Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 41
Текст из файла (страница 41)
задачи вычисления и равномерного прибииыания функций О=о. 00 7 1=1, И+1 А=1. 1Р(1.0Т. )ь() 00 ТО 4 00 3 К 2,И+1 1Р(К вЂ” 1) 3,3, 9 В = А.(2 — Х(К))7(Х (1) — Х (К)) А=В СОМТ1)ь)БЕ С=1. 00 1О Ь=1, М 1Р(1 — Ь)6,6,5 1) = Св(2 — Х (Ь))7(Х (1) — Х (1.)) С=1) Н = 0-1- У (1) вАеС О=Н РОЙМАТ (15Х, 10 = А Р10.6, 10Х, ! 2 = ), Р ! 0.6) ФЙ1ТЕ (3.8) О, 2 ВТОР ЕИР 5 10 6 7 8 3 в и е ч з н и е, В втой программе, а также во всех последующих указаны те форматы ввода и вывода, которые использозалнсь при отладке программы. Прн использовании этих программ для решения других задач операторы формата выбирают в соответствии с условнямв задачи. ЯР ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ !Х е Ъ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ й 1.
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 1. Задача интерполирования. Пусть Н есть некоторое компактное множество линейного нормированного пространства Е и пусть ).(Р1 ЫР) ),(Р)....,).(Р), РЕН. (1) — непрерывные на Н, линейно независимые функции. Линейную комбинацию этих функций Рн ( Р, С) = с, )ь ( Р) + с, /, (Р) + ... + о„~„(Р), (21 где с„( = О, 1, ...,п, — вещественные числа, будем называть обоб щенньои полиномом. Допустим также, что на компакте Н задана непрерывная функция ( (Р) и известны ее значения) (Р,), ) (Р,), ...,1(Р„) в некоторых точках ЄЄ, Р„ Сформулируем общую задачу интерполирования. Найти обобщен.
ный полинам вида (2), принимающий в заданных точках Рь, Р„..., Р„ компакта Н значения, равные ) (Р,), ) (Р,), ..., ) (Р„). Точки Р,, Р„..., Р„называюптся узлами интерполяции, а обобщенный поли. ном Р„(Р, С'), удовлетворяющий условиям Рь(Р„, С*)=)(Р„), й=О, 1, ..., и, (3) носит название интерполяиионного полинома. Для того чтобы задача интерполирования имела решение для любой непрерывной иа компакте Н функции г (Р) и при любом выборе различ.
ных между собой узлов интерполяции, необходимо, чтобы была разрешима система линейных алгебраических уравнений С МР )+С,~,(Р )+ ... +С„)„(Р,) =1(Р„), Я =О, 1, ...,, (4) эквивалентная условиям (3). Разрешимость системы (4) равносильна тому, что при любых различных точках Р„ Р„ ..., Р„ Е Н должно вы.
полняться соотношение ) (Р )ЫР,) ... („(Р,) ~ О. Р (Р.) Т' (Р.)- 1'. (Р ) 8В З 1МВ 230 !Х. Инзерпопяция и ее применение и задачам При равенстве определителя нулю система уравнений со1а'РРа)з(-еа)з(Ра)+-+с У '(Р4=йч Ф=чй, 1, а„ имеет нетривиальное решение с, = Ь„ха=:дз„. а =4„в, следовательно, обобщенный полипом бз(Р) = ооГо (Р) + 1'А (Р) +" + + о„(„(Р) обращается на компакте Н в ноль по крайней мере в и + 1 различных точках ЄЄ..., Р„. Отсюда следует, что, для того 1 1о, (ь ., !п 1 чтобы 0 ~,, ', ( чь О при любом выборе различных точек ЄЄ... Р„компакта Н, необходимо и достаточно, чтобы любой обобщенный полипом Г„(Р, С), отличный от тождественного нуля, имел иа компакте Н не более и нулей.
Определенная на кампакте Н система функций (Т) называется системой Чебышева порядка и, если любой обобщенный полипом Р„(Р, С), имеющий:на компакте Н,более и нулей, тождественно равен нулю. Из проведенных рассуждений следует справедливость следующей теоремы. Теорема 1. Для того чтобы задача интерполирования при любом еыбоРе Различных Умов Рм Рм ..., Р„имела единппеенное Рещение, необходимо и достаточно, чтобы система (1) была системой Чебыщееа.
