Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 32
Текст из файла (страница 32)
2'. Найти кривую, проходящую через точки А ( — 1, О) В (1, О), имеющую длину л и такую, чтобы площадь, заключенная между кр вой и отрезком оси Ох, была наибольшей, й 4. Вариацнонные задачи на условный экстремум 177 Заметим, что площадь и длина дуги выражаются соответственно интеграламн Я((()= ~ У(Х)()Х И ((У)= ~ 3/ 1 )-У'*((Х, — 1 — ! а искомая функция у (х) должна удовлетворять граничным условиям у ( — 1) = у(1) О, Таким образом, следует найти экстремум функционала 8 (у) прз условии 1(у) = и.
Составим вспомогательный функционал Г'= ~ (~+)(У)-(-у'*)((Х вЂ” ! и запишем и ~и него -уравнение Эйлера 1 — ) —, =О, д у' !(х р' 1+у'* интегриотя кетовое найдем х — с,. Разрешая последнее уравнение дд ~') + у" относительно у', имеем Д уг)!з — (х — с,)' Интегрируя получаем й — СЗ= ~ $ ) — (Х вЂ” С!), ИЛИ (Х вЂ” С!)з -1- ('! — е ) — ХР Постоянные с!, ся, д получим иэ граничных условий и условии сзяэн ! — и, Имеем систему уравнений (с, — ! Р+сз = "ьз, (с, + ! Р+ с', = ьз, ). пх =и у й' — (х — сз! — ! реп!ая которую находни с! = О, г! О, ь 1. Таким обратом, дуги окружности у = 1/! — хз и Ч = — 7 ! — х! дают решение нзопернметрической задачи. Минимальная площадь равна и!2, 3".
Определить форму. которую принимает в поле тяжести абсолютно гибкая нить длиной 1, подвешенная за оба конца. Нить провиснет так, что ее потенциальная ввергая буде! минимальной. Потенпнэльная энергия нити определяется с помощью интеграла ! (у ! = 1 оа/б! = 1 рду )д! + у'* лх, гле у — кривая, уравнение которой у = у (х), а (х,, р,), (х, у ) — фиксирован. ные конечные точки нити, д — ускорение силы тяжести, р — йлотность. Таким 178 тт!.
Основы аариамяониого исчисления образом, требуется найти минимум функционала 1(у) прн условии, что длина нити остается постоянной, т. е, к 1=~ 'гг1-)-у'* дх=сопз(. Составим вспомогательный функционал: 1* ) [рйу$ !+у'*+А у'1+у'*! бх. Подынтегральная функция не содержит явно х. позтому уравнение Вале. ра для етого функционала запишем по формуле (3.7): руу+а у 1+у — (уру+х) 1 )'1+у" с Решим зто дифференциальное уравнение. Имеем: у'=~ р'с,'(руу+Х)з — 1; !п ! ст (руу+Л)+уса (рду+Хз) — ! ! =с, х-(-с„ 1х у= — — +с, сЬ [ — +с,) . рд [,с, — получили уравнение цепной линии, форму которой принимает подвешенная нить.
Вычислим длину атой линии: хз х, 1+зЬз( — +с,) бх =~сЬ( — +с,) дх=зЬ( — '+с)- х~ х~ 5Ь ( +сз) Используя граничные условия для определения постоянных со сз н Х, получаем систему уравнений . ( — "+,) —.Ь( — "+,)=. с, сЬ вЂ” +сз — — — — уы */ а 1 ха 1 Х ст сЬ ( — + се) — — =уз. '1 а Решение такой системы в общем случае проводится прибляженно, и мы не будем на нем останавливаться.
4. Понятие о принципе взаимности. В п. 3 мы рассмотрели задачу о яа., хождении зкстремалей функционала (1), удовлетворяющих граничным условиям 5 4. Оариеционные задачи на условный экстремум !79 (2) н нзопернметрнческнм условиям (13). С этой задачей тесно связана следующая зарнацнонная задача. Пусть /, — один яз функционалов (13), т. е. Ь /э=~Р.(.т,р,,р,'.....р„, р,',)б . (17) е Требуется найти зкстремаля этого функционала (17), удовлетворяющяе граннч. ным условням (2) н нзопернметряческнм условиям (- 1 Р(х, ры р/, .". рл р„') б, е Ь 7/=~ Р(х, ры у(.
