Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 37
Текст из файла (страница 37)
2,) о о о ортогональна к функциям (р! (х]...„(р„(х) на отрезке [а, <)]. Таким образом, метод Рнтца н метод Галерккна приводят к эквивалентным системам для определенна коэффнцнентов сь. Однако метод Галеркнна отличается более простымн выкладками. Рассмотрим пример решения вариационной задачи методом Галеркина. Расчеты проведены на ЦВМ «Наири». П р н и е р 3'. Найти минимум функционала 204 Ч!!. Некоторые методы решения варнацнонных задач Легко вычисляются интегралы, стоящие в левых частяк системы (15)! 1 Г 1 Г 1 г«- — — ) х~рт (х) бх — ) х(х« — х) бх= — ° 2,) 2 24 о о ! !' ! Г -':- ! гз — - ) х«р«(х) 6.« = ) х(хз — х') ох=в 2,) 2,) 40 о о 1 !' 1 Г 1 гз — — — ) хара(х) бх= — х(х«хз) бх=— 2,) 2 ~ 60 о Вычислим интегралы ! УЦ=~(«(х) ф,(х) х, 1, (-1,2,3. о используя стандартную программу интегрирования функций. В ЦВМ вводятсн исходные данные.
После набора кодового названия программы «нл» набирается функция по правилам записи арифметических выражений в автокоде «Наири-С». Обращение к стандартной программе «нлы 70 0 1 О 0ОО1 нл (х' — х) И4хз — 2х+2) ехр (х«) — (х' — х) ехр х) 0,5932928 Уы нл (х« — х) Ибх« — 4х«+бх — 2) ехр (хз) — (х« — хз) ехр х) 0,35353979 Уы ил (х« — г) И8х« — бхз+ 12х« — ох) ехр (хз) — (х« — хз) ехр х) 0.24081438 У«з ил (хз — х«) И4хз — 2х+ 2) ехр (х«) — (хз — х) ехр х) 0,35353981 Уз« ил (хз — х«) Ибхз -4х«+ох — 2) ехр (х«) — (хз — хз) ехр х) 0,28604780 У«» ил (хз — х«) И8х« — бхз+ 12х« — ох) ехр (хз) — (хз — хз) ехр х) 0,22530038 У«« й 4. Прямые методы е ввриециоииом исчислении 205 нл (хв — хв) ((4хв — 2х -1-2) ехр (х') — (хв-х) ехр х) О, 2408 Г438 ' Увв нл (хв — хв) ((бхз — 4»в+ бх — 2) ехр (хв) — (хэ — хз) ехр х) О, 22530038 Увз нл (хв — хэ) ((8хв — бхз+!2хв — бх) ехр (хв) — (хз — хв! ехр х) 0,10496985 Увв Подстзянв нвйденные значения интегралов ув/ н гв в систему (15), прнведем ее к виду Ауп+Вум+Суш=гг, Ау«в+ Вузе+Сузе = ге А ум + В у«в +Сузе = гв Эту систему решаем относя«слепо А, В, С тзкже нв ЦВМ, нспользуя стандарт ную прогрвмму «сув, Обращение к ствндзртной программе «сув: 1/24 = 0,041666666 1/40 0,02499999 !/60 0,016666666 64 0,59329628, 0,35353979, 0,24081438, 0,0416666 козффнцяенты 0,35353981, 0,28604780, 0,22530038, 0,2499999 системы 0,24081438, 0,22530)36, 0.10496085, 0,0!66666 11! су — обращение к стандартной программе = 3 — порядок снстемы Д = х« — 8,67880094 В = хв 34,39629697 С = хв = — 28 942! 7801 Подставив нвйденные козффнцненты А, В, С в формулу (14), получим прн- блнженне для функции, дающей минимум функционалу (12) нлв являющейся решением краевой задачи для уравнения (13).
Оно имеет внд у х (» — 1) ( — 8,68+34,40х — 28,94 хв). 4. Метод Канторовича. Предложенный в 1933 г. Л. В. Канторови-- чем метод решения вариационных задач занимает промежуточное по- ложение между точным решением вариационной задачи и приближен- ным решением по методу Ритка или Галеркина. Его еще называют ме- гподом приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Он применим к функционалам, зависящим от функции нескольких переменных. Преимущество этого метода кроме большой точности сосл тоит также в том, что вместо линейной комбинации,'~ свфз (х, у), сз = в=! = сопя(, априорно выбранных функций грв (х, у) решение ищется л в виде ~ аз (х)«рз (х, у), где а„(х) — некоторые функции, определяев-1 мые в соответствии с характером задачи.
