Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Потенциальная энергия всей мембраны равна разности работы (у,, затрачиваемой на деформацию струны, и работы 0 внешних сил, т. е. (! = (!, — (! з = Д [ —, (и.' + и„' ) — ри!1 бх бу. Действие на промежуток времени 11„г,), определяемое интегралом (1), представляется в форме ! (и) = ~ ~ Г ~ — ис' — — (и , '+ и„") + ри!] б(х бу Ф. )12 2 Согласно принципу наименьшего действия, функция и (х, у, !), описывающая реальное движение мембраны, должна давать лбинимум этому функционалу ! (и) Таким образом, уравнение движения мембраны получается из уравнения Остроградского и записывается в виде дь и . ! д' и д' и ь — =аз( — + — ) +Р(х,у, Г), дн (, дхз ду' ) где аз = й!р, Это и есть уравнение движения мембраны. В частности, для свободных колебаний мембраны имеем уравнение (6) 2. Вариацнонные задачи, связанные с уравнением Пуассона.
Из предыдущих рассуждений видно, что решение вариационных задач сводится к решениюкраевых для обыкновенныхдифференциальных урав. пений (для функционала, зависящего от функций одной переменной) и для уравнений в частных производных (для функционала, зависящего от функций нескольких переменных). Оказывается, что решение некоторых краевых задач, имеющих важное значение в приложениях, эквивалентно решению вполне определенной вариационной задачи.
УсЗак. 1б1б 194 уи. Некоторые методы решения ззризционнык задач т'(г)= О~( — ) +( — ) +2гт (хту)~дхду (7) при условии, что на границе у области б допустимые функции г = = г (х, у) принимают заданные значения г (х, у) 1т = тр (Р), Р (х, у) Е Т, (8) сводится к решению уравнении Пуассона дтз дтз — + — =7(х, у). дхт дут (9) Будем предполагать, что функция 7 (х, у) непрерывна в замкнутой области К а Ч (Р) непрерывна на у. Теорема Б Задача решения уравнения (9), удовлетворяющего граничным условиям (8), эквивалентна вариационной задаче об отыскании минимума 4ункционала (7) при том же условии (8), 4 Сведение вариационной задачи (7) при условии (8) к краевой задаче (9) при том же условии (8) проведено в 9 2.
Докажем обратное утверждение. Пусть г = г, (х, у) — решение краевой задачи (9), (8) Покажем, что решение г„(х, у) даег абсолютный минимум функционалу (8). С этой целью вычислим приращение функционала I (г) Так как для вариации функции г = г(х, у) имеют место соотношения (бг]; = бг„' = 6~ и (бг)„' = бг„' = 6,', то для приращения функционала имеем б) Ц~( ° + ) +( О + ) +2~(г +й) ( О) ( о )' 2ттгз~дхбу=2Д( зз + хз (-УЬ) дхду о +Ш( — ") +(т) 3"'у="+" "" о Так как все допустимые функции удовлетворяют граничному услов (8), то й (х, у) Ф сопз( в области б, поэтому т,-()'~( — ,'")'к.( — '") 1т~ттна.
гановим связь вариационнык задач о краевыми задачами для уравнения Пуассона. В 8 2 было показано, что задача о минимуме функционала Гйб Чи. Некоторые методы решения варнецнонных аадач добавляется к потенпнальной внергнн мембраны, если контур ее подвижен и на него действуют внешняя сила с линейной плотностью <р (Р) н упругие силы, стре- мящееся удержать границу в положении равновесия, модуль упругостн кото, рых, рассчитанный на еднннпу длины, равен а (Р). 1пп 1(у„) =р.
и ь (1) 1 Если на рассматриваемом множестве М допустимых кривых выполнены условия (п11 (у) = р ) — оо н и у Е М, 1 (у) оо, то по определению точной нижней грани минимизирующая последовательность существует. Предположим, что для минимизирующей последовательности у„у„..., у„, ... существует предельная кривая уе Р М, н если окажется законным предельный переход (2) 1'пп 1 (у, ) = 1 1'1! ш у, ) = 1 (у*), а та ьь то тогда 1 (у") = р, т.
е. предельная кривая уе Е М и будет реше ем рассматриваемой задачи. Таким образом, решение вариационной задачи прямым метод слагается из: 1) построения минимизирующей последовательно у„ ..., у„, ..., 2) доказательства существования у этой последовате 1 й 4. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ 1. Понятие о прямых методах. Приближенные методы, дающие непосредственное решение вариационных задач, называютвя арямылги лгетодалги вариационного исчисления. Наиболее известными среди них являютсяметоды Ритца, Галеркина и Канторовича. Развитие прямых методов дало возможность находить решения вариационных задач с любой степенью точности. Эти методы оказались по- т лезными не только непосредственно для решения вариационных задач, но они нашли широкое применение и вдругих областях математики, в частности при решении краевых задач для дифференциальных уравнений.