Перейдем теперь к построению интерполянионного полинома Г, (Р, Се). Пусть го '(Р), ~, (Р), ..., 1„(Р) — система Чебышева на компакте Н. Запишем систему уравнений (ч) и равенства (2) в виде очи(1 а) — г(Ра) оп+1= О, а=О, 1, ~=о (б) ~ч~ с,7,(Р) — Г (Р, Се) с„+,— — О, с„+, —— 1. ч и Но зто есть система и + 2 однарадных уравнений с неизвестными с„с„... нсп, са + м.Ив раарвциицосви системы (4) следует ираарешимость снсямы Щ л потому ее епределитель равен нулю.,раскладывая юют оиредвохнтеоаь;по злементам яослецнаго аголйца, мы и получим,интерполяционный поханиохе (1 "° 1а- 1ю 1а+о " (я1 и .
-Х1(Ра "- "-'"' '-'- й Г. О1н>ермо«олма 231 //о> ' ' /А->. /А /«+1 " > /л '(Р, ..., Р,, Р,, Р«+„..., Р„) /О при /чь й, «( т)— //л и -"/л~ '(! прн /=й. '>Ро. Р> ° ° ° Рл/ Ясно, что /,(/з), й = О, !,, и, ивлякотпя обоби«еннымн.пелииомамн на компакте Н. Соотношение (б) показывает, что интерполяпнонний поливом Рл (Р, С') представляет собой линейный оператор., отображагопцзй ' пространство С (Н)-непрерывных на кемиактн Н функций иа ионечзнх.
мерное нространпкво, пероомдениве обобщенными полнномами Рл ()и, 6), опредененными па том ще компакте Н. Пусть теперь иа ко«пикка и с= Н. аадаяа такая бескоиечиая система вепре Рыапь>х Фуикш>й /о (Р).,/т (Р), /е(Р)... /т (Р)„,. что любаяее коиечвоп тихо система язляется чебышезской системой, Тогда по задаппой бескоиечиой треу. гольной и«трапе Т описи Риуй Н;. т, е, гп матрице Рю Р,о Рп Рлорлт- Рло для любой аепрерызиой на Н функпии / (Р) можно построить последозатель.
кость икторполяпиопных полииомоа (Р„(Р, Стл>Ц„' о ~аких, что узлами интер полякии полииома Р„(Р, Стл~) будут точки н-й строки мзтрапы Т, т. е. Рл(Рлю С>" >) /(Рлт)> ! 9> 1» ... и . Так каи а тачках Ре И отличных от точек Рлм / О,1...,, н, раззость Рл (Р, О"') — /(Р), вообще говоря, отлична от йуля, то истает задача кссле. доеаиия иоаедеиия аеличипы а(рл Н шах~Ел(Р,СОО) — /(Р)~ 3 Рл(Р, Сгл1) — /(Р)оа >Л1 (7) Рон при а -> ол, е ато.есть задача о. приближеиии непрерывной па и фуиккии.//Р) последозательпостыо линейных иктерполяпиопиых оперзтореи (Рл (Р, С«н>)> Вопрос о возможности такого приближения может быть решен о помощью глубокой теоремы функцяоиальиого акзлиза.
которую мю- приведем без доказатель. етаз. Теорема 2 (папах — Штейигауз). пусто (А„) — лосхсдосатсхьносто хиисйных онсраюарае. отображающих банахосо проса>рансюео Х с банаюыо. иро. странстсо )>. Дхн того чтобы дхх хюбосо к 6 Х лосхедосатслоностз (Алх) око дихасо н еначснпю Ах; где А — линейный оносатор. необходимо и достаточно, чт абио з) последовательность норм (:)( Ал()) бо>ха осранючсни т.
с срщасюаееаае такое число М ~ О, что (а) ) Алй = м>р 6.Ал х( <М дхя а>ох и ( ° 2, ...у кхнвюо 232 (К. Интерполяция и ее применение к аедачвм б! для любого элемента г ие нгкотороео множестео К (= Х, линевиче комбина. нии елелентое которого лежат всюду плотно е Х, имело мест ° соотношение )лиг — Аг) о прв п оо, ~ч', а хе =) (х„), А=О, 1,..., и.
