Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Из формулы дифференцирования произведения Еа й;= — (Р ° й) — й — Р д д *х дх хх дс зз то сс(х, у)= — О в 6. Доказательство проводится так же, как и доказательство основной леммы вариационного исчисления $2 гл. б, поэтому не будем на нем останавливаться. Теорема 1. Если функция г = г (х, у), удовлетворяющая условиям (2), дает экстремум функционалу (1), то она является решением уравнения Остроградского ° 88 чп, некоторые методы реыенив вариационнык задан Аналогично находим, что Р, 6„'= — (Р, 6) — 6 — -Р, .
д д го " ду гг ду 'а Подставив это выражение в (4), получим 61 0(Р,— — Р, — — Р, )йбхбр+ О~ (Р,. 6)+ + — (Р 6)1бхбу = 1,-1-1,. д г Применим к интегралу 1, формулу Грина: 1з=Д1 — (Р 6)+ — (Р 6)1бхбу= $Р.йбу — Р,йбк. д д дк г.т ду ге г га о 7 По условию, все допустимые кривые на границе у принимают одно и то же значение тр (х, у), поэтому й (х, у) = О на у и, следовательно, равен нулю интеграл 61 ~~(Р, Р Р ) йбх бу. и По необходимому условию существования экстремума, вариация функционала 61 равна нулю, Используя лемму, получаем, что функция г (х, у), реализующая экстремум функционала (!), удовлетворяет дифференпиальному уравнению (3)*1.
Уравнение (3) есть уравнение в частных производных, методы рещения которых рассматриваются в курсе «Уравнения математияеской физики». Так, например, уравнение Остроградского для функционала ! (г) =0 ~~ — ~) +( — ) +2г1(х, у)1 бх сну о (5) имеет впд д'а дг г — + — =1(х, у). (б) дкг -у' Последнее уравнение есть уравнение Пуассона, часто встречающееся в задачах математической физики. г~ Это уравнение впервые было получено Остроградским а 1834 а.
1,=1 — Р, йт(х+Р, йбу =О. Таким образом, вариация 61 для функционала (1) в случае закрепленных граничных условий принимает вид 5 2. Варивционные задачи дяя функций нескольких переменньм 189 При решении вариациоиных задач требуется, как правило, найти решение уравнения Пуассона, удовлетворяющее граничному условию г (х, У) )т = гР (х, У), т. е. Решить заДачУ ДиРихле. Рассмотрим более общий случай для функционала, зависящего от функции п переменных. Если г г(х,, хэ,,, х„) — функция и переменных, то в вариационной задаче для функционала 1(г) ~~ ... ~Г(хг, ..., х„, г, г„', ..., г„' ) дх„...
дх„ необходимое условие дается уравнением Остроградского д г1 л1 дхг *в В частности, хля функционала уравнение Остроградского имеет вид гии дги дги — + — + — =О, дх' ду* дг' т, е. является уравнением Лапласа Ьи = О в трехмерной области 1(ля уравне- ния Лапласа также решается задача Дирихле. 2. Естественные граничные условия. В п. 1 мы исследовали на экстремум функционал (1), когда область О не варьировалась и все допустимые кривые приннмалн заданные значения на границе у области б. Теперь рассмотрим вари. ационную задачу для функционала (1) в случае, когда область 6 не варьируется, но значения фунхций г г (х, р) на границе у не авданы.
Геометрически это означает, что вместо одного пространственного контура Г рассматривается мно- жество контуров Г„, проектирующихся в плоский контур у, на которые натяну- ты допустимые поверхности г г (х. у). Вариация (4) в рассматриваемом случае будет иметь вид д д 1= 0(Р— — Г ' — — Р'' 1йдх др+ (Π— Р йдх+Р йдр. -,г (7) дх 'х ду гэ 1 г *г В отличие от вариационной задачи с заданными граничными значенннмн в этом случае Ь (х, д) не обращается в ноль на контуре т, поэтому интеграл 'т' — Г, йбх+ Р, Йбр не исчезает. 'г г Так же как и в случае функции одной переменной, если г г(х, у) дает экстремум функционалу (1) на произвольных поверхностях, то она тем более будет давать экстремум по отношению ко всем поверхностям, натянутым на один и тот же контур Г. Поэтому г = г (х, г) удовлетворяет уравнению Остроградского (3) и из необходимого условия существования экстремума функционала следует, что для экстремальной поверхности должен равняться нулю криволинейный интеграл, т.
