Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е, ппп 1(д) =/ (у») =р. Из непрерывности функционала следует, что фа ш О Вб ~ О такое, что 1/ ~у) — /(у')1=11(д) — р) < а, (б) как только 11 у — у' 11 < б. Система функций (3) полна, поэтому среди линейных комбинаций вида (4) найдется такая у„, что 11 у„— у*э < б. Неравенства (6) выполняется для любой функции у, удовлетворяющей условию 1 у — у' й < б; в частности н для д» ~ ) ! (у„) — р) <а, или и — а с /(у„) < р-)-е.
Из равенства р„ппп / (у„) следует, что р» ( / (у» ). Учигые»н предыдущее неравенство, получаем р„< /(д„) <р-(-з, э 1(у) =) Р(х, д, у'~ Йх, » (7) определенному на некотором множестве пространства От). Функционал (7) непрерывен в пространстве С"'. Предположим. чтосуществует кривая д*, реализующая минимум этого функционала. Вели система функций ф, (х), ..., ф» (х), .. удовлетворяет требованиям теоремы 1, то последовательность уг, ..., угм ..., построенная по методу Ритма, будет минимизирующей. На практике последовательность координатных фуикпий ф, (х)...., ф„(х), ... часто образуют с помощью последовательностей 1, х, х', ..., а», ...
илн а!и я, з1п 2х, ..., э)п пх.... В частности, если допустимые кривые функционала последовательность р,...„р„, ... — невозрастающэя, поэтому неравенство р ( „< р+ в будет выполняться для любого» ж и„. едовательно, невозрастающая последовагельность ограничена сверху, поэтому существует предел 11ш р, р. )ь » о В связи со сложностью проблемы оценок погрешности приближения по методу Рнтца вопросы о точности полученных результатов мы не будем рассматривать.
Укажем талька, что быстрота сходимости приближений для данной вариационной задачи зависит, очевидно, как от самой рассматриваемой задачи, так н ат выбора функций ф,(Р), ф„ (Р), ..., ф„ (Р), ... Выбор последовательности функций ф,...., ф„, ... сильно влияет на степень сложности дальнейших вычислений и на точность результата, От удачного выбора в значительной мере зависит успех прнменення этого метода.
Следует подчеркнуть, что во многих случаях достаточно взять линейную комбинацию совсем небольшого числа фуниций ф» (Р) (три-четыре, иногда даже меньше), для того чтобы получить вполне удовлетворительное приближение к точному решению. Применим метод Ритца и решению вариацнонных аадач для функционалов, зависящих от одной н двух переменных в общем виде. П р н м е р 1. Мазепам Ригца построить л-е приближение для функции, дающей минимум функционалу 200 тт)!.
Некоторые методы решения варлам»очных задач (7) удовлетворяют однородным условням у (а) у (Ь) О, го а качестве «о. ординатных функций фл (х] можно принять, напрнмер, ф„(х) (х — а) (Ь вЂ” х) х", а О, ), .... нлн аа (х — а) фл (х) = з!и ,а ),2,... ' — а Если условна неоднородны, например у(а) А, у(Ь) = В, то проще всего решение варнацнокной задачи искать в виде л у»=фо(х)+ '~ сьфа(х), о=! где фо (х) удовлетворяет заданным граничным условням фо (а) А, фо (Ь) В, а все остальные фь (х) удовлетворяют однородным граничным условиям фь (а> - р,(Ь)- О.
В качестве функции фо (х) можно выбрать, например, линейную функцию фо (х> =(( — А)>(Ь вЂ” а)) (х — а) +А. Согласно процессу Рнтца, решение варнав»о»ной задачи ищем э ваде л у» = ~~'„сз фь(х). з ! Подставив у„в функцнонал (7), получим функцню от л переменных с,, ..., с»! Ь / л л л»., — . »-Р(*. Х-~ (».
Х "Ч»)) л. л з э-! которую надо исследовать на экстремум. Коэффициенты сг, ..., с„находятс» вз снстемы дФ>доз=О, Д ), 2, ..., и, Решение этих систем, вообще говоря, является весьма сложной задачей. Она значнтельно упрощается, если на экстремум нсследуется квадратичный относительно неизвестный функции н ее производных функционал I (у).
В этом случае снстема уравнений будет линейной относительно коэффяцнентов сь. Метод Рнтца применим также н к функционалам, зависящим от функцнн нескольких переменных П р и и е р 2', Найтн экстремум функционала ! (г) = Ц г (х, у, г, г', г,',> бх бу, а когда допустимые конные удовлетворяют граничному ус»»»лю г(х, у)! О, ~т Приблп.кенное решение экстремалн будем искать в ь»„» л г„= х~ сз фь (х, у), з=! где все грз (х, у)! О. Последовательность координатных функций фг, „, ф„можно построить следующим образом: найдем функцию ю ы (х, у), непрерывную вместе с част ными пронзводнымн в области й н удовлетворяющую условиям ю(х, у))0 в О и ю(х, у) >э=О.
й 4. Прямые мегоды в вариационном исчислении 201' в Тогда последовательностью координатных функций будет система функцнй фх=ы, фв —— ых, фа=ар, фх —— ыхэ, фа=му~..., Функцню ы ю (х, р) можно выбрать так: если контур т имеет уравнение Ч (х, у) О, то полагаем ы (х, у) Ь Ч (х, р), где энак выбнрается так, чтобы выполнялось условие ы (х, у) ~ О. Если, например, у — окружность х' чр уэ мв, то ыэ = йа — х' — у', если у — контур прямоугольннка асхаб, с<у<о, то ы(х, у) =(Ь вЂ” х) 1х — а) (б — р) (у — с). При решении вариационных задач методом Ритка весьма целесообразно использование ЭВМ и ЦВМ.
