Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Иикврпопоцио и вв применение и овдвчвм Выражение (15) представляет собой интерполяцнонную формулу Лагранжа с остаточным членом /(о+1] (с) /с„(х) = ю(х), с= с(х). (и+ !)! Заметим, что формула (15) получена для определенной системы узлов интерполирования хги х„..., х„Если же к этой системе узлов добавить новый узел х„+, Е (а, Ы, отличный от предыдущих, то как функция м (х), так и функции /о (х) полностью изменяются, т. е. требуется полный пересчет всех коэффициентов интерполяцнониой формулы и новая оценка остаточного члена. Встает вопрос об ннтерполяцнонных полиномах, свободных от этого недостатка. Такими полиномами будут ин. терполяцнонные полиномы Ньютона. 3.
Интерполяционные многочлены Ньютона. Введем предварительно следующие понятия, Пусть функция / определена и непрерывна на отрезке (а, Ы, а и и о — две различные точки этого промежутка (и ~ о). Разделенной разностью первого порядка для функции / (х), обозначаемой через / (и, о), назовем отношение /(и/ — /(ю /(и, о) = (16) Пусть (о Р (а, 61, ю ~ и, ш ~ о. Составим разделенную разность первого порядка для функции /(х) по точкам о и оо. Разделенной разностью второго порядка для функции /' (х), обозначаемой через / (и, о, го), назовем отношение / (и, о/ — /(о, оо) Аналогично, разделенной разностью и-го порядка для функции / (х) по системе различных точек х„х„..., х„„х„отрезка (а, Ы, обозначаемой через / (х„х„..., х„„х„), назовем отношение /(ко, км ..., кп о/ — /(км ..., кп и кп/ /(хо хь " хп-ь хп/ к,— кп Из соотношений (!6) — (18) видно, что разделенная разность / (х„х„..., х„) удовлетворяет соотношению /(хо хк °, х к, х )=~(хп, хо .
х ь хо), Теорема 3. Разделенная разность п-го порядка от иногочлена Р (х), степени не выше п, является постоянной величиной 4 Запишем для многочлена Р (х) разделенную разность первого по рядка по точкам х н хо (х Ф х,): Р (к! — Р (ко) Р(х, хо) =- .к — ко ф Ь интерполяции 23т По теореме Везу, числитель этого отношения делится без остатка на знаменатель, поэтому Р (х, хо) является многочленом (л — 1)-й втапени.
Аналогично, разделенная разность второго порядка Р(х, хн — Р («о, х,) Р(х, х,, х,) ио х — х, является многочленом (и — 2)-й степени. Повторяя эти рассуждения, получаем, что разделенная разность и-го порядка является многочле. ном нулевой степени, т. е. постоянной величиной.
Ь Лля построения интерполянионного многочлена Ньютона найдем разделенную разность и-го порядка от интерполяционного многочлена Лагранжа, определенного равенством (13). По теореме 3, эта разде. ленная разность и-го порядка будет постоянной величиной, значитможем записать, что для любого х й (а, Ы равенство Р„(х,, х„..., х„ь х)=Р„(х„хь ..., х„ь х„). (19) Применяя к стоящей слева разделенной разности последовательно формулу (!8), получаем: Р Роо («о, «и — М Ри («о ' ' «и о «) х-х„ х — х„, и Ро (хо, . «и о) + / Р» хо, ..., хи о) + (х — х„ ох — х„ х — хи-о + Роо («о, ° ° °, хл-о «) ) Ри («о "°, «и-о) Ри (хо ° ° ° хи-о) ~х — хи, > (х — хи-о) ~я-хи "«-о Р„(х„хы Ри (хо! + (х-я„Ы.„Ы вЂ” х) (х-хи о) ...
(х — «о) + и (х1 - (2()) (х — хи ) .. (« — «Л Из условий (9), т, е. из равенства Р„(хл) ) (хл), следует, что Р„(хо) )(хо), Р„(хо, х„..., х )=1(хо, хь ..., х ), т 1, ..., и. Умножая равенство (20) на множитель (х — х,)... (х — х„л) и учитывая (19), получаем Р„(х) =-~(хо)+ ) <хо, хл)(х — хо) +1(хо. х,, х,)(х — хо)(х — х,)+ + - + )(»о, хл. - .
