга замкнупиях шаров со стремящимися к нулю радиусами ил!еет непустое пересечение, то Х вЂ” полное. ~ Пусть (х„) — фундаментальная последовательность из Х„т. е. 'сте~ О н Л/=Лт(е)такое, что р(х„, х„+„)(в для всех и) Лт(е) и р=1,2, ...
)ОО И!. Некоторые понятна фуннцмонвльногв аналнзв поэтому, выбирая и ~ Уь и используя условие (3), получаем соотиошаиив 1 1 р (х„, хе) ( — „+ — -~ О при й-ь оо. 2в Сладоаательпо, хе — предел поадедовательности (х„), т. е. Хв— полиае простраиетво. )в П р в м е р м. 1ч. Показать; что в-мерное евклндово пространство Е„с метраяой р(л у) ! гХ (хч — р )э валяется полным пространством.
ч ! Пусть (хгв!) — фундаментальная последовательность, т. е. р(х!ь), «1~!) < в для всех Ь, гл > д!(в). (У!квела ааедует, что для любого ч = 1, 2, ...; п справедливы неравенства в )з!ч( ! — хч1~!) < ~/ ч', (х! !! — х!!м!)' < е Ч Ь, гл > !у !в) . ! ! Вто ееяачает, что последовательности вещественных чисел (х1, !), ч = 1, 2; ...!гп являются фундаментальнымн н в силу крнтерня Коша существуют пределы х 1'щ х!З), ч=1, 2, ..., и. (б) ч Ь ч Обознзчнм последовательность этих предельных значений через х. Тогда х (хэ, х„..., х„)6 Е„ н имеем равенство р(х, х! !)=1 ~~', (хг — х!! ) г 1=! Из соотношепнй (5) заключаем, что р (х, х'"') — ч О прв Ь -+ со, т. е.
ń— полное пространство. 2'. Доказать, что пространство С (а, Ь) полно. Действнтельно, пусть хп (!) г- С (а, Ь], л 1, 2, ..., н (хв П)) — фундаментальная последовательность, т. е. такая, что (6) тзх )х„!!) — «„,(!)1< з, если п, гл > М(э). а!ь Но условне (6) является условием равномерной сходнмостн последовательноста непрерывных функннй («Л (!)), предел которой, функпня х (!), является также непрерывной функпней: х (!) О С(а, Ь). Таким образом, любая фундамеаталь. нэв последовательность !х„(ПЛ явлвется сходящейся н пространство С (а, Ь)— полное. 3'. Доказать полноту пространства сходящихся последовательмоетей Е, Пусть 1а!Э!1 — фундаментальная последовательность нэ с, т.
е. такая! чта р (р!ь), о!м!) < е дла всех Ь, гл > Л! (в). й 3. Полнота метрических пространств !О! Тогда из определения метрики в с следуют неравенства апп~ а! ) — а~()~ < а для всех й, ш» йт(а), л а потому и йеравенства а„ вЂ” а„ ! < в при й,т » У (е) для всех л 1, 2, „, (ш (т) ! Из этих оценок выводим существование предела по каждой координате; т. е. су- ществование чисел а„йш а(а), л 1, 2, * л (у) Таким образом. имеем последовательность а = (ап ссе ...; ае ...). вдокажем, что сс й с. Очевидна следующая оценка: + !!ал ) а(ы~1+ !!ю4,) — аш1.
Из того, что а„есть предел последовательности (а(а)) !, следует, что для Д» Ье (в) справедливы неравенства )ал — а(, !~<з и (а~ ) — ссы)<а далее, так как аш' ~ с, то для л, ш» М (е) выполняется соотношение ~ а!") -о!„") ~ < е . Следовательно. длн л, ш» й! (е) имеет место опенка ! ал — аы! < Зз и в силу критерия Коши а р с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