°... д„у„') бх, /=1, ...,з — !, ~4-1, ...,ш. (13) Экстремалн такой варяацнонной задачн являются экстремалямя фуякцяо- нлла ь/ и )(к~- т, 1,~,-;-чя)~, / !,/Фэ т. е. удовлетворяют системе уравнений Эйлера о г/ (/'э/у/ (~ма''т лера лэ Р '+ Лх / / бх "/ л о + ~'„Х/~(Р/)э — — (Р/)э ~ О, /=1, 2, ..., и. / 1./эьэ Разделив все уравнення этой системы на )и + О, запншем ее в анде и и Рэ -1- ~~~~ ~а/(Р//а — — Р' -!- ~У а/(Р/)э — — О, /= !, 2, ..., л, бх ! // где а/ а//ле, ) 1, 2...., з — 1, з+ 1, ...,т,лэ !/йю Такнм образом, имеем систему уравнений Эйлера для варнацнонных задач (1), (2), (13).
Поэтому экстремаля в варнацнонных задачах (!), (2), (13) я в (17), (18), (2) одни н те же. Получили лажное свойство кзоперяметрнческнх задач: нарнацяонные эадачя. получающнеся яз задач (1), (2), (13) заменой функцяоналэ (!) на какой-лнбона функцноналов в условиях (13), нмеют одни к те жеэкстремалн.
Полученное свойство носят название принципа взаимности. Например, в прнмере 2 задача о максимуме площади ограниченной замннутой крнвой заданной длины, а задача о минимуме длины замкнутой кривой, ограннчнвающей заданную площадь, взанмны н имеют общне знстремалн. Вэтом примере дуги окружностн у = )/'1 — х' н у — (/Т вЂ” хэ дают мак.
1 1 снмум функцяоналу ) убх прн заданной длине / ~ )г ! + у'~ бх и, В то же Ь время этн кривые у 4- )г! — .тэ дают минимум функцяоналу ~ э/ 1 + у'з бх нри заданной площадн Б и/2. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ Ч ВАРИА[зИОННЫХ ЗАДАЧ 'й !. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ !. Общая формула вариации функцноналов. Граничные условия составляют неотъемлемую часть варвацнонного исчисления, н любое нзмененне граничных условий меняет ввдфункцвй, дающнх экстремум функционалу, Рассмотрнм варнацяонные задачи для функцноналов, определенных на тех кривых, концы которых могут сдвигаться провзвольным образом, так называемые вариационныв задачи со свободными концами.
Пусть каждая кривая у у (х) определена на своем отрезке [х,, хт), вообще говоря, отличном от отрезка, где определена другая функцня. Поэтому договоримся о следующем: если рассматриваются одновременно две кривые у = у (х) н у=у (х), определенные соогветственно на !хв, хг! в [хв, х,), то продолжим нх непрерывным обу разом, йапрнмер по касательной нв объеднне. () нве [хв, хг! Ц [хв, хг!. На рнс. 39 пунктиром указано продолженйе кривой у = д (х) на отрезок [х,, х,!. Ограничимся подробным рассмотреннем вариационной задачи с подвижными концами для фтнкцнонала к, х. х ((у)=[ Р(х, у, у') дх.
()) хф Рис. 89 Будем предполагать, что функция Р (х, у, х) непрерывна н имеет непрерывные производные до второго порядка включительно. Функции д (х) н у' (х) непрерывны на рассматпнааемом отрезке. Как указывалось выше прн рбссмотреннн двух функцвй у (х) н у (х), будем считать нк непрерывнымн на объеднненнн (хв, х,! [) Ц [х, хг!. Кривые у (х) н у (х) будем считать близкими, если онв близко не только в смысле нормы пространства бяы, но н также близки как ях левые концы Р, (х„у (хв)), Р, (хэ, у (хв)), так я правые Р, (х,, у,), Р, (х,, у (хт)).
Поэтому за расстоянве между двумя кривыми д (х) в у (х) примем величину р(у у)=[у — уЕ Р[г (хэ — х,Р+(у(хо) — у(хв))'+ +[' ( х,— х,)'+(у( хд) — у(х,))э, (2) где норма [! у — у !!, относится к отрезку [хв, х,! (! [хв, х,!. Ради простоты будем считать, что однн конец (левый) закреплен, а второй(правый) — свободный (рнс, 39). 5 1« Вариационные задачи с подвижнымн концамн 181 Найдем приращение 61 функцнонала (!).
