Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пусть М вЂ” открытый круг х' + у» (! в плоскости (х, у), тогда для любой точки К (хм у,) ф М наилучшего элемента в М нет. 2) Если в множестве М для каждого х существует элемент нанл щего приближения у„то будет ли у единственным (проблема е д и ственности). й 2. Некоторые Сведения и» теОрии приближения функций 217 В необходимости такой проблемы можно убедиться на следующем примере. Пусть плоское замкнутое множество М имеет границу Г, включающую в себя дугу окружности АВ (рис. 44). Тогда для точек отрезка ОС на луче О,С, проходящем через середину 0 хорды АВ и центр О окружности, имеется по два элемента наилучшего приближения, а для точки О элементов наилучшего приближения бесконечно много.
3) В случае существования и единственности элемента наилучшего приближения ув (х) с М найти алгоритм, позволяющий построить это наилучшее приближение или же элемент до (х), достаточно близкий к элементу уе (х). Мера близости определяется условиями рассматри- В ваемой конкретной задачи (проблема построен и я). Следует иметь в виду, что для зт в о с возможности отыскания элемента Я ре (х) на ЭВМ выбранный алгоритм поиска этого элемента должен быть устойчив как к малым изменениям т начальных данных, так и к приближенным вычислениям в процессе рл' «4 проведения необходимых для данного алгоритма операций. Именно на этих проблемах, только отнесенных к конкретным, наиболее часто используемым в приложениях пространствам Х и множествам М, мы и сосредоточим свое внимание.
2. Теорема существования. Основными аппаратами приближения в большинстве задач являются линейные комбинации по элементам некоторых независимых систем, поэтому обычно в качестве множеств М ~ Х, фигурирующих в основной задаче теории приближения, рассматриваются множества «полиномов» определенного порядка по линейно независимой системе элементов пространства Х.
Задачи подобного рода встречаются довольно часто, например: а) Приближенное представление функций с помощью частных сумм их рядов Тейлора представляет собой приближение с помощью алгебраических многочленов заданной степени, причем оценка уклонения равномерна на заданном промежутке. б) Приближенное представление кусочно-гладких периодических функций частными суммами их рядов Фурье есть приближение тригонометрическими полиномами определенного порядка.
в) Наилучшее среднеквадратическое приближение интегрируемой с квадратом на (а, Ь) функции при помощи многочленов заданного порядка по ортонормированной на (а, (т) системе функций. Докажем сначала теорему о существовании «наилучшего» элемента, т. е. наилучшего «полинома». 2!8 ЧП!. Задачи вычисления и равномерного лрнбяи!кения функций Пусть Х вЂ” произвольное линейное нормированное банахово пространство (типа В) и ды дя, ..., д„— и линейно независимых элементов нз Х, Мл — множество всевозможных линейных комбинаций: л и„- 1г„- т, ч г, ), а 1 где а„, й = 1, ..., и, — вещественные числа.
Пусть х — произвольный элемент из Х. Основную задачу теории приближения можно теперь сформулировать следующим образом. Для донного элемента х с Х определить числа а„а„..., а„тик, чтобы величина л !р„(а,а,...,ал)= х — ~ авда~~ Ф-! рз (2) получила наименьшее значение. Теорема 1. Длл каждого х с Х существуют числа а!, ..., а„' такие, что функция <р„(а„а,, ..., а„) принимает минимум, гп.
е. !р„(а!, ..., а„') = !п1 (х — Т„))в. гаем„ 4 Докажем прежде всего, что определенная в (2) функция !р„(а„..., а„) является непрерывной функцией своих аргументов. В силу неравенства треугольника имеем соотношения л 1<Р„(а!, ..., а,',) — !Р(ам ..., а„) ) = х — ~~ а,', й 9=! — х — ~, 'а,а„« ~ч~ (а,' — а)йя =. ~ч', 1а„' — ал)))йч!!< ( !пах )а„' — а„) ~'„' ))д,)), !ее=к ч=! означающие, что при достаточно малом гпах ) а,' — а, ) разность ! цчцл ) <р„(а!, ..., а„') — !р„(а„..., а„)) также мала. Введем функцию яр (аь ..., а„) = !ра (с!„..., а„), О = (О, О, ...