явб 'т'П. Наиоторые методы решения аариационнык ладан Пусть, например, решается вариационная задача для фуиициоиила ! (г) = Я г (х, у, г, г,', г„') бх бу при условии, что на границе у области О выполнено условие г (х, у) )т = О. Для определенности будем х = а, х лл Ь и кривыми у считать, что область 0 ограничена прямыми = дд (х), у = дя (х) (рис. 43). Так же как и в методе Ритца, выбирается некоторая последовательность координатных функций тр, (х, у), 1ря (х, у), " ср„(х, у), ..., обращающихся в ноль на кривых у = ят (х) и у = Кя (х) Решение задачи будем искать в виде р=у,И у.р,гг) л гл лл ~~)' а„(Х) тра (Х, у), а-1 0 и Рис. дд где а„(х) — неизвестные дифференцируемые функции, удовлетворяю- щие условию аа (а) = аа (Ь) = О, сс = 1, 2, ..., и. Найдем частные производные: л — "= ~~)~ ~(аа(х) 1ря(х, у)+аа (х) р" "' ") ), а 1 — "= ~ а,(х) дкл ест два(к, у) д„,Л ди н подставим их в функционал 1 (г): 1(гл) = а а. 1кт -~и ~ к(*,т,~ .т,~(ыи-К" И').
~. ик)тк. а к, 1к1 а-1 а Функции 1рь (х, у) заданы, а функции а„(х)зависят только от х, поэто- му можно провести интегрирование по у во внутреннем интеграле. Тогда получим функцию, зависящую от х, аа и аа, А = 1, 2, ..., и, которую обозначим й 4. Прямые методы а аариационном исчислении 207 х»() / л я Ф(х,я„яа, ...,адсс„') = " Р~х,у, ~~ яд(рд ~~ ид(рд+яд— д(рд '! г,(х) » ! дх !' ")' яд —" ()у. дсрд ду Подставив Ф в интеграл / (г„), видим, что ь l (г„) = ~ Ф (х, а„а), ..., сс„, и„') ()х = /'(и„..., а„) а становится функционалом, зависящим от п функции ад (х) одной переменной х.
Экстремали этого функционала удовлетворяют системе уравнений Эйлера Ԅ— — Ф » =О, /с=1,2, ... и, д (16) с)х ад и краевым условиям ад (0) = ад (Ь) = О. Таким образом, в методе Канторовича решение вариационной задачи сводится к решению системы краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Системе ()6) можно придать другой вид, который более удобен для практи.еского применения. Для этого надо найти производные дФ/дид н дФ/дяд от срункпни се (х) Ф(х, а„сс), ..., сс„, ал)= ) Р(х, у, г, г'., г',) ду, г, (к) где л л л г= ~ ид(х)срд(х, у), г,'.= ~ ~адсрд+яд — /, г'= )'„яд —; др,~ др, дх ! " ду д=! А ! д-! имеем с У» — — +У», — "+У»,— ") ду= ».т дяд »а дяд ) г,(к) (г»Ч)д+Р»' +г»' .
/ду' йр» д(рд 'т *к дх *а ду / г (к) г (") ду Интеграл ) Р,, — ду преобразуем интегрированием по частям: Уд ым Ъду г, (к) г» (х) г* (х) ду,, ~»' у» рд ' у) ) дсрд (' г 'а ду *г ду л,(к) г, (х) г (к) 208 'тга. Некоторые методы рен»ения ввриационныа задач На кривых у д) (х) н у дз (х) функпии фд (х, у) обращаются в ноль, повтому д, («) к* (х) дР, ю («) а»(«) Таким образом. имеют место равенства з, («) дфд 1 ю («) Найден частную производную: дФ з» (ю Ф, — „" Р,фдду, дч (") а длч полной производной имеем з» «! — Ф фд Р +Р ° — ду+Р»р»1 д1(х)- а, («) Рз' ф)»1 у» (") «)з=а, (х) нлн, учитывая граничные условия, получаем з («) дх»,) '( дх " *.' д ) л» )«) дФ д Подставим производные —, — Ф, в систему (16) и приведем ее к виду дад' бх а» (") — „) д д (Р,— — Р,— — Р 1»рд(х, у) бр=0, и=1, и, . ° ..
