Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 44
Текст из файла (страница 44)
вой степени; б)формула трапеций Юь (а, Ь; () — С(а)+7(Ь)), (16) которая получается из (13) при п = 1, х, а, х, = Ь, Р, (х) = = (' (а) — Ь + 1 (Ь) — . Заметим, что формула (16) дает точный результат также для любого многочлена первой степени; в) формула С и м п с о н а Яь(а, Ь; 7)= — (~(а)+47( — )+1(Ь)), (17) которая соответствует выбору и = 2, хе = а, хь = (а + Ь)(х, хь = Ь ( а+Ь1 2(х — — 1(х — Ь) 2 ) 4(х — е)(х — Ь) / д+Ь )+) (Ь вЂ” а)ь Из интерполяционного характера формулы Симпсона следует, что она дает точный результат для любого многочлена второй степени.
Однако нетрудно видеть, что если ) (х) х', то ь ~) (х) дх = = — ( аь+ 4~ — ) + Ьь) = Зх(а, Ь; () и и, следовательно, формула !17) дает точный результат для любого миогочлена третьей степени. Для улучшения точности вычисления определенного интеграла (10) при помаши кввдратурной формулы вида (11) отрезок (а, Ы делится иа и) равных частей тачками х) = а + — е (, у = О, 1, „., ль, м й 2. Формулы числен.
аифферено. и интедоиР. Оценен логрегоностн 247 и к каждому отдельному интервалу (хи х, о с) пряменяетоя квадратурная формула (!3). Построенная таким образом квадратурная формула дд-1 дд — ! Л 1.„(а, Ь; /) = ~ч'„5л(хдд хг+д, /) = ~чд~ ~ч~~ Аао"~/(хул)д д О Г-Од О (18) +/(х,„)), (19) гдех =а+:!, !=О, 1, ..., 2ги. 2од 3.
Оценка погрешности квадратурной формулы. Оценку погрешности иитерполяционных квадратурных формул можно получить исходя из оценки остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа, но к значительно лучшим результатам приводит метод, предложенный С.
М. Никольским' >. Приведем получаемую зтим методом оценку. Будем говорить, что функция /(х) принадлежит классу Иу<д1 (М„а, Ь), если на отрезке (а, Ь! все ее производные до (» — 1)-го порядка непрерывны, а»-я производная кусочно-непрерывна, причем 1/гг1 (х) ~ < М „, а х ( Ь. (20) ,Обозначим через )сл, число л= д ~5„(,д;Л вЂ” )ддид,~, ,г.„е, (ы,е.о,~ а через Р„„(7) — функцию А он г Ь вЂ” о ~ Ь вЂ” о о-о (21) где и'-' прн и~О, 0 при и(0.
*' Ннвольакиа С. М. Квадратурвые формулы. М., 1976, где хго — — хг + — '" "д /о, называется усложненной кладрагпур- нои формулой. Усложненная квадратурная формула Симпсона выгля- дит так~ о ~! (х) дх = (/ (х, )+ 4/(х,) 1- 2/(х,) + ... + ф/(х,„,)+ И 249 !Х.
Ингерпояяция и ее применение и задачам (22) где с„,= — ' 1" (Р.,(() (йй (г — 1)(,) о (23) и р и и е р зя, Установить погрешность квалретуриой формулы 1171 нв ковосе зг(оз (мз, а ь). Соглвсно формулам П7) н (21), получаем рввенстве (1 — ()' з /1 ( 1 Р (г)- — — К ~ — -(~ — — К П-фзз а '~» ! з (зГ 21 1 — (! — — )прн 0 сг< —,' 4 ~ 3 ( — ( — -(1 прн — ~(~1 ~З ! 2 н, авеловвтельно, ((о 1 „, ~1 !г„„)1Ш ( — (1(ос(+ 1 (( — 1(! — ()во( о 1/в ! повтому по формуле (22) имеем Ма (Ь вЂ” о)з :88 (24) Применим метод С.
