Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Так как нельзя оценить шах ( у' — уе ( по шах ( у — г/в!, то шах ( у' — ув ) может быть больше 6, в то время как шах ~ у — у, ( ( 6, т. е. у будет принадлежать в-окрестности уе в пространстве С, но( / (у) — / (уе) ( > з. Это и означает, что функционал / (у) не будет непрерывным в пространстве С. 3. Линейный функционал.
Приведем определение линейного функционала. Пусть Š— линейное 'нормированное пространство. Функционал Е (у) называется линейным, если он: а) непрерывен в пространстве Е; б) для любых у„ уз Е Е выполнено условие аддитивности /- (й + йз) = С (Ут) + /- (йз). Можно доказать, что из условия аддитивности и непрерывности линейного функционала следует его однородность, т. е. если Л вЂ” произвольное аешественное число, то Е(Лу) = ЛЕ (у). (6) Примером линейного функционала может служить интеграл С (/) = ) / (х) дх, определенный на пространстве С. Легко проверяется, что он а непрерывен и аддитивен.
П р и и е р 2'. Показать, что функционал ь С (/) =) и (х) / (х) дх, а (7) где а (х) — непрерывная фиксированная функция, является линейным в про. странстве С. Аддитивность этого функционала очевидна. Покажем его непрерывность, Учитывая. что а (х) ограничена йа (х)1 ( М), оценим модуль разности; имеем ь 1 д (/) — Ь (/ г) 1 ~< )г 1 а (х) 1( / (х) — /, (х) 1 дх < а ч, М геах (/(х) — /,(х)((Ь вЂ” а) (М й/ — /к(( (Ь вЂ” а)~е, кя[а.ь] в квк тол~ко норма 1(/ — /,1 ~ . А это означает, что функционал 7) непрерывен.
ф ь Функционал (4) 1 (у) ) )кк~ ) р з бх не является линейным в пространстве а С, ибо для него не выполнены условия непрерывности н аддитивности. Этот же функционал не будет линейным и в пространстве С" П котэ он и непрерывен, но не является аддитивным. й 2. Экстремум функцнонааа 155 й 2. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА 1. Вариация функционала. Методы исследования функционала на наименьшее и наибольшее значения сходны с методами исследования функции на наименьшее и наибольшее значения.
В нормированном пространстве Е рассмотрим функционал ! (у). Приращением или вариацией бу аргумента у функционала 1 (у) называется разность между двумя элементами у, у Е Е, т. е. бу = у — у. Вариация бу в вариационных задачах играет роль, аналогичную роли приращения независимого переменного бх, а вариация функционала— роль дифференциала функции в задачах на исследование экстремумом функций ! (х).
Величину б! = б! (бу) = ! (у + бу) — ! (у) называют приращением функционала, отвечающим приращению бу. При фиксированном у приращение б! (бу) представляет собой функционал от бу. Предположим, что приращение можно представить в виде суммы б! = б! (бу) = б (бу) + О ( 11 бу 1~ ), (1) где Ь (бу) — функционал, линейный относительно вариации бу, а о (1бу~!) — бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с 1бу). Главную часть Е (бу) этого приращения б!, линейную относительно бу, называют вариацией функционала ! (у) и обозначают через 61, т. е. 6! = Е (бу). Нас будут интересовать функционалы ! (у), определенные на некотором множестве н раз дифференцируемых функций у (х).
В этом случае вариация аргумента бу = у (х) — у (х) является функцией от х, которую можно дифференцировать и раз: (бу) =у — у =бу, (бу)" = д' — у" = бу", (бд)ня = ут"' ут"1 = б„тат. Этн равенства означают, что производные вариации функции у (х) равны вариации производных. Таким образом, если функция у (х) получает приращение бу, то ее первая производная у' (х) получает приращение (бу)' = бу', а й-я производная у1ьт (х) — приращение (бу)1ь1 = = бутм, й = 1, 2, ..., и.
В вариационном исчислении рассматриваются функционалы вида ь ! (у) = ~ Р (х, у, у') дх, (2) а где г (х, у, г) — непрерывная функция, имеющая непрерывные частные производные по всем переменным до второго порядка включитель- 156 Ч<. Основы вариационно«о исчисяения но. Можно показать, что при выполнении условий, наложенных на Р (х, у, г), функционал (2) непрерывен в С<'1.
Найдем вариацию этого функционала в пространстве С<'>. Пусть бу = Ь (х) — приращение функции у (х), тогда бу' = Й'. Применяя к разности подынтегральных функций формулу Тейлора, для приращения Л! получаем соотношение 6 Л! =~(Р(х, у+1<, у'+й') — Р(х, у, у'))<[х= а ь =([Р„(х, у, у')й+Ру (х, у, у'))<') <[х+ а ь + — ~ (Р „(х, у*, ув')йв+2РУУ (х, ув, ув')й' -)- а + Ру у (х, у*, у*') й ") <) х, где у' = у + йв — некоторая функция из С">. Второй интеграл в этом равенстве обозначим через 7в (г<) и перепишем Л( в виде Л) -Ру Ь+Ру Ь') бх+!2Я.