3. МетодГалеркина. В 1915 г. Б. Г. Галеркиным был предложен более общий и универсальный метод решения граничных задач. Этот метод получил широкое распространение. Одно нз преимуществ метода Галеркина состоит в том, что его можно непосредственно применять к решеншо краевых задач как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных, не сводя нх предварительно к вариационным задачам. Это означает, что если решается некоторам краевая задача для дифференциального уравнения 1. (г) = О (где Š— некоторый дифференциальный оператор) методом Ритца, то ее предварительно следует свести к вариационной задаче, при решении же методом Галеркина сведение краевой задачи к вариационной не требуется. Кроме того, метод Галеркина применим к более широкому классу задач и более просг в употреблении.
Приведем идею обоснования метода Галеркина. Пусть неизвестная функция г (Р) удовлетворяет в некоторой области 6 дифференциальному уравнению (обыкновенному илн в частных производных) 8(г (Р)) =-О (8) и некоторым однородным краевым условиям. Выберем последовательность координатных функций <р, (Р), <ра (Р), ..., гр„(Р), ... Как всегда, считаем, что все функции ~р„(Р) непрерывно дифференцируемы нужное число раз в замкнутой области 6 = 6 + у и на границе у удовлетл воряют однородным условиям. Тогда н функция ал (Р) = Д сафа (Р) при произвольных постоянных га удовлетворяет тем же. краевым условиям.
Коэффициенты сь определяются из требования, чтобы левая часть уравнения (8) стала после подстановки в нее функций зп (Р) вместо г (Р) ортогональной к функциям ф, (Р), <Рэ (Р)* " ф (Р) Приведем некоторые соображения по обоснованию нахождения коэффициентов с„. Требование того, чтобы функция г (Р), представимая О в виде ряда по координатным функциям г (Р) = ~ сьфь (Р), была рея ! шепнем уравнения (8), т.
е. Е (з (Р)) = О, равносильно требованию ортогоиальности выражения Е (з) ко всем функциям системы гр, (Р), ..., ~р„(Р), ... Однако, имея в своем распоряжении только п функций !рд (х), й = 1, 2, ..., п, можно найти только л постоянных иа условны ортогональности ль (г„(Р)) к функциям трд (х), й = 1, 2, ..., л. Для задач, связанных с вариационнымя проблемами, метод Галеркина ходится в тесном взаимоотношении с методом Рнтца. Варвацвоыыая выдача функционала и 1(у) ) Р(х,у, у') дл а лрв заданных граничных условиях у (о) у (Ь) 0 сводится к краевой задаче для уравнения д Е (у) =Ру — — Р„.
0 (10) при тех же условиях у (о) у (Ь) О. Пусть ф! (х)... !р„(х), ... — координатная система функций. Покажем, что еслы решение вариационной задачи (9) искать в виде и уа ~~~~ сд фд(х), и-! определяя коэффициенты по методу Ритва, а решение краевой задачи (10) также искать в виде (11), находя коэффиниенты по методу Галерквна, то получаем эк- вивалентные системы для определения коэффициентов са. Поставив у„в фун кцио- пал (9), получаем ь = ~~Ру — Р ~фд дх+Р, фд ~ а ь дэ ~~ д ) а которуш мы привели к виду ь 909 тгц. Некоторыа методы решения варнацменных задач ь у и а „а-!т(,, т.
„, Л,„„,)а-аа„..., >. а Л=! Л ! Найдем частные производные: ь дбт — ~(Руфд+Р„, фд) дх, Д 1, 9, ..., и, а н преобразуем их интегрированием по частям: Но для фд (х) выполнены условия фд (л) фд (и) = О, поэтому По метолт Ритма коэффициенты ст, находятся нэ системы дй)/доя=о, Д 1, ..., и, д (Ру — Р )фдбх О, й=!,В, ...,л а падла (9) 9 4. Прямые методы в вариеционном исчислении 203 Последние равенства означают, что функция д й <уя) =гав дх ! ! (У) =)г(у' е» +у» е»+»у) дх о <12) прн заданных граничных условиях у (0) у (1) О. Эта задача эквивалентна краевой задаче для дифференциального уравнения ь <у) 2е» <у'+2»у') — 2уе» вЂ” х =0 [13) прв тех же граничных условиях.
Решение будем искать в виде у»=А <х« — х!+В (х" — х/)+С <х« — хэ). <14) Коэффнцненты А, В, С определим по методу Галеркнна. Найдя у', у', н подста- вка кх в левую часть уравнения (!3), получим <- <уз) =2А)! (х)+2В<з (х)+2С[а (х) — х, где [!(х) =е» (4»' — 2х+2) — е'(хэ — х), [э(х)=е» (бха — 4хт+бх — 2) — е (хз хя), [» <х) =-е» <бх« — б»а+12х'-бх! — е»(х' — х»). Из условия ортогональности ь (уз) к функциям (р, (х) = х' — х, (р (х) хз — хэ, (р (х) =х' — х' на отрезке [0,1) получаем систему для определенна коэффнцкентов А, В, н С: 1 Г А ~ [! <х) ф! <х) дх+ В ~ [з (») 4)! (х) дх+ С ~ [э (х) ф! (х) дх = — х(р, (х) дх, 2,) о о о о А [ / ( ) т ( ) ~/г) В ) / () т ( ) ~/г( т ) / ( ) ч ( ) (* — < т() /*, С)) 2~ о о 1 1' А) /,( )т (*)/*.) ) /,( )т (*)(»т[/ ( )т (*)(* — ) т (*)~*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
