Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(10) ~!заветно, что Щ (х„) — ) (хв) ( Е„(!), поэтому формула (10) дает Р'„Гхл) — )(ха) и„(!) 2 и ~Е (г) 2 откуда следует, гго Р„'(хг,) — Пка) Ел (!) л 2 Следовательно, в (+)-точках ߄— г) имеем равенства Р„'(хл) — 1(хг,) = Ял(хл) — ~(хв) = Е„()). Аналогичные равенства имеют место и для ( — )-точек. Таким образом, в и + 2 точках справедливы равенства Рл (ха) = Я; (х„), что возможно только при р„' (х) = К (х). р Система точек ха ( х, ( ...
ч х„, удовлетворяющая условиям (5), называется валле — пцссеноескилт альтернансом, а если дополнительно ! ав ! =Ел(!) для всех й = О, 1, ..., и + 1, то чебыимвскии алыпер- нансом. Теоремы, аналогичные теоремзм 1, 2, 3, можно доказать и для три- гонометрического случая, тогда чебышевский альтернанс будет состоять уже не менее чем из 2п + 2 точек. Приведем без доказательства некоторые результаты о влиянии структурных свойств функции на величину ее наилучшего прибли- жения.
С этой целью введем понятие модуля непрерывности. Модулем непрерывности функции г(х) на отрезке !а, Ь! называется функбия ет(б, у)= п)ах !)'(х+)т) — У(х)!!сга, ьр )«) <а «, «+л е Гл, в) Георема 4 (Джексон). Если Е (!) есть наилучигееприблиэеекие функ- )(ии ( (х] Е С 1а, () ! многочленами из Н, то справедливо неравенспию Е„()) г«12ьт( —,~) .
Следствие 1. Если ~ (х) Е 1(рм а, т. е. !)'(х') — )(х") ! М ! х' — х'!, 0 «а ~ 1, пю справедливо неравенство . Е„(7)< 12~:~) 224 >ГП>. Зедечи вычисления и реаномерного приближения функции Следствие 2. Если у функции ) (х) существует ограниченнан про изводная 1' (х), причгм ! 1' (х) ( .. М, то справедливо неравенство (г) ~ 6(Ь вЂ” а) М л 'Теорема б (Джексон).
Если функция ( (х) насегиенте (а, Ь) имеет по крайней мере р непрерывных производных, то для п ) р справедлива оценка Ср(Ь вЂ” а)~ (' Ь вЂ” а .( >) пл '> 2(л — р) где ь> (б, )(я>) — модуль непрерыоностл производной )гл> (х), постоянная, зависящая только от р. Следствие 1. Если в условиях теоремы окажется, что >'<'> (х) Е 12 рм сс, О ( и -. 1, а С— то при и ) р выполняется оценка Е Са (Ь )~~ лл->-а где постоянная С„зависит только от р и а.
Следствие 2. Если у (' (х) существует огроначанноя производная (па+» (х), причем ( ('лч '> (х) / .-"' Мр + „то выг>олняетш> оценка ()) . Ср(Ь вЂ” а)г Ю Мп„, и :-»- г л' Пш ", Е„д)=О. л Доказательство теорем 4, 5, б можно найти, например, в книге: Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М., 1949, гл 2. Из приведенных оценок видно, что если функция )' (х) достаточно гладкая, то наилучшее приближение Е„()) стремится к нулю очень быстро. Так как значения алгебраических многочленов в любой точке хорошо вычисляются на ЭВМ, то использование многочлеиов наилуч щего равномерного приближения для вычисления значений функции желательно осуществлять всегда, когда значение функции необходимо знать в достаточно большом числе точек. 2.
Построение миогочленов наилучшего приближения. В случае существования и единственности многочлена наилучшего прнближе ния возникает задача его построения. Точное ее решение возможно лишь в отдельных случаях, Рассмотрим один из них †определении где постоянная С' яотсит гполько от р. Теорема б (Бернштейн). Если функция ( (х) — аналитическая на сегменте (а, Ы, то Е„(>) < Сд(л>, где С ) О и О < а «1 — постоянные кисли. Если же функция (' (х) — целая, то й 3.
Миогочлеиы иеилучжего приближения в лроггрвнсгве 225 многочленов, наименее уклоняющнхся от нуляе). Найти многочлен л-й степени Я„(х) = х" — а, х"-' - ... — а„, х — а„ (12) о коэффициентом при х", равным единице, для нолюроео на данном о)врезке 1а, Ы величина шах ! Я„(х) ! принимает наименьшее возможное а~ячЬ значение. Пусть для определенности отрезок [а, И совпадает с отрезком 1 — 1,1!. Нетрудно видеть, что сформулированная задача равносильна задаче о нахожденнн многочлена Р„,(х)=а) хл-'+...+а,х+а„, являющегося многочленом наилучшего приближения к функции х" на отрезке [ — 1,11. Для определения такого многочлена заметнм, что чебышевскнй альтернанс в этом случае состоит нз л + 1 точек х„..., х„Р [ — 1,11. В каждой точке хь Р ( — 1,1) функция у = Я„(х) имеет локальный экстремум, равный ~Е„, поэтому в этих точках Я,'(х) = О.
(13) Но Я, '(х) является многочленом (н — 1)-й степени, значит уравнение (13) имеет не более л — 1 корней хь Е ( — 1,1). Следовательно, концы отрезка [ — 1,1! также должны входить в чебышевскнй альтернанс. Отсюда следует, что многочлены (1 — х') (г",)„'(х))' н Е„*— К (х) имеют одни н те же нули. Поэтому функция у = Я„(х) удовлетворяет днфференцнальному уравнению (1 — хв) (у')в нв (Е,' — у'). (! 4) Переписав это уравнение в виде ее лел ии ~ )г Е'„— у' гг! — кя находим общее решение уравнения (14): у (х) и- Е„соз (л агссоз х + С).