«.)(» — хо)(» — »,!. ° .(» †. ,!. (21) Интерполяпионный полипом Р„(х), записанный в виде (21), называется интерпаляционныоя ннагочхеном Ньютона для произвольных узлов интерполяции. На практике часто приходится встречаться со елучаем р а в и оудаленных узлов интерполяпии. хл = «, + чл, й = О, 1, ..., и. Получакяциеся прн этом ннтерполяционные много- «33 /Х. Иидерпопяцио и ее применение и «одопом члены наиболее удобны для вычиаления. Йля их поотроения введем понятие конечной разности. Назовем конечной разностью первого порядка выражение /(/(х )=!(х„ед) — !(»„). (22) дп/(хд) йдп-1!(»дед) Лп-д !(хе) и 2 3 (23) Установим зависимость между разделенной и конечной разностьюд / (хд/ — / («о/ а/ (хо> /(х„х,) = «д — хо « а/(хо) ) /(хо, «Ы — /!хд, хо/ ! / Ь/(хд/ ! (х„х„х,)— хо — хо 3«( « Ло /(х„) «а уд» Х 1 /(хо хд хд) /(хм дд.
«о) (хо хзд хь хо/ до — х~ / «д/1«д) — ао /(хо) '1 ао /~хо) 3« 'д ЗР ! 3/«о По индукции нетрудно убедиться, что для произвольного и справед. пиво соотношение !(хди х„„..., хи хо) =, „, и = 1, 2. ап / дхо) (24) Воспользовавшись соотношением (24), из форлдулы (21) получим фор- ддулу Р (х)=!(х)+ ( — х)+, (х — х И вЂ” )+ «/ (хо/ а' / [хо/ « ш «д Ь" /(х„/ +...
+ — (х — х,)(х — х,)...(х — х„,); и/ «и (25) а полагая здесь х = хо+ йд, найдем Рп(хо+//д)= У(»о) + ~ ' /(/ — 1)" (/ — /о+1) (26) и 'о -1 Ннтерполяционные многочлены (25) и (26) называются инпдерполя- ционнылди многочленами Ньюпюна для равных проне«гувд»ив. Конечной разностью и-го порядка называют конечную разность первого порядка от конечной разности (и — 1)-го порядка, т. е. 4 и интеряоляция 237 Приведем ФОРТРАН-программу вычисления иитерполяционного пногочлена Ньютона по формуле (26) при 1, Т, 'г' (Н+ 1) = (Уо " Уп): 01МЕХЫОХ У(Х+1) 1 ГОКМАТ (8 Р10.6) КЕАВ(1,1)У, Т ВО 2 К=1,Х 00 2 1=-1, Х 1Р(1 — К)2, 3, 3 3 У(Х+2 — 1)-У(Н+2 — 1) — У(Х+1 — !) 2 СОХТ1Х()Е А ='г'(1) В=Т+1. С=О.
0 =!. 00 4 3=1,Х В В вЂ” 1. С С+1. 0 = (ВеВ)/С. 4 А =А+'1'(3+1)еВ 6 РОКМАТ(ИХ, 'А ° ', Г10.6, 10Х, 'Т ', Р10.6) ЖК!ТЕ(3,5) А, Т ЬТОР ЕХВ 4. Замечание об интерполировании с кратными узлами н е нрн. ближеиин сплайнамн. До сих пор при построении иитерполяционнги! миогочленои рредполагалось, что узлы интерполяции раалнчве между собой. Рассмотрим теперь вопрос о построении интерполяцн- онного многочлеиа Н(х) степени Н 2„а, — 1, м О где а, з 1, удовлетворяющего условиям Н("0(х~) ~'*0(х~), ( О, 1, ..., я; А~* О, 1, ..., а,— 1, а~х,<х,< ...
<х, <Ь. (27) Эта задача наа(явается лодочек иитеряолировония с кратными узламн, а многочлен Н (х), удовлетворяющий условиям (27), называется ия. «мриоляциоияым мноеочленом Эрмита. оаа 1Х, Интерпепяция и ее применение и задачам 1(оиогачаен ст' (х) обычно ноцется в вндс О(х)' Ро (х)+(х — хо)"' Рс (х)+(х — хоР' (х — х,)си Р,(х) + +...+(х — хо)" (х — хз)" ...(х — хп с)~п сР (х), (28) гДе Рд(х) = асоо)+а(о) (х — х„)+...+ айо с (х — хо)"а ~.
