Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Вариационная задача (1), (2), (3) называется задачей на услоеный экстремум с конечными связями. Рассмотрим решение этой задачи методом неопределенных множителей Лагранжа. Теорема 1. Если сисоьема функций у,(х), у,(х), ..., у„(х), (4) удоелетеорякчцая граничным условиям (2) и условиям связи (3), дает экстремум функционалу (1), то суи(естеуют такие функции Л! (х), / = 1, 2, ..., й, чпю система функций (4) яеляется экстремалью .функ- ционала з 4. Вариациоииые задачи иа условный зисзреыуы !7$ Применяя к разности этих уравнений формулу Тейлора, получаем О= Ч»!(х, у,+ йз, ..., у„+й„) — ср!(х, у„..., у,)= и / л и-'; д !» ь1.
»-! дсч » ! Отсюда с точностью до бесконечно малой следует, что Умножая эти равенства иа некоторые функцинЛ! (х) и суммируя по всем /, получаем следующее тождество: в и дч»/ "~~ ~ Л!(х) ч й =О; ! !»=! ду! интегрируя его в пределах от а до Ь, заключаем о равенстве нулю ин- теграла: а и "~~ ~ Л/ (х) — ! й! бх = О.
ду; Прибавляя этот интеграл к вариации (6) и учитывая, что б/ = О, необходимое условие экстремума функционала запишем в виде б/ =~~~)„'~Гу — — Р + ~~~~ Л!(х) — 'Р! й!с)х=О. (7) дх и ду! (=! По условию, функпии <р/(х, У„..., у„), / = 1, ..., й, независимы, поэтому существует якобиан порядка й, отличный от нули. Пусть, например» д»р» дя»» ду, ' ' ду!, д (»р! ° - Ч»в) д (уы "., уа! д»ру, Г рд ду, дул Отсюда следует, во-первых, чта функции у„..., у„выражаются через Функции уз + !» ув аз, ..., у„.
которые независимы, и, во-вторых, опРеделитель системы уравнений Ж Лз(х) з = д Р.— ра. Е=1, 2, - й. (6) р-! ду! дх л! )тч ЧЬ Основы вариациоииого исчисяеиия являющийся выбранным якобиаиом, отличен от нуля. Следовательно система (8) имеет решение )ь, (х), ) з (х), ..., )ьа (к). Подставив в равен ство (7) найденные функции )ьг(х), приведем его к виду о ~Р— — Р, + д )чт(х) — ) 6~ с)х = 0 д ~ч др/ дк д, ) а г о+г ог уг В этом равенстве приращения Ьа+,, да+„..., гйв уже независимы. Поэтому, полагая все й„кромеодного, равными нулю и применяя ос- новную лемму вариационного исчисления, находим, что функции уг удовлетворяют уравнениям Рог — — Р„, + э )ь)(х) — = О, цг д„, 1=я+1, ..., и Объединяя эти уравнения с уравнениями (8), получаем, уг (х) и Лз (х) удовлетворяют системе уравнений что функции Рв,— — Р + У )ь)(х) — ~=0 У /=! дуг Ра — — Ро + ~~~ )ь) (х) Рг = О, ' 1= 1, 2, „., и, г ! ду, и А уравнений связи (3) гр)(х.
уг ", уя) =0; 2п произвольных постоянных находятся из граничных условий (2). П р и м е р 1'. Геодезической линией поаеркиосгли называется линия минимальной длины, лежащая на поверхности и соединяющая две заданные точки. Найти геодезическую линию поверхности ю (к, у, г) О, соединяющую точки А (ко ую го) и В(кь ум гг), для всех 1 = 1, 2, ..., и. Система дифференциальных уравнений (9) является системой уравнений Эйлера для функционала (5).
Следовательно, кривые у„у,, ..., у„есть экстремали функционала (5). й» Из доказанной теоремы можно сделать следующий вывод. Для того чтобы найти экстремали вариационной задачи на условный экстремум (1) — (3), надо найти экстремали функционала (5), удовлетворяющие граничным условиям (2) и условиям связи (3). Таким образом, в задаче на условный экстремум требуется найти и экстремалей у, (х), у, (х), ..., у„(х) и й множителей Лагранжа )ьг (х), )ьз (х), ..., )ь„(х). Задача сводится к решению системы (9) из л дифференциальных уравнений второго порядка й 4, Вариационные задачи на условный экстремум 173 Будем нскатьуравненнеляннн в виде пересечения цилиндрических поверхностей у у(х), г = г(х).
