Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Продолжая шаг за шагом ПЬ Некоторые лонятия функционального анализа этот процесс, мы и получим ортонормированную систему векторов ец>, ео>, ..., ег">. Преобразование пространства Е„в себя, осуществляемое оператором, заданным с помощью квадратной матрицы ии итз - ит А= аз а, ... азя а„, а„, ...
аля порядка и, называется аффинным. Будем записывать его в ниде ут = =- Ахт где х, Ут х =(х„..., х„) = ут (у у)т, У~Е„ т т хз Ут хл Уи В зависимости от значений элементов а,„матрица А может осуществлять различные отображения. Например; оператор 1 0 ... 0 0 1 ... 0 1= = (бта) 1,".я=г 0 0 ...
1 х Е Е отображается этим является единичным, т, е. любой элемент оператором в себя: 1х' = хтт' = хт; оператор ),О...о 0 Ла ... 0 0 0 ... Х„ осуществляет растяжение координат вектора х = (х„..., х„) и переводит этот вектор в вектор ут Ахт = (Х,х,, ..., Х„х„)т; оператор 0 ... 0 0 О, ... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 ! 0 ... 0 0 ... 0.0 0 ...0 и-т-я строка 0 . . 0 0 0 ... 0 — т-й столбец й 2.
Метрические пространства 93 ОСущЕСтВЛяЕт Провнтироеапив ВЕКтОра Х = (Х,, ..., Х„) На Орт Ес»1, т, Е. ут= Р,х"=(О, ..., О, х„, О, ..., 0)т. Можно было бы привести и целый ряд других специальных отображений, однако мы не будем на этом останавливаться.
3 а м с ч а н н е. В множестве и-мерных векторов х = (хо ..., х„) матра«а может быть определена н отличным от формулы (1) способом. Напрнмер, часто рассматривается такая мстрнка: р,(х, р)= !пах 1ха — рв р !«а<а Ясно, что определяемая соотношением (1) метрика р(х, у) н метрика р! (х, р) связаны между собой неравенствами р,(х, р) <р(х, р) <~/лрс(х, у).
Полученное с помощью метрики р, (х, у) и-мерное метрическое пространство условнмся обозначать через Еа. Отмствм, что множество злементов, входящих в сднннчный шар пространства Е„, вложено в множество злсмснтов единичного шара пространства Е„ 3. Пространство непрерывных Функций. Пусть Х вЂ” множество непрерывных иа отрезке (а, И функций х П). Положим, что рс(х, у) = гпах 1х(1) — у(1) !.
(4) а са» Для любых функций х (1), у (1) и г (с) из множества Х имеем неравенство !х(т) у(т))()х(г) — г(т))+)г(() — у(с)), из которого следует соотношение т ах 1 х (1) — у (1) ) ( гп ах ) х Я вЂ” г (1) ) + !пах ) г (Г) — у (1) 1, с с а это и означает, что метрика р (х, у) удовлетворяет неравенству треугольника: рс(х у)(рс(х, г)+рс(г, у). Остальные аксиомы метрики очевидны.
Определяемый с помощью метрики (4) предел последовательности функций (х„(1)) означает, что !пах )х„(г) — х(1))-» 0 при и — с-оо. ((5) а<с<а Но выполнение условия (5) влечет равномерную сходимость последовательности функций (х„(с)) к функции х (С). Таким образом, обозначая через С (а, Ь) пространство непрерывных на (а, Ы функций х (1) с метрикой (4), заключаем, что сходимость в пространстве С (а, И есть равномерная сходимость последовательности функций. 4.
Пространства интегрируемых с р-й степенью Функций. По многих приложениях для одних и тех же множеств функций рассм.- триваются различные понятия «блнзостн». Так, кроме рассмотренного З4 ПЬ Некоторые понятия функционального анализа в предыдущем пункте максимума модуля уклонения функций вводятся понятия уклонения в среднем, среднеквадратического уклонения и др. Множество рассматриваемых функций Х также может быть расширено. В самом деле, пусть Х вЂ” множество определенных на [а, Ы функций х (~), р-я степень которых (1 (р - со) абсолютно интегрируема на [а, Ы: ~ ] х (1) [» дх ~ оо, 1 ( р ( оо, а При этом функции х (1) и у (1) будем считать вквивавея»плыии в этом множестве Х, если они отличаются друг от друга самое большее иа множестве точек, имеющем меру ноль. Не вводя определение меры Лебега, ограничимся только множествами М жордановой меры ноль; это означает, что для любого е ) О множество М можно покрыть конечным числом открытых интервалов, сумма длин которых меньше а.
Ясно, что множество иэ конечного числа точек или нз счетного числа точек имеют жорданову меру ноль. Введем теперь в множество Х метрику. Именно: для любых функций х (1) и у (г) из Х определим расстояние между ними соотношением Ь х ы» рр(х, р)=~(]х(~) — р(!)]»й~ ~,а Существование стоящего справа интеграла следует из теоремы 3 предыдущего параграфа, из которой также вытекает и неравенство треугольника 'т ы» рр (х, у) = ~] [х(т) — г(1)]+ [г(г) — р (~)] [» у а (р»(х, г)+ р»(е, у).
