Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Следовательно, 1 / 8! а(х) = — (р+х+1) (у — х — 3) ~41 — 46Х- — 1 160 (х+2)4 / и первое приближение, найденное по методу Канторовича, имеет вид ! т' В! хд= — (у+я+!)(у — х — 3) ~41 — 40х — — 1. 160 (.+2) )' ЗАДАЧИ ВЫЧИСЛЕНИЯ И РАВНОМЕРНОГО Ч ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ й П ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ 1. Основные понятия. При построеиии математической модели реального явления нужно свести это явление к математическим уравнениям, оценить их параметры, начальные данные, провести анализ.и выбрать метод решения.
Математическая модель дает лишь некоторое приближение к реальному явлению и, следовательно, описывает его с некоторой ошибкой. Неточно известны обычно и начальные данные процесса. В большинстве случаев в процессе решения ургвиеиий приходится прибегать к приближенным вычислениям. Таким образом, как при построении математической модели, так и при ее анализе для изучения реального явления появляются ошибки. Для оценки ошибок вводится понятие погрешности. Различают абсолютную и относительную погрешиости.
Приведем их определения. Пусть а — точное значение некоторой величины, а" — значение этой величины, полученное в результате измерений или вычислений. Тогда абсолютной погрешностью величииГя а* называют велпчииу Л (а ), про которую известно, что ( а — аь ) е-. Ь (а*), а относшпельной погрешностью величины а* Ф О называют вег ичииу 6 (а*), про которую известно, что ~~ —, ~ ( б (а*). В соответствии с причиигми, вызывающими появление ошибок, различают иеустраиимую погрешпость, гогрешиость метода и вычислительную погрешность. Неустранимая погрешность возникает из-за петочиости математической модели рассматриваемого процесса и исходиых данных. Оиа сохраняется иа каждом шаге вычислеиий и преобразуется в процессе решения задачи, а знание величины иеустраиимой погрешности позволяет оценить точность, с которой нужно решать рассматриваемую задачу.
Для того чтобы оценить влияние неустранимой погрешиости иа окончательный результат процесса вычислений у, представим у в виде некоторой функции У = ((Т, Р„...,Р„, х„.... х,„), где Т вЂ” время, р„..., р„— параметры математической модели процесса, х„..., х — исходные данные. В силу наличия ошибок вместо 214 МП. Задачи вычисления н равномерного приближения функций ные погрешности достаточно малыми, для преобразованной прн выпал. ненни арифметических операций погрешности будем иметь следующие выражения: с=а+Ь, Л(с') =Л(а*)+Л(Ь'), с=а — Ь, б(с*) =Л(а*)+Л(Ь*), с=аЬ, Л(с*)=(а') Л(Ь'(+(Ь'(б(а*), (2) с = —, Ь ~ О, Л(с*) = — + а, 5(ач) )а*)5(Ь*) ь' ' (ь ( )ь»)з При выполнении арифметических операций может происходить частичная компенсация ошибок, поэтому выражения (2) дают несколь- ко завышенную оценку для величины вычислительной погрешности, однако про них нужно помнить, особенно при проведении длинных це- почек вычислений.
Покажем на примере, как влияет изменение ошибок округления на вычислительную погрешность. П р и и е р !'. Вычислить число А = (3+ 2 Ьг2)т/(3 — 2(/2)т, принимая за приближенное значение числа (гг2 числа 1,4!42 н 1,4142! с ошибками округле. ния 2 !О-' н 4 !О-' соответственно. Решение запишем в виде табл. 1.
Таблица 1 а<а ) 6. 3640 ! .3_#_31 1147,635! 1!52,66682 1,4!42 1,4!421 Из таблицы видно, что в соответствии с выражениями (2) вычислительная погрешность пропорциональна ошибкам онругления. <й) Компенсации ошибок можно добиться за счет рационалююго выбора порядка выполнения операций, Покажем зто иа примере вычисления того же числа А, но записанного в другом виде. П р н и е р 2'. Вычислить число А =((3+ 2 (/2)/(3 — 2(/2))з, принимая за приближенное значение числа )72 числа 1,4142 н 1.4!421, Теперь имеем следующую запись (табл. 2). Таблица 2 а <л'1 0,6157 0,09938 1,4! 42 1,4!421 1!53,3834 1153, 89975 Сравнивая табл. 2 с табл.
1, видим, что, изменив порядок вычнсаеина, мы !О раз уменьшили вычислительную погрешность. Особого внимания требуют случаи, когда приходится делить на ма лые по абсолютной величине числа нли определять разность двух боль й 2. Некоторые сведения из теории приближения функций 215 ших, но мало различающихся чисел. При этом может случиться, что значащие цифры результата будут определяться значеииямя ошибок округления или вычислительной погрешности, что приводит к неверным результатам. Покажем это на примере.