М. Никольского для оценки погрешности усложненной квадратурной формулы (18). Для зтоги, воспользо. вавшнсь формулами (18) и (21), получим неравенства к. ! ь т — ! (+( ~~я~ — с.и,ь;о ит,.з ) ц~и — з.(„,г, злак я ( о~~м (г! к) 1 к ~' о,+ — *Р+ к 11Рп<о!а,,зз( (г — 1)! (-о я д к' и гни-Г" — ' — т " к,('~ *'-г). о «1+з кг к(ез ло С. М. Никольский показал, что если квадрзтурнзя формула (11) дает точный результат по крайней мере для всех многочленов (г — 1)-й степени, то Р„г =(Ь вЂ” а)" +' М„с„„, й 2, Формулы иислен. дифференц. и интегрир.
Оценки погрешности 249 Замечая, что (27) где и = ') Р!о) (!) бе, М, + ) шах ) 1)г+ и (х) ~, а~» цо а постоянная о„, определена равенством (23). Выражение Ьг~ ьг и ( нг>(!)б! (г — !)! а (28) называется елаеным членом погрешности. Рунге показал, что главный член погрешности может быть определен в процессе численного интегрирования. Для этого приближенное значение интеграла вычисляется по квадратуриым формулам 1,, (а, Ь; !) и 1., (а, Ь; )) (и, ( иа).
Из неравенства (27) следуют равенства ~!(х) бх — 1., (а, Ь;)) =Ь', 6,-)-рр а а ~ ) (х) дх — Е, (а, Ь; ~) = Ь,' гг, + р„ а где, й,= —, ~р,!(Ь',.+' (Ь вЂ” а)М, е) С„г, )=1,2. (29) Фг х+, — х,=й= —, Р!))(!) =Р<0!(!)= ь (! )у а — — ~'„Аа~"'К,( о„— т), г — () 1 и! из неравенства (25) выводим соотношение е (Ь вЂ” а 6'М 1 зпр (.
(агЬ'!) — ()(х)бх ( а)" ' " ~Р)о)(!)~сУ. (26) )ч" (г — !)),) г'а' ) а о Если функция ! (х) имеет на отрезке (а, Ы непрерывные производныедо(г + 1)-го порядка включительно, а квадратурная формула (!8) точна для всех миогочленов степени г — 1,,но для многочленов степени г не дает точного результата, то справедливо неравенство аг )(Х)6Х вЂ” ) „(и, Ь;)) — —" !! ))г)(Г) бт < ))г+' (Ь вЂ” а)М,+! О„г, (г — !)),) а а и$0 1Х, Ими, лемме и ее еременение н аеялчам Вычитая из первого равенства второе, получаем 0„(6,'— Ь;)=7.,(а, Ь;)) — 7.„,(а, 6;7)+р,— р, позтому (30) Оценим второе слагаемое правой части выражения (30). Из выражения (29) имеем неравенства Неравенство (27) может быть преобразовано к виду (31) ! )пчо ь„,у,,ь;л!нрг1,-о(м~ ~, а где Ели (а,й; К) — К.,„(н, Ь' )) Обычно берут Ут,lйа = 2; процесс вычислений заканчивается, когда ,~ Т( ( е, где е — заданная точность.
Этот способ получения приближенного значения интеграла может быть использован для составления программ с автоматическим выбором шага интегрирования. П р и м е р 3'. Вычислить интеграл 1= 1п' х ч(х атс соа х е,а по усложненной формуле Симпсона (19) при автоматическом выборе шага а оценкой погрешности пе правилу Рунге. Решение дано программой на ФОРТРАНЕ: А = — 0,2, В=0,9 Р1МЕ(чЗ10(ч ГОКМАТ ПЕАР (1,1) ВО=О. Н =( — А)/8. у (з) (ЙР 4.1) А,В й 3. Понатие о метенак оптимизации.