„О). т = ппп ф(а, ..., а„). (л,,..., ал>ьв л Сфера 3 элементов !с =(а„..., а„) таких, что 2„)а,)Я = 1, есть замке ! нутое ограниченное множество в и-мерном евклидовом пространстве. Из непрерывности функций !р (ам ..., а„) на этой сфере по теореме Вейерштрасса заключаем, что функция ф на 3 принимает минимальное значение, которое обозначим через т, т.
е. 220 чис Задачи вычисления и равномерного лриближвния функций будем называть наилучшим приближениелг функции ! (х) при помощи алгебраических полиномов степени не выше и. Теорема ! (Валле — Пуссен), Пусть для функции ! (х) с С !а, Ь! существует в Н„лгногочлен Р(х) такой, что в точках а < хв < х, < « ... х„+, < Ь Разности 1(хя) — Р(хд), й = О, 1, ..., п + 1, принимают отличные от нуля значения ав, а„..., а„+ з чередующихся знаков, т. е. ( — 1)в (Р(х ) — ~(х„)) з!Вп(Р (хв) — !(хв)! =(ая () О.
(2) Тогда для наилучшего приближения Е„(!) этой функции имеет место оценка Еч(Р) А =в!п()ав), !а,(, ...,)а„!). (3) 4 Предположим противное, т. е. что Ел (У) < А. Вводя обозначение а = з(ип (Р (хв) — ! (хв)1, можно заметить, что пРи любом Я =-О, 1, ..., и + 1 выполняются соотношения ( — 1)' а (Р(хд) — Р, *(хя)! =( — 1)" а !(Р(х„) — ~(х„)!— — ( — 1)" а(Р„*(х„) — 1(х„)1) А — Е„Я) О. Следовательно, разность Р (х„) — Р, "(хя) меняет знак на отрезке !а, Ы по крайней мере и + 1 раз, а так как она является многочлеиом степени не выше п, то это невозможно. )» Для получения дальнейших свойств наилучших приближений Е„(!) и полиномов наилучшего приближения Р„'(х) введем следующее определение.
Пусть | (х) Е С (а, Ы и Р (х) с Н„. Так как разность д (х) = Р (х)— — 1(х) непрерывна иа (а, Ь), то существует хотя бы одна точка х Е (а, Ь! такая, что ! д(х) ! = Л (Р, !). Будем называть эту точку х е-точкой. В зависимости от знака д(х) е-точки будем разделять на (+)-точки, такие, что д (х) = Л (Р, !), и на ( — )-точки такие, что д (х) = = — Л (Р, (). Теорема 2 (Чебышев). Для того чтобы многочлен Р„'(х) Е Н„был иногочленоль наилучшего приближения функции !' (х) Я С (а, Ы, необходилю и достаточно существование на отрезке (а, Ы по крайней иере т = и + 2 е-точек х„< х, « ...
х„+„являющихся попеременно (+)-и ( — )-точкалш разности Р„"(х) — ! (х). Достаточность. Пусть х,<х,<...«х„е,— попеременно (+)-и ( — )-точкн разности Р„* (х) — 1 (х). Тогда, полагая а = = з!яп (Р„*(х,) — У (х,)1, можем записать, что ( — 1)в а(Рл(хя) — ~(хв)! =Л(Р'„.,~), Уг=-О, 1, ..., и+ 1. й 3. Многочлены наилучшего приближенна а пространатае 221 Применяя теорему 1, заключаем отсюда, что Ел ()),о Л (Р„', )). Но в силу определения наилучшего приближения Е Д)= ш1 (Л(Ргн ~)) <Л(Р„",~). лен Из этих двух неравенств выводим равенство л (Р'„, г) = Е„(~), т, е.
Р„' (х) — многочлеи наилучшего приближения для функции >' (х). Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть Р„"(х) — многочлен наилучшего приближения к функции [ (х) на отрезке [а, Ы. Так как функция д (х) = Р„' (х) — 1(х) равномерно непрерывна на [а, Ы, то найдется такое число 6 ) О, что [<)(х') — <)(х")[ < Е„/2, если только [х' — х"[ < 6.
(4) Разобьем [а, Ы точками а = а, < а, < ... < а„ = Ь на сегменты Л„ < = 1, ...,/г, длина каждого из которых меньше 6, и выберем из этих сегментов те, в которые попала хотя бы одна е-точка. Те сегменты, в которых находится хотя бы одна (+)-точка, назовем (+).сегментами, а те, в которых находится хотя бы одна ( — )-точка, назовем ( — )-сегментами. Из условия (4) следует, что одновременно в один сегмент (+)-точка и ( — )-точка попасть не могут. Пусть М, — множество, составленное из всех (+)-и ( — )-сегментов, а М, — множество, составленное из оставшихся сегл>ентов. Выбере>л из множества М, сегмент Л, с наименьшим номером и положим для определенности, что в нем находится (+)-точка.