л. ()7) дх *«ду *а! а, («) Функпня, стоящая в скобках под знаком интеграла, д д Р«' дх '« ду «« есть правая часть уравнения Остроградского для функпионала 1 (з) = Ц Р(х, у, г, г„', х„') Пх ду. о Таким образом, для каждого фиксярованного х условия (17) можно рассмат- ривать как условия ортогональностн функпий Ч'(а) к системе координатных фун к- цнй фд (х, у), й = 1, 2, ... и, на отрезке (ут (х), у (х)1. Прп нахождении экстремали методом Канторовича вначале следует составить уравнение Остроградского, а затем решить систему (17), й 4.
Прямые методы в вариациоииом исчислении 209 1 которая представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительионеизвестныхфункций а„(х), й = 1, 2, ..., п. В приложениях часто встречаются функционалы вида [ (г) = Д ~( — ) + ( — ) + 2г) (х, у) ] г)х г(у. Система (17) для такого функционала имеет вид г, )х) ) ляг а'г ~ — + — — )))ряс(у=О, )г=1,2, ...,и, (18) дхя ду, а~ )х) где я г= ~чр~ ая(х))ря(х, у). Координатную систему функций Ч)) (х, у), ..., Ч)„(х, у), ... можно построить следующим образом.
Пусть ф) (у), ..., )р„(у), ... — последовательность координагных функций, заданных иа [О,!1, а д) (х) и дя (х) — кривые, определенные в п 1. Тогда Ч)„(х, у) можно определить таким образом: ) пг(х) — д, (х) ) В частности, за ч)„(х, у) можно выбрать функции )р„(х, у) =(у — д) (х))(у — уг(х)) у" ', и =1, 2 .. Ч)ч(х,у!=в(п ' ~ ~' )), п=1,2,, гя (х) — и),'х П р и и е р 4".
По методу Канторовича найти первое приближение функции, даюшей минимум функционалу )(г) =О(( — ) +( — ) +2г(х+2))с(х с(у о прн условии, что г (х, р) 0 на границе у области 6, определенной неравенствами — 1 .( х ( 1, — х — 1 .( р -( х + 3. Согласно методу Канторовича. первое приближение ишем в виде г,=(у+х+1)(у — х — 3)а(х) =Иу — 1)' — (х+2)')а(х), 210 УН. Некоторью методы ре»пенна аарнеционны«задач где а (х) — неизвестная функция, удоале»воряющая условию а ( — !! а (Ц О.
Найдем частные производные: — =((у — 1)з — (х+2)з) а'(х) — 2(х+2) а(х), дх, дх дз з! — =((у — 1)' — (х+2)з) а'(х) — 4(х+2) а'(х) — 2а (х), дхз — =2(у — 1) а(х), дз, ду дз, — =2а (х). ду« Неизвестная функция а (х) определяется нз системы (!8), которая в рассматриваемом случае сводится к одному уравнению ! «+з (((у — 1)' — (х+2)') а" — 4 (х+2) а' — (х+2)) ((у — 1)з — (х+2)«) дх «ч О.
†« — 1 Вычисли! интегралы «+ 3 нг» чаем зто уравнение к виду 1б „ 16 4 — (х+ 2)ь а" + — с!' («+ 2)« = — — (х -',-2)«, 15 3 3 !6 нли после сокращения на — (х+ 2)з !5 5 (х+2) а" +5а' = —— 4 (19) Получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка, Найдем ой- щее рещение соответствтющего однородного уравнения (х+2) ае+5аз =О.
Заменой аз гоно прнводнтся к уравнению первого порядиа (х+2) ««+ 5Г=О, откуда находим с! с! — нли а,' = —, (х+ 2)з (х+ 2)ч ду=2(х+2), ~ (у — 1)з ду= — (х+ 2)з, 3 — « — ! -« †! «+3 (у — 1)! ду— * — 1 2 — (х+2)ь, 5 й 4. Прямые методы в аариационном исчислении 2!1 с, Следовательно, сса — 4, 2, + с . Частным решением уравнения (19) 4(х+ 1 будет функция а — -(х+ 2). Таким обрело», общее решение уравнения (19) имеет внд с, 1 а=с,— — —,— — (х+2). 4 (я+2)4 4 Постоянные с, и с находим иэ граничных условий а( — 1) и(1) О. 1(ля их определения имеем систему сд ! с, 3 с — — =- —, с — — =— е я ° 4 4 ' 48! . 4 решая которую находим ст 81/40. с 121П60.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