Полагая в этом равенстве х = 1, получаем [у(1)[=Е„[созС[ =Его откуда С=О. Полагая также 1 = агссоз х, нз тождества 2 соз лг' = (соз г'+ 1з1п л1)" + (созт — (гйп 1)" находам, что выражение ! соз (и агссоз х) = — [(х + [г хв — 1)' -1- (х — )/ха — 1)л! 2 ') Си. также 5 2 гл. Ч!! ч.
! 8 зяя. )та 226 чп!. Зелени вычисления и ревномерного приблилсення фуницив является многочленом степени и. Козффиниеит при х" легко вычисляется; он равен 2"- '. Следовательно, многочлен Я„(х), наименее уклоняющийся от нуля, определяется выражением Я„(х)= — соз(пагссозх), и 1,2,... 2л-! Многочлены (15) называют мноючленах>и Чебышеаа первого рода, Они находят многочисленные применения в приближенных вычислениях.
Приведем теперь один метод приближенного построения многочленз наилучшего приближения'). Пусть функпия > (х) определена и непрерывна на отрезке (а, (>1. Предположим, что имеется некоторое приближение к точкам чебышевского альтернанса: (19) то многочлен Яь (х) будет удовлетворять условию Яя(х<я>) 1(х<"')+( — 1)') в, )=О, 1...„п+1, поэтому справедливы равенства ( — 1)'з>йп)я((1я(х<я>) — )(х<я>))=!1я(, ) 0,1,...,п-) 1. '> Ремев Е. Я.
Оси<ее вычислительные методы чебы<вевского ириближевия. Киев, 1957, (16) Обозначил! через (~ ' (х) многочлены п-й степени: <х — х< > ... <х — х) >><х — х>+>> ... <х — х„+! <е> , <е> <е> <е> , 1<е>( ) ° (1?) <<и <е> <и <е> <е> <е> <е> <ы <х - — х, > ...
<х -х,><х, — х+<> ...<х( -х„+!) )=1, 2, ..., п+1. Заметим, что если т 1, 2, ..., п + 1, то (<я> (х< е>) = (О, тчь >1 Обозначим через Яд (х) многочлен ! л+! д„(х) -;~ д(ЫЯ»+( — 1У 1.„) г<е (х), (18) ! ! ! где Ед — постоянное 'число. Если в качестве постоянной Ц взять значение л+! /<х<е » — ч1! ><х<> »<><в> <х<е» <м! я+! ~', <-1>' 1)ь><х~">> й 3. Мноточлвны нанлучн<его прнблнл<еннл в проатранстав 227 Следовательно, по теореме Валле — Пуссена, Е„()).
» (Еа! и много- член <;<а (х) может быть выбран за приближенное представление много- члена налучшего приближения. Введем обозначение <а(х) =а<Оп Еа Ща(х) — 7(х)). Пустьх<а+«естьточка сегмента (а, х<а< 1, в которой функция 7 (х) до- стигает наибольшего зиачениа, х)а+ '> — точка сегмента (х<а+ «, х<та<1 в котоРой 7а (х) достигает наименьшего вначениЯ, х<"+м — точна сег мента (х<а+ «, х~" 1, в которой 1а (х) достигает наибольшего значения и т.
д. Пусть х<~ь<<' — точка сегмента (х<а+ <', Ы, в которой при нечет- ном п 7л (х) достигает наибольшего значения, а при четном и — наи- меньшего. Построенная таким образом последовательность точек х<а+«, ..., х„'а++," принимается за новое приближение к точкам чебы- 'шевского альтернанса. Действительно, по способу выбора точек х<а+<>, х<а+«, ..., х„'"+";" имеем неравенства ( — 1)< 3< оп 1.а ((<„(х< + ") — <' (х) + ")) )~ ! Еа (, поэтому, заменяя в формулах (19) точки х'; ' на точки х)~+'<, у = = О, 1...„л + 1, найдем число Ел+ < такое, что 1~.а!(!1.,+,!(Ел(7).
Затем процесс повторяется. Итерационный процесо прекращается, если величина ! Еа +, — (.а ! становится достаточно малой. В качестве начальных точек приближения к чебышевскому аль. тернансу рекомендуется брать точки а+Ь Ь-а 7 л+<-< х< = — + — соз ~ и); 1= О, 1, ..., л — 1, (20) ' л+! явля<ощиеся точками чебышевского альтернанса для полинома, на- именее уклоняющегося от нуля на отрезке (а, Ы.
В работе Ремеза пока- вано, что описанный итерационный процесс равномерно сходится со скоростью, определяемой неравенством шах !7(х) — Я (х))я" Е„(7)-(-с<7, л~ «чь где а - О, 0 «) < 1 — некоторые постоянные, независящие от т. Программа, реализующая вычисления по этому алгоритму на ФОРТРАНе, содержит свыше 60 операторов.
Приведем только про- грамму вычисления многочлена Я„(х). Введем массивы Х (<т' + !)= = (х„..., х„) и 1' (<т' + 1) =Д (х,) + Еа, ..., !'(хл) + ( — 1)" ! л). На печать выдаются числа 6 Я„(г) и Я х. 0!МЕНЯ!0(т( Х(Н-(-1), У(Н-)-1) 1 ГОКМАТ (бГЗ. О/бГ10.б(ГЗ.1) йЕА() (1,1) Х,У,Е ххв ип.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