Использование прямых методов основано на следующей идее, Рассмотрим для определенности задачу о нахождении минимума функционала 1 (у), определенного на некотором множестве М допустимых кривых. Для того чтобы эта задача имела смысл, следует предположить, что в классе М существуют кривые, для которых 1 (у) ( оо н, кроме того, 1п1 1 (у) = р ) — со. Эти ограничения разрешат нам приближенно построить кривую, на которой функционал 1 (у) достигает минимума. Основой прямых методов является понятие минимизирующей последовательности. Последовательность у„..., у„, ...
называется лшнижизпруюп(ей, если имеет место следующее предельное соотношение: й а. Прямые методы в вариационном исчисяении 197 ности предельной кривой у' Е М, 3) доказательства законности предельного перехода (2). Сами члены минимизирующей последовательности можно рассматривать как приближенные решения соответствующей вариационной задачи. Основой прямых методов является построение минимизиру|ощей последовательности функций, которое всегда возможно, если только (п1 а'(у) ) †. Каждый из употребляемых в вариациониом исчислении прямых методов характеризуется именно способом построения минимизирующих последовательностей. Однако следует замети-ь, что хотя минимизирующую последовательность можно построить во всякой вариационной задаче, предельной кривой такой последовательности может пе существовать.
Вопрос о существовании предельной кривой достаточно сложен. Он решен для широкого класса вариационных задач, но мы на этом останавливаться не будем. 2. Метод Рнтца. Один из методов построения минимизирующей последовательности был предложен Ритцем в 1908 г.е~ Пусть ищется минимум функционала а' (у), заданного на некотсрзм множестве, лежащем в линейном нормированном пространстве Е. будем считать, что допустимые функции у = у (Р) удовлетворяют однородным граничным условиям.
Это означает следующее: если у (Р)— функция двух переменных, определенная в области 6 с границей у, то на у функция у (Р) удовлетворяе~ одному из условий: оу т!у 1 а) у(Р) 1рЕ»=0, б) — "~ =О, в) (у+ах — 91 =О. бд ~рЕ' (, бд 1'рЕ» Множество допустимых функций у (Р) Е Е, удовлетворяющих однородным граничным условиям, образует в )г подпространство„которое обозначим через М. Выберем некоторую последовательность функций Чт (Р) Чтя (Р) " тр (Р) (3) удовлетворяющую следующим трем условиям: 1') все гр„(Р) Е М, 2 ) при любом и совокупность функций тр, (Р), ..., тр„(Р) линейно независима, 3') последовательность (3) полна, т.
е. ь' у Е М и ъ' д) О найдется такая линейная комбинация у„= '~~ саари(Р), (4) что 11 у — у,11 с.. 8. Последовательность (3), удовлетворяющую условиям 1'), 2'), 3'), - --" 'а ' -. аа ° ар..ам.' тт«н.«*,и*, советских математиков Н. М. Крылова и Н.
Н. Боголюбова в 1929 г. 198 ЧГИ. Некоторые методы ращения аариационных задач Подставим линейную комбинацию (4) в функционал 1(у), тем самым превратим функционал 1 (у) в функцию и переменных с„с, г Са л 1(у„) =l ~ ~чР„с„!рь =Ф(с„..., с„) з=! (5) и найдем коэффициенты с„..., с„так, чтобы функционал (5) принял наименьшие значения. Таким образом, задача о минимуме функционала 1 (д) сводится к задаче о минимуме функции Ф (с„..., с„) и переменных, которая несравненно проще, чем задача о нахождении минимума функционала. Из необходимого условия минимума функции Ф (с„..., с„) получаем систему уравнений для определения коэффнциентов с„..., с„: дФ1дсь = О, !г = 1, 2, ..., и.
Подставив найденные из этой системы коэффициенты с„в функцию (4), получим приближение для экстремали функционала 1 (у) по методу Ритка. Дадим условия существования полученной минимизирующей последовательности. Обозначим через р„минимум функции Ф (с,, ..., с„): ! и ря — — ппп Ф!сг, ..., с„) =пп'и ! 1 ~', сь !рь в г.
Для каждого а 1,2 ... строим приближение у„(Р) и находим минимум р„. тогда получим функциональную последовательность приближений у! !Р), уз!Р), ..., уи !Р), и числовую последовательность р рз ° ° р л комбинации уз ~ сзфь (х), поэтому з-! Предположив существование кривой у', реализующей минамум функцио- нала ! (у), рассмотрим вопрос о том, прн каких условиях мов!но утверждать, что построенная последовательность уг, уз, ..., у„будет минимизирующей, т. е, 1!п! р„р, где р — минимум функционала ! (у). в Сведующая теорема отвечает на зтот вопрос.
Теорема !. Если функционал ! (у) непрерывен в пространстве Е, а система функций (3) удовлетворяет условиям (1'), (2'), !3'), то последовательность у! уз" ук ... — минимизирующая, «( Требуется доказать, что 1пп р„р. Последовательность и,, р, ...., и„— в м невозрастающая, т. е, р! ъ р р „. > ра > р„ы >... Это утверждение следует и+1 с из того, что линейные комбинации увы ~З~ сь !рь(х) содержат все линейные з-1 й 4. Прямые методы е а»риац»аннам исчислении 199 Пусть у' — кривая, на которой реализуется минимум функционала 1(у), е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