(2с)) ,Иа (27) и (28) нетрудно заметить, что с) (хо) Ро(х)=)(хо)+('(хо)(к — х,)+...+ ' (х — хо)си — 1,' (ссо — 1) 1 а пРи известных многочленах Ро.Рс)...., Ро д (х) коэффициенты много- члена Ро (х) находятся одисг эа другим путем писледовательиаго вычисления производных выражения Н( ) — Р (х) — (х — «о)"'Р„(х) —...— (х — хо)"' ... (» — хо з) " Ра х(х) (х — хо)"' ...
(х — хо с) " = Ро(х)+(х — х„)"о Р„е,(х)+... + (х — хд)"» ... (х — х„,)" -' Р„(х), (30) взятых в точке х„. Рассмотрим теперь задачу на применение многочленов Эрмита. Пусть функция у = ) (х) определена и непрерывна на оорезке (са, Ь) и пусть а =к, х,( ... <х„= (с. Построим интерполяционные многочлены Яс (х), с' = 1, ..., и, удовлетворяющие условиям (31) Яс(хс) = ус Я (кс) =тс Я(хс) = Мс, (=1„, со, где ус = ) (х;), а асс и М; — некоторые постоянные.
Пользуясь изложенным выше методом построения интерполяционного мпогочлена в форме (28) и полагая хс — х,, = й,, найдем формулу 1 Зо(х); =- ус, + тс,(х — хс с) -(- — Мс, (х — и,,)"+ в + (х — хс с)е(Асс) + Асса)(х — хс)+ Ап) (х — хс)о), (32) где 1 Ис — яс, — псс с(сс — — снс, )ссо о ао 1 -з(тн — аг су+(~~с+ъис сзас+ — ио сар Ато) — . й ( Иа1чвиолэциэ 239 ( 6(у; — У~-,) — 3(т~ + м~ д) а~ + — (М; — Х(г-1) Э~ А(')— Функция 5 (х),.определенная на 1а, 51 равенствами 5(х)=5;(х), хг т .х(хь (=1,2,...,п, (34) при любом выборе чисел т~, М;, 1 = 1, . л, непрерывна н имеет иа (а, Ы непрерывные производные первого и второго порлдков.
Воспользуеэнж теперь произволам в выборе чисел,т;, .М, и выберем эки числа так„чтобы А(,') =.А(,') = О. ( = 1, 2, „а. Тогда каждый из мнзвочлеиов Я, (х) станет многочленом не выше третьей степени.. Подобный выбор пржводкт к системе 2п линейных алгебраических уравнений (т, + 2т~,) й~ + — М ~ т Ь| = 3 (у; — у~ 1), 2 (т;+т,,)й, — — (М,— М; 1)йг =2(у; — у,,), (=1, ...,а, (35) ! 6 относительно 2 (л + !) неизвестных гпь Мо ( = О, 1, ..., и.
Так как при непосредственном решении системы (35) при кгалых й, возможно возрастание вычислительной погрешности, то исключим нз уравнений (35) переменные')п„„тн ..., т„. С этой целью запишем две последовательные пары уравнений из системы (35): (т, +2гл;,)+ — Ь, М;, = 3(У~ — В-1) 2 э; (т~+и1,) — — Ь;(М; — М~ 1)= ! 2(У вЂ” У~-~) б аг (т~+~+2т,) + — й~+, М; = 3 (уы.т — уг) 2 )и+, 2 2 (Уз+ъ — Уз) (ш,,.,+гн;) — — 5,.(., (Мы.т — М;) = 4 )ччх 1=1,2, ..., п — 1.
Исключим из этих четырех уравнений три неизвестных тл,, т„т, + т.' 31 ан-1 (Умч Гп У~ Ю11 — М,,+(й„,+й)М, + — '' М„,=з( ' ' — ) 2 2 1 Л;+1 Л! Но в силу трормулы 417) имеем равенство — "' ' =(й;+Ьц.,)Дх, „х;, х,+1), а~+~ )и 2Ю 1Х. Иняерпаяяцня и ее арименение к задачам поэтому предыдущее уравнение может быть записано в виде 1 а, ! ля+, М~ з+М~+ — Мыя=3~(х, „хь х;,,), ~ч+ь~ы 2 а; [-а;ы (=1, 2, ..., а — 1. (36) Выражения (36) представляют собой систему и — 1 линейных уравнений относительно л+ 1 неизвестных Ма, М,, ..., М„. Неизвестные М, и М„обычно определяются исходя из условий рассматриваемой задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