П р н и е р 3'. Решить систему линейных уравнений Угйх+ Рг2у = 1, $''14х+2у = ~'2, (3) округляя коэффнцяенты системы до трех н до четырех знаков после запятой. После округления коэффициентов получим систему уравнеяий 2,645х + 1,4! 4 у = 1,000, 3,741 х + 2,000 у = 1,414, (4) ее решение: х 2,672, у — 4,292. Если коэффициенты системы (3) вычислить с четырьмя знакамн после запятой, то имеем систему 2,6456х + 1,4! 42)у 1,0000, 3,74! 4 х + 2,0000у 1,4142, (5) решение которой: х — 0,2246, у — 1,!273.
Отсюда видно, что язменение точности, с которой определяются коэффициенты сястемы (3), резко изменяет решение. Система (3) имеет решение х с, ! у = — ( Р'2 — 1 14 с), с — произвольно, а решения систем (4) и (5) определяются ошибками округления. В примере 3" мы наблюдали неустойчивость решения, которая определяется самой системой уравнений. При вычислениях на ЭВМ нужно выбирать такие алгоритмы решения задач, которые выясняют возможность резкого колебания решения от изменения точности счета, не допускают существенного искажения конечного результата. Отметим, что современные ЭВМ, обеспечивая большую точность вычислений, при правильном выборе численного метода и алгоритма его реализации почти всегда позволяют свести вычислительную погрешность окончательного результата к величине, находящейся в допустимых по условиям задачи пределах.
Обычно считают, что полная погрешность результата складывается нз неустранимой погрешности, вычислительной погрешности и погрешности метода, хотя на самом деле эти погрешности вступают в более сложные зависимости. Если известно, что метод решения задачи не вызывает чрезмерного возрастания вычислительной или неустранимой погрешности, то приближенно можно считать, что полная погрешность результата определяется погрешностью метода. й 2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ Е Основная задача. Теория приближения функций берет свое начало в работах П.
Л. Чебышева. В (853 г. он ставит вопрос о возможности приближенного представления данной функции полиномом заданной степени. В дальнейших исследованиях им были изобретены и разработаны оригинальные методы решения поставленной задачи, которые 2!6 Шн. Звйвчи вычисления и рввномерного приближения фуннций нашли также применение в некоторых вопросах кинематики механизглов. «Практика везде ищет самого лучшего, самого выгодного» вЂ” вот та мысль, которая руководила им более 40 лет и привела к созданию основого направления теории приближения функций. Исследования П. Л. Чебышева были продолжены его учениками — А. Н.
Коркиным, Е. И. Золотаревым, А. А. и В. А. Марковыми. Большую роль в развитии теории приближения функций сыграла классическая аппроксимационная теорема Вейерштрасса (1885), а также фундаментальные исследования С. Н. Бернштейна, Джексона, Валле Пуссена и советской математической школы. При этом стоит отметить, что первоначально многие задачи теории приближения функций решались как бы изолированно (например, интерполирование и равномерное приближение) и ~олько в последние десятилетия в связи с бурным развитием функционального анализа появились общие теории. Мы постараемся отдельные вопросы теории приближения функций изложить именно с точки зрения функционального анализа.
Общий вопрос теории приближения функций можно сформулировать таким образом. Как функцию, возможно, сложной природы, можно представить приближенно с помощью функций простой природы, например, с помощью алгебраических или тригонометрических многочленов? Как уже отмечалось, П. Л. Чебышев формулировал задачу о представлении функций сложной природы функциями более простой при-. роды, причем под функциями более простой природы обычно понимались алгебраические илн тригонометрические полиномы.
Позднее задачи математической физики и многих технических приложений выделили достаточно широкие классы других функций, которые также ста,ли рассматриваться в качестве <более простых» функций. Дальнейшее развитие функционального анализа привело к следующей йгормулировке основной задачи теории приближения функций. Пусть в банаховом пространстве Х задано некоторое множество М г:. Х.
Требуется для всяквго элемента х Е Х найти элемент ув с М такой, чтобы |п(1х — у1!в =!!х — ув 1'в (1) авгия Элемент ув = ув (х) называется элементом наилучшего приблияоения элемента х Е Х. Постановка этой задачи сразу же порождает ряд проблем. 1) Пусть х с Х. Существует ли в множестве Л1 с: Х элемент уе (х), осуществляющий равенство (1) (проблема с у щ е с т в о в а н и я элемента наилучшего прибли женин). Законность постановки такой проблемы подтверждается даже таким простым примером.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