Введем обозначение х, х, +6«,, 6У =У(«1 — У (х) Ь (х), 16У)' = 6У' Ь' н преобразуем прнращеннег «, +з«, А'в «, ЬТ ~ Р(х, у+Ь, у'+Ь') бх- ~ Р(х, у, у') 6«=~ [Р(х, у+Ь,у" +Ь') «в «в «в «,+з«, — Р(х, у, у')] бх+ ~ Р(х, у+Ь, у'+Ь') 6«=1«+1„' [3) ' гда «в 1«= у~[Р(х, у+Ь, у'+Ь') — Р(х, у, у')! 6х, «в ,+а, 1 ] Р(х, у+Ь, у'+Ь') бх. «, Интеграл 1з вначале преобразуем по теореме о среднем, а затем используем не- прерывность подынтегральной функцнн, тогда получим 1«= Р [«,+аа«в 6«« =Р! «, 6««+О(6«в). Здесь О < О < 1, Р[ означает значение функции в точке хо а Р1„+за в точке ха+ Вбх« Преобразуем интеграл 1м применяя к подынтегральной функции «рормулу Тейлора: «, 1, =~ [Р(х, у+Ь, у'+Ь') — Р(х, у, у')! 6х «, «в * =~ Ра (х, у, у') Ьбх+ ~ Рз, (х, у, у') Ь' бх+а(Ь).
«, «в В и, 1 $2 было показано, что а (Ь) = О (1 Ь 11 т), следовательно, тем более а(Ь) о(р(у, у)). Интегрированием по частям преобразуем второй интеграл в 1. «в «в « 6 Ря ! Ь(х,) — Ря ! Ь(хв) — ~ — Рз Ьбх. «„ Левый конец Рв (хз, У) закРеплен, поэтомУ Ь(хв) О н, следовательно, 1, можно переписать в виде « 1« ~(Ра 6 Ря )Их+ Рз [ Ь(х )+о(р(У УВ 6х в 182 Ч<11. Некоторые методы решения еариациоииых задач Значение б (х,) есть приращение ордннаты в точке Р, прн переходе с кривой у (х) на кривую у (х).
Обозначим через бу, приращение ордннаты прн переходе из точки Р, в точку Р,, т. е. бу, =у<»т) — у(х,) =у(хт+бхт) — у1. Из рис. 40 видно, что РтА д (хт), а ВР, бу,. Выразим Ь <х,) череа приращения бхх и бу,: д <х,) = у (х| ) — у <х, ) = д (х,) — у„ а так как ут у(х, + бхт) — бу,, то д (х,)=у (хт) — д (х, + бхт) + бу,. По теореме Лагранжа, у(х+ бх,) — у(х) =у' (х,) бх, + о(бхт). Кривые у (х) 'и у(х) близки в смысле расстояния (2), поэтому у'(х,) у'(х,)+о(р(у, у)) и й(х,)=бу,— у'<х,) бх,+о(р(у, у)). Рис.
40 Интеграл <т принимает вид » д »=~(т,— — т„~)ытт, у,, и,— т, >,, '(„>ы» с и.~а. », Подставив <т и 1 в (3), для приращения функционала получаем выраженяе 4 6<=~(дз — — Рз ~дйхл Рз ( бу +<у — у'Рз ))»» 6»э+о <р<д, дВ. х Отсюда следует, что вариация функционала (1), т. е. главная часть приращения й<, в случае одного подвижного конца представляется в виде » и ) (Г„= Рг„г)и тт $ Й(т,ит — ' Р„) $ 6( . И », Если же подвижны оба конца, то, введя обозначения бхз хз — хэ, бх< х, — х,, буз — — у (х) — у (х,1, бух д (хт) — у (хз), варнацию функционала (1) запишем з виде 6) = ) (Рз Рз' Лйх+Рз' (»», бут "и' (»» бдз+((Р У Ру')бх) ~~~ й х (6) где выражение Ф("' означает, как обычно, двойную подстановку, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