а (3) Здесь, как принято в вариационном исчислении, частные производные дГ дР двд ду ' ду' ' дуду' ' "' —, —,, —,, ... обозначены через Р, Ру, Р„у, ... Первый интеграл У У~ УУ' в (3) аддитивен и непрерывен по отношению к бу = й (см. функционал (7) 3 1), поэтому он будет линейным функционалом относительно приращения л. Покажем, что второй интеграл в (3) есть о ()<<<11<). Из определения нормы в пространстве С<'1 (см. (2) 3 1) имеем шах ) й ) ()))< 11< и шах ( й' ( . [[ л )1<.
«о[а,в1 «я[а,с1 Гак как, по предположению, вторые частные производные функции Р (х, у, г) непрерывны, то существует постоянная А ) О такая, что ) РУУ ) ( А, [РУУ ) ( А, ) РУ У ° ) ( А. (2А (Ь вЂ” а) 1[6)1[, 1 Учитывая эти и предыдущие неравенства, для (в ()<) в (3) получаем оценку ь 1 7~([<)!= — ~(Ру й'+2Руу йй'+Руу й'в)<[х ( а 5 2.
Экстремум функционала Ит значит второй интеграл есть о (( й й). Следовательно, вариацией функционала (2) является первый интеграл„стоящий в правой части равенства (3), и она имеет вид ь б! = ~(Р„й+ Р„. й') 6х. а Совершенно аналогично показывается, что вариация функционала ь ((у„..., у„)=$Р(х, ум у(, ..., у„, у,')6х, (б) а зависящего от л функций у„..., у„и их первых производных, в прост- ранстве Сат имеет вид ь т и (( и т;,т,-,.а„,а;)а*.
с (б) Вариация функционала а /(у) = ) Р(х, у, у', .„, у~ь1) 6х, а (7) 2. Понятие слабого и сильного экстремума функционала. Напомним определение экстремума функции: точка М, называется точкой экстремума функции ! (М), если существует некоторая окрестность точки М„в которой приращение функции сохраняет знак, при этом если Л!) О, то Мо — точка минимума, если Ь)( О, то Мо— точка максимума. Теперь определим экстремум функционала. Функционал ! (у ), у с Е, достигает экстремума при у = уь (х), если существует окрестность точки у = у, (х) Р (уо е) = (у е Е.
й у — уо й (е) в которой приращение Л! = ! (у) — ! (у,) сохраняет знак; при этом если Л! ) О, то ! (у) достигает минимума при у = уо, если й! ( О, то максимума. Будем рассматривать функционалы ! (у) на некотором множестве )с дифференцируемых функций. Эти функции можно рассматривать либо как элементы пространства С, либо как элементы пространства С<т>. В соответствии с этим будем исследовать на экстремум функционалы в пространствах С и Са>.
зависящего от функции и ее производных до й-го порядка включительно, в пространстве Сть~ имеет вид б! = ~(Р„й+ Р„й'+...+ Р им й(ьт) 6х.' (8) а )ба >г!. Основы вариациоииого исчисления П р н м е р 1", Показать, что если функцнонал ! (У) нмеет экстремум в пространстве С, то он имеет экстремум н в пространстве СП>. Пусть уо дает экстремум функцноналу ! (У) в пространстве С. Тогда сушествует такое е ~ О, что для всех У 6 Рс (Уо. з) (УВ й<.
6У вЂ” Уо )! с ( з) прнрвшенне а! сохраняет знак. Возьмем найденное е ~ 0 н рассмотрим е-ок. рестность точка у, уже по норме пространства Сп>, т. е. окрестность Р, (уо, в) = (УВ >!, >>У вЂ” Уо )), ~ е). НоРма в пРостРанстве Со> не меньше ноРмы в пространстве С, !! у — уо )), > й у — уо >! с, поэтому любая точка у р Р, (Уо, е) ЯвлЯетсЯ так>не точкой'нз окРестности Рс (Уо, е). Инымн словами зокрестность Рс (уо, е), рассматриваемая как множество днфференцнруемых функций, шире, чем з-окрестность Р, (уо„е).
Для любого у В Рс (уо, е), в частностн для у В Р, (у, е), прнрашенне функционала о! сохраняет знак н, следовательно, уо дает экстремум функционалу ! (У) н в пространстве С<». Обратное, вообще говоря, неверно, т. е. если уо дает экстремум функционалу в про. странстве С<», то точка уо может быть, а может н не быть экстремальной в про. странстве С. Это утверждение следует нз того, что еслн рассмотреть е-окрестность Рс (у, в) как множество днфференцнруемых функций, то в ней могут най. тнсьтакне у В Рс (у,, а) в у >) Р, (уо, е), что прнрашенне а! не сохраняет знака в окрестностн Рс (у,, е). Экстремум в пространстве С называют сильным экстремумом, а экстремум в пространстве С!'> — слабым экстремумом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