Длнна кривой в этом случае вычисляется по формуле к, !(у, г)=) [г1+г"+ у'г)х. кт Кривая. лежит на поверхности, поэтому имеет место соотношение ф (х, у (х), г(х)) = О. Для решения поставленной аадачн составим вспомогательный функцноналт к, п~д, *, т)=! пч-:*"<- "к т(чти., гт*.
кт Система уравнений Эйлера для этого функцнонзла имеет внд д у Х (х) чтг —— йх 1,/1Ру" !.,' О, ()0) 4 )т(х) трк — —... =О. т)х )/1-~-у'э-~-г' Из втой снстемы н уравнения связн ф (х, у, г) = 0 определяем искомые функции у (к), г (х) н вспомогательный множитель )т (х). Две нронзвольные постоянные находятся на условнй прохождения экстремалей через точки А н В. Найдем, в частности, геодезнческую линию цилиндра хэ+ ук 4, соедкняюшую точки А (О, 2, 0) к В (1, [гк3, н). Составляем вспомогательный функцвонал: ! /з(у, г, )т)=~[ у/1+у'к+г'к+)т(х)(ха+у' — 4)[дх. Используя систему (10) н уравнение связн, видим, что искомая геодезнческая ли-' няя удовлетворяет снстеме уравнений [/!+у'~- г" а 4 т(,>т — —,, -о, т)х И 1+у' -1- г'з х'+ у' =' 4.
Из первого уравнения находим г' ст [/1+ у'т, где с, = (с' — 1) /з. Из третьего уравнения имеем у' ~ х/'[/4 — х', поэтому У1 + у" 2/ [/4 — х'. Подставив эначенне [гк1+ у" в выражение для г', получаем г'=от/'[/4 — хэ н г=с,агс з)п(х/2)+с,. Из граничных условий г(0) = О, г(!) = и имеем ст = б, сз О. Учнтываам, что у = у (х) определяется нз третьего уравнения, тогда вспомогательную функцню !т (х) нэ второго уравнения можно не вычислять. 174 'ч1. Осмоеы вармацмоямого мсчмсяеммя Таким образом, уравяеиие геодезической ливии цилиидра запишется в виде хе+уз=4, х=2 з!п1, х г= 6 агс зьп —, или у =2 соз ц 2 г= 61; вто есть уравнение винтовой ливии.
3 а и е ч з я я е. Если удается из уравиеиий связя (3) часть перемеииык выразить через независимые переменные, то задача иахоисдевая условвого вкст ремума функционала сводится к задаче ва безусловный экстремум. Так, в рассмотрениом примере 1, подставляя зиачеииеу' из уравнения х" +уз=4 в функ- ха циояал 1 = ! ) 1+ р" + г'з бх, получаем задачу яа безусловный зкстремум х, для функции г г (х). 2. Задача с дифференциальными связями. Утверждение теоремы 1 остается верным и в более широких предположениях, когда уравнения связи задаются дифференциальными уравнениями тр1(х уыуг,.",у„,у„')=О, 1=1,2,...,т, т(н, (11), Будем считать, что существует отличный от нуля якобнан порядка т например дфз дф ду( сущ д(1)1 Фз ", Фы) о1Уг,дз, ...,Р 1 дфы дфм ду' Тогда из системы дифференциальных уравнений (1!) можно определить функции у„..., у через независимые функции у +„у е„..., у . Приведем без доказательства относящуюся к атому случаю теорему, являющуюся аналогом теоремы !.