(9) Определитель этой сис(емы 1 ке кб -. х' ! кг к)...х; Ь(хе, к,, ..., х„)= хл - хп является определителем Вандерионда. В курсе линейной алгебры показывается, что й(хе, х„..., х„)= П (х, — хг), (10) г) ( а так как х, =т хг при г ~ ), то Ь (хе, х„..., х„) ~ О, откуда и оледует существование и единственность решения системы (9) Для определенна. интерполяцнонного многочлена Р„(х) воспользуемся формулой (б) Так как в этом случае Ь (хе* ° °, ха м х, хь+е, ..., хп! А(» Ь(х„, х,, .... х„! Условие (8! ограниченности норм последовательностя операторов является достаточно ограничительным условием, Так, оно не выполняется даже для танях классических аппаратов приближенна в пространстве непрерывных фунн.
цнй, как частные суммы ряда Фурье, частные суммы рядов по ортогональным многочленвм, рассматриваемым ниже ннтерполяцяоаным полнномам Лагранжа я для целого ряда других методов. Иа теоремы папаха-Штейнгауча может быть легко выведено утверждение Дюбуа — Раймонда о существовании непрерывной функции периоде 2н с не. равномеряо сходящимся ялн даже расходящимся а отдельных точках рядом Фурье. Аналогичное утверждение может быть получено а для некоторых других методов приближения. Поэтому,сследование поведения определенной в (7) величины е (Рк, !) сводится кая х научению последовательности норм (1!Ре!Ц, еая а я выяснению свойств функций / (Р), влняющнх на скорость сходвмостн величины е(Е... Р! а нулю Выяснением последнего вопроса для конхрет.
ных ннтерполяняонных полиномов мы займемся в следующих пунктах. 2. Иитерполяцнонный полипом Лагранжа. Пусть функция ) (к) однозначно определена и непрерывна на отрезке (а, 01, причем навеет. ны значения у (х,), ) (х,), ..., у (хп) этой функции в некоторых точках а ( ха( х, ( ...
( х„( Ь. В этом случае в качестве системы Чебышева, используемой для построения ннтерполяционного много- члена, чаще всего берется система функций 1, х, х'... х". Система уравнений (4) принимает тогда зид й 1. Интпрпоппцпп гзэ то, используя формулу (10) и вводя обозначение и ы(х)= П (х — хч), можно записать, что в (х) ю' (хп1 (х — кю (12) Подставив это выражение в (б), получим так называемый анаерлоаь Чионлый миогочлгн Лагранжа и Р„(х) = ~) )(хь) ° (13) к 0 а' (хх) ~х — хк) .((опустим теперь, что иа рассматриваемом промежутке функция г (х) имеет непрерывные производные до (и + 1)-го порядка включительно. Тогда можно оценить погрешность от замены функции 1 (х) ее интерполяциоиным многочленом Р„(х).
Выберем постоянную кк' так, чтобы выполнялось равенство и ) (х') — ч' г'(х„) 1„(х') = ага(х'), (14) где х' — некоторое фиксированное значение х из (а, Ь), отличное от узлов интерполирования х„. Функция и Ф(х) =~(х) — ~ч', 7(х,)1„(х) — йгс(х) к-о обращается на промежутке (а, Ь( в ноль по крайней мере л + 2 разя (в точках х', х„х„..., х„).
По следствию из теоремы Ролля, существует такая точка о Е (а, Ь), о = с (х'), что Фы+и (с) = О. Но дифферен. пируя Ф (х), получим равенство Ф<п+ 3 > (х) = и + 1) (х) — )1 (и + 1) 1, Полагая в этом равенстве х = с, находим )с = — 1ш+" (с), с=с(х'); сп+ (и ~~"~' (и) )(х) ~ /(хх)гх(х)-'; гс(х), о=с(х), (15) (п -(- (р Подставив это выражение в равенство (14), в любой точке х, отличной от узлов интерполирования, имеем соотношение 23! !Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