Аксиома симметрии для метрики (6) очевидна, а аксиома тождества понимается в смысле эквивалентности функций на множествах, меры джордана которых совпадают. Сходимость последовательности функций (х, (г)) к функции х (г) определим с помощью соотношения т~ ы» р»(хги х) = ~]х„(г) — х(г)[»й) -иО при и-+-оо а и полученное пространство будем обозначать через Е,»[а, Ы. Сходимость в этом пространстве х.»[а, Ы будем называть сходимосгпою в среднем со степенью (с показателем) р. Заметим, что если числа р, и р, удовлетворяют неравенству р, ) ) р, ) 1, то для соответствующих им пространств справедливо вложение Е.» [а, Ы с: Е»* [а, Ь].
й 2. Метрические прострвнствз 95 Р(Х У)л = ЗПР ! Хл — ул ) (7) 3 з м е ч з н и е. Мвкснмум разностей (к„— ул! по всем и может н не су. ществоввть, тогда квк верхняя грань существует, Например, если последовзтельности заданы с помощью формул кл — и! (и+ 11, ул — 1! (и+ !! и = ! 2 то для их рззиости спрззсдлизо соотношение к„— у„= (и — 1!! (и+ 1) — 1 при л со! т е. зпр (к„— у„! = 1, хотя шзх (хл — ул! не существует.
л л Выполнение аксиом метрики для введенного в (7) расстояния невидно. Множество Х с введенной метрикой (7) будем называть пространством сходящихся последовательностей и обозначать через с. Выясним смысл сходимости в этом пространстве с. Пусть последовательность (а!">) = ((а',"!, ..., а,'„",, ...)) с: с сходится в с к элемент) а = (а„..., а„, ...). Это означает, что !нп р(а'"1, а), =)нп зпр)аз — а„) =О, Ф л З л л т. с. 'тв) О ЯК= К(в) такое, что зпр ! а!" ' — а„1( е для всех й ( К (е). л Отсюда следует, что ! а„'м — а„! ( в для всех н = 1, 2, ..., если только и ) К (е). Но это есть равномерная покоординатная сходимость последовательности (ась!). 6.
Пространства последовательностей со сходящимися рядами. Пусть Х = (х) есть множество последовательностей х = (х„..., хл, ...), члены которых таковы, что при некотором р, ! -" р ( со, сходятсп Ряды ~" !Х„)л. Введем в это множество метрику с помощью соогношения / л й !!и р(х, у)р — — ~ !х„— и„)л л ! (8) Пространство !'.з (а, И называют функционал.ным еильбертовым пространством.
5. Пространство сходящихся последовательностей. Пусть Х = (а) есть множество сходящихся последовательностей а = (а„... а„,...), т, е. таких, что предел 1!щ а„существует и конечен. Метрику в Х л введем следующим образом: если х = (х„..., х„, ...) с Х и у = (рт, ... ..., у„, ...) с Х, то расстояние между ними определяется равенством Н!. Накогорыа конягин функционального анализа где у = (у„.„, у„, „.) также принадлежит Х. Сходпмость ряда л с н а также неравенство треугольника т гга р(х, у)„=( ~~~ !(х„— г,)+(г„— у„))л) ( тгг= ! р (х.
г)„ + р (г, у)„ следуют из теоремы 4 предыдущего параграфа. Аксиомы тождества п симметрии для метрики (8) очевидны. Пространство, полученное из множества Х путем введения в него метрики (8), будем обозначать через!л. Сходпмость последовательности (х<Я!) к элементу х означает, что т !!л р(х!"!, х)р — — ( ч.', !х!'! — хл !л — г О прн й — ь оо. !,л=! Отсюда вытекают соотношения: а) !пп х!Я>= х„для всех и.= 1, 2, я яя '! !/р ,б) ( У !х!я!(л) <е для всех Аг' г-Ага(е) г,я=м,- ! и всех и =- 1, 2, ... Эти соотношения показывают, что имеет место равномерность оценки остаточных членов рядов рассматриваемой последовательности (х"'). В случае р = 2 пространство Р называют координатным гив;- бертовьи пространство>л.
Оно является обобщением и-мерного евклидова пространства Е„ на случай и = оо. 7. Непрерывность оператора. Пусть заданы два метрических пространства Хрх и г'ру и оператор А, определенный на некотором множестве М с: Х со значениями в 1',т.е. такой, что если х Е М, то у = = Ах Е )'. Аналогично определению непрерывности функции вещественной переменной, введем следующее определение.
Оператор А называется непрерывным в точке х, Е М, если суе ) ) 088 = б (е) такое, что р! (Ах, Ах,) - е для всех х Е М, удовлетворяющих условию рх(х, х,) ( 6. Из этого определения следует, что если оператор А непрерывен в точке х, и последовательность (х„) с: М такова, что 1! ш рх (х„х,) = н о = О, то и 1(гп ру (Ах„, Ах,) = О. Обратно: если для любой последовательности (х„) с: М такой, что 1!п! рх (х„, х,) =О, имеем л ьг Ищ ру(Ах„, Ах,) = О, то оператор А непрерывен в точке,хч:- 5 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