Теорема 2. Если система функций у, (х), ..., у„(х),'удовлетворяюи4ая уравнениям связи (! 1) и граничным условиям (2), дает экстремУм функционалу (1), иго суи(ествуюа1 такие функции Л, (х), Лз (х), ...Л (х), ипо функции ут (х), ..., у„(х) являются экстремалями функционала 3. Изопериметрическая задача. Изоперимегрическая задача получила свое название в связи с задачей нахождения замкнутой кривой заданной длины (периметра), ограничивающей максимальную площадь. Если кривая задана в параметрическом виде х =х(1), у =у(г), сз((:~(1, й 4. Варнацноннь»е ааланн на тснеаныя а»»ктремум !7б то задача сводится к нахождению экстремума функционала, выражаю- щего площадь> ограниченную замкнутой кривой I (х, у) = ~ ху' д», а при условии, что длина этой кривой постоянна: з ((х, у) = ~)» х + у и»=! =Соп51.
Длина кривой есть также функционал. Таким образом, в рассматриваемой задачеа» требуется найти экстремум одного функционала при условии, что другой функционал сохраняет постоянное значение. В общем случае в изопернметрической задаче требуется найти экстремум функционала ь ~(у»,- у.)=1Р(х,у»,у»,-,ун,у')д», а когда условия связи даны в виде функционалов, принимающих заданные значения ь 1 = ~ р,(х, у,, у',, ..., у„, у„') дх, (= 1, 2, ..., т; и» ( п. (И) а а(»с»..., Р д Считаем, что якобиан ' ""', ) не равен нулю. Будем рзссматрид (уь ..., уав вать изопериметрическую задачу в случае закрепленных концов, для чего потребуем, чтобы выполнялись граничные условия (2) (2) у,(а) =Аь у,(Ь) =В„» =1,2, ..., и.
Теорема 3. Если система кривых у, (х), ..., у„(х), удовлетворяющая условиям связи (13) и граничным условиям (2), дает экстремум Функ»(ионову (1), то сущеснмуют такие постоянные Я„..., Я, епо Функ»(ии у, (х), ..., у„(х) являются экстиремалями Функ»(ионала ь, »»»н„....».»=1(х~-х»,х,)» . а»=» з„„„„„а~ нгь, р и"онный характер был обоснован лн»нь в конан ХйИ в. Л. Эйлером.
170 Ч1. Основы варнационного исчисления < Изопериметрическую задачу сведем к задаче на условный экстремум с дифференциальными уравнениями связи (11). С этой целью введем вспомогательные функции х 21(х) = ~ га(х, уы у(, ..., у„, у„') пх, 1= 1, ..., гп, которые удовлетворяют граничным условиям гз(а)=0, 21(Ы=(а 1=1, ..., гп. Вместо связей (13) рассмотрим связи, заданные дифференпиальиыми уравнениями г) (х) — гт = О, 1 = 1, ..., гп. По теореме 2, сушествуют функции Л, (х), ..., Л (х) такие, что у, (х), ..., у„(х) являются экстремалями функционала (14), имеющего в данном случае вид ьг л ь У = ~ г — ~' Л1(х)(г) — гг) ) г(х= ~Ф(х, дм д1, -, дл, дл, 21 гт) г)х.
с 1=1 .1 а Запишем систему уравнений Эйлера для этого функционала: Ф„г — — Ф„=-О, 1=1, ..., Л, дх д Ф вЂ” — Ф,. =0 )г=1, ..., т, х/ бх с'. Имеем Ф = Р— ~'„Лг (х) (21 — гт), поэтому частные пронзнодпме /=! Ф, = О, Ф ° = — Лт (х) и нз и последних уравнений следуем чго в1 — Лу(х) =О нлн Лз(х) =Лу — сопз1, /=1г ..., гп, д х и система (15) принимает вид Рщ — б Р„, .(- У Л ~(Р,)щ — —" (Р,)„г1 = О, г' = 1, "„и (16) Г ею Последняя система есть система уравнений Эйлера для функционали (14), и поэтому у„(х), ..., у„(х) — экстремали этого функционала.
й Решение изопериметрической задачи сводится к решению систем ы (16), состоящей из и дифференциальных уравнений Эйлера. Решение этой системы содержит 2п произвольных постоянных с„..., с,„и гп множителей Лагранжа Л„Л,, ..., Л . Они находятся из 2п граничных условий (2) и т условий связи (13). П р и и е р ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