Из части множества М„ расположенной правее Л,, выберем ( — )-сегмент Л, с наименьшим номером; из части множества М„расположенной правее Л „выберем (+)-сегмент Л„, с наименьшим номером. Так как мнок<ество М, состоит из конечного числа сегментов то, продолжая этот процесс, выделим из этого множества конечную последовательность сегментов Л,, Л,, ..., Л и которые попеременно суть (+)-и ( — )-сегменты. Предположим, что теорема неверна, тогда 1< п. В силу выбора величины 6 (+) и ( — )-сегменты не могут быть смежными, поэтому сегменты Л, >, ..., Л, > принадлежат множеству Мтг Возьмем на каждом из этих сегментов Лж > по одной внутренней точке хп>,1 = 1, ж> Из способа построения последовательности Л„„ Л„„ ..., Л , следует, что в части множества М„ расположенной левее точки х«>, находятся только (+)-сегменты, а в части множества М„расположенной между точками х<'> и х<'>, находятся только ( — )-сегменты и т.
д, Поэтому многочлен степени 1 < и я(х)=( — 1)'(х — х<'>)(х — х<т>) ... (х — х'о) (5) будет больше нуля на любом (+)-сегменте и меньше нуля на любом ( — )-сегменте, т. е. знаки разности Р„' (х) — > (х) и многочлена )т (х) 222 ЧШ. Задачи вььчисленил и равномерного приблинсеннл функций на М, совпадают.
Поэтому, выбирая Л столь малым, чтобы имело место неравенство 0(Л!Й(х)1(Е„Щ, тухЕМ„ (6) для всех х Е М, будем иметь соотношение 1Р„'(х) — ~(х) — Лй(х)! =! Р„*(х) — ~(х)( — Л(К(х)~ (Е„Я. (7) Введем числа Е = пшх ( Р„"(х) — г (х) 1, У =- шах 1 И (х) !. »еи, »ем, Множество М, не содержит ни одного (+)-сегмента или ( — )-сегмента, поэтому Е ( Е„()). Следовательно, можно выбрать число Л ) О столь малым, чтобы кроме условия (6) выполнялось неравенство Е + Л)у' ( ( Е„(7). Тогда на множестве М, будем иметь опенку ~ Р:(х) — 7(х) — Л)~ (хЦ < ~ Р„'(х) — 7(х) ~+Л1)((х) ~ ( Е+ ЛН = Е„а. (8) Объединяя неравенства (7) и (8), получим (Р„'(х) — ЛИ(х) — г(х)~ =Е„(1) для всех хР(а,о).
(9) Но при с'( и имеем Р (х) — Л Я (х) Е Н„и неравенство (9) противоречит тому, что Р„*(х) есть полипом наилучшего приближения. Следовательно, ( ~ и + 1. Ь Следствие. Если Р'„(х) — нногочлен наилучшего приближения функции 7 (х) с С !а, Ы, то лри и ) ! сущестеувт как (+)-точки, так и ( — )-точки. 4 В этом случае (-) 2 и в сегменте б „имеется (+)-точка, а в сегменте Ь, — ( — )-точка Ь Теорема 3.
Полинам Р; (х) наилучшего лриближения к функции 1 (х) в Н„единстеен, 4 Пусть имеется два полинома наилучшего приближения Р„'(х) и Я„' (х). Тогда для х Е (а, Ы выполняются соотношения — Е„(~) ( Р;, (х) — )' (х) < Е„ф, — Е„Ц) < Я„' (х) — г' (х) ( Е„Я. Отсюда получим неравенства -Е»(~) ч (Рп(х)+Я»(х))/2 — ~(х) ~ (Епф Значит, И„(х) =(Р„'(х)+К(х))/2 р Н„, т.е. )с„(х) есть полинам наилучшего приближения.
По теореме Чебышева, для Кп (х) имеется система точекхт (хв « ... х„+„кото- й 3. Многочлены наилучжего лриближенив в пространстве 222 рые попеременно являются (+)-и ( — )-точками. Пусть хв является (+)-точкой разности ń— г, т. е. Р„<ха) — ! (кв, О (ха) — ) (хг ) — Е„()).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