КубатХРИЫе гйормулы 251 2 О = — Н)2, Х=А Р=0. ' З Т)О к=(,з Х =Х+ Н*(К вЂ” 1) 4 У (К) =((А(.ОО (Х))ьь2)/АЙС03 (Х) Р =Р+У(В+4.лт (2)+Ъ'(З) 1Р(Π— Х) 5,5,3 5 5 =(Оьр)/3 6 РО((МАТ (5Х, Р 12.8) Тт'к!ТЕ (3,6) 3 1Р ((АВ5 (3 — 3О)/15.) — 0.005) 8, 8, 7 7 3О= 3 Н=Н)2. ПОТО 2 8 БТОР Ег)В 3 а и е ч а н н е. Прн решении задач на ЭВМ с автаматнческнм вмббрзт( шага не следует задавать слишком малую допустимую погрешность, гак как на решение задачи может быть израсходовано много машинного времени, й 3. ПОНЯТИЯ О МЕТОДАХ ОПТИМИЗАЦИИ.
КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ !. Оптимизация квадратурных формул. Приступая к решению конкретной задами численного интегрирования, приходится решать вопрос, какой же квадратуриой формулой нужно воспользоваться для ее решенияь и чем больше методвв решения задачи известно, тем труд!же иа него чьтветнть; кавскый метод имеет свои отрицательиыа и поло. жительные стороны.
Для правильного выбора метода нужно учитывать многие фактеры: тиа ЭВМ, на которой будут производиться вычисления, сложность получения или вычисления значений функции„допустимый объем загрузки оперативного запоминающего устройства, простота программирования, время, затрачиваемое на подготовку и ввод исходных данных, время, необходимое ЭВМ для решения задачи, возможность простой оценки погрешности численного интегрирования для рассматриваемого класса функций и т. п.
В качестве критерия овтимизации задачи можно выбрать критерий минимальных затрат времени (соответственно материальных затрат) на решение какой-то группы задач. Учитывая, что при вычислении определенных интегралов время в основном тратится на вычисление иди получение спытиым иутши значений функции, заключаем, чхо данному критерию оптимизации будут отвечать квадратурные формулы с возмож- 252 !Х. Интерполяция и ее применение н задачам но меньшим числом узлов, обеспечивающие заданную точность.
Однако минимизацию числа узлов нужно производить осмотрительно. Особенно это касается программ, когда величину шага и определяет сама ЭВМ. Поэтому при составлении стандартных программ с автоматическим выбором шага обычно предусматривается принудительное прохождение нескольких первых циклов или принудительное дробление шага на участках интегрирования, в которых функция !(х), стоящая под знаком интеграла, может иметь резкие колебания (пики). Вопрос о минимизации числа узлов квадратурной формулы для обеспечения заданной точности приводит к следующей оптимизационной задаче: при заданном и построить квадратурную формулу вида (2.11) о л ~!(х) дхы5„(а, Ь;!) лл ~~~~ А<л)! (хт), г-о точную для многочленов наиболее высокой степени. Такие квадратуриые формулы называются формулами Гаусса.
Мы установим формулу Гаусса в предположении, что отрезок [а, о) совпадает с отрезком 1 — 1,11. Таким образом, искомая квадратурная формула определяется выражением ! л ) ! (х) дхжд, (!) = ~ А<л' ! (х!). — ! !=о Обозначим через о! (х) многочлен (п + 1)-й степени оо(х) =(х — х,) (х — х,) ... (х — хл). Теорема 1. Для того чтобы квадратурная формула (1) была точной для всех многочленов Р (х) степени, меньшей и равной т, т ~ и + 1, необходимо и достаточно, чтобы она была интерполяционной, а много.
член ы (х) был ортогонален ко всем многочлен м (1 (х) степени не выше т — и — 1. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть )т . (х) есть произвольный много- член и-й степени. Тогда, по формуле Лагранжа (1.15), имеем рамн- ство й (х) ~)' Й (х!) ! о оо' ох!! (х — з!) а так как, по условию теоремы, формула (1) в применении к )с (х) дает точный результат (и С т), то ! л ~ К(х)бх - '~ й(х,) ~ "'"'" - ~~~ А) >Я(х,) — 1 й 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