е. 1 — ~ — Г Лдх+Г, Ь5у= О. 190 УИ. Некоторые методы решения аарнационных задач Пусть крявая т задана в параметрнческом анде х х (б, у у (<), а ~ < ( ( р. Сведем крнволмнедный ннтеграл <х к опрелеленному: в — Р Лдх+ Р ° аду =~ ( — Р ° х + Р ' у ) Лд< =О. т а Вследствие пронзвольностн Д нз основной леммы варнацнонного нсчнслення заключаем, что (Р, х' — Р ~у')~ =О, (8) Условия (8) называются еетеетеенными криееыни уееоеиеяи дее диеиеиионаео (1). Найдем для примера естественные краевые условия для фу еьцнчьеле (8). Вычяслнм частные пронзводные: дг Р =2— ее дх дг Р ° =2 —, ее н условие (8) запишем в виде <9) Последнему соотношению можно придать другой внд. Рассмотрим ураане. нне контура т в векторной форме: г (<) х (<] 1+ у (<) Х'. Тогда е" (<) =х' (<) 1-(-у' (<)у' — уравнение касательной, и (<) =у' «) 1 — х' (<)у — уравненне нормзлн.
Вычислим теперь нормальную пронзводную от г (х, у): д <дг дг ) «1 — '! — =Егад г.ме =( — (+ — / ' <(д д у ух'*+' * ! ( дг ду Рг ду) ьех'*-(-у'* '( дх Ш ду щ / Используя равенство (9), заключаем, что естественное граннчное условие для функционала (5) состоят в том, что на крнвой т нормальнаа производная вкстре.
мальвой поверхности равна нулю: Но зто означает, что нехожденне зкстремалн функционала (5) прн естественных граннчных условяях сводится к решение задачи Неймана для уравнення Пуассона. й 3. СВЯЗЬ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 1. Вывод уравнений колебаний струны и мембраны.
Применим реэультаты, полученные в 92, к выводу уравнений колебаний струны и мембраны. Будем опираться при этом на сформулированный Остро, градским и Гамильтоном принцип наименьшего действия, являющий- й 3, Связь варивцненныв задач с днффереициаиьными уравнениями !9! ся основным вариационным принципом в механике.
Этот принцип утверждает, что среди всех возможных движений системы материальных точек осуществляется движение, дающее минимум функционалу 1=~ !т — и!ш, (1) ь где Т вЂ” кинетическая, а У вЂ” потенциальная энергия системы. Функционал (1) называют действием. Применим принципОстроградского — Гамильтона сначала к выводу уравнения колебаний струны. Рассмотрим движение струны (гибкой материальной нити длиной !) с линейной а плотностью р = сопз(.
Пусть в положеиии равновесия струна направлена по оси Ох. Обозначим через и (х, 1) отклопение струны от положения равновесия в точке х в момент времени й Будем ах ! рассматривать только поперечные колебания струны, предполагая, что движение происходит в одной плоскости и что все точки струны движутся перпеи- Риз 42 дикулярно оси Ох. Предположим, что концы струны х = 0 и х = 1 закреплены, т.
е. и (О, !) = и (1, г! = = О. Кинетическая энергия струны определяется соотношением Т = ( — и)' (х, 1) дх. (2) 2 о Найдем выражение для потенциальной энергии струны. Потенциальная энергия равна той работе, которую нужно затратить, чтобы перевести струну из положения равновесия в рассматриваемое положение. Струна считается абсолютно гибкой, тогда вся работа идет на ее растяжение (а не на изгиб) и на преодоление внешних сил.
Пусть натяжение струны постоянно равно А = сопз1. Ограничимся рассмотрением малых колебаний струны, т. е, будем считать, что смещение и (х, 1), а также производная ди/дх столь малы, что можно пренебречь членами, содержащими и и ди/дх в степени выше второй. Рассмотрим некоторый элемент струны в двух положениях: начальном и конечном. Работа ЛУ» затраченная на удлинение элемента Ьх (рис. 42), равна произведению натяжения А на величину удлинения )Г1+ и,"Ьх — Лх, т. е. Ь У, = й ("к'! + и,'в — 1) Лх. Применяя формулу Тейлора и отбрасывая при этом члены более высокого порядка малости, чем и," Лх, имеем ЬУ,=йЯ 1+и," — 1) Лх ю — М„" Лх.
2 !92 Ксц. Неяоторые методы решения аарнацнонныя задач Тогда для всей струны зта работа вычисляется а помощью интеграла а У,= — ит'бх 2 Допустим теперь, что на струну действуег еще внешняя восстанавливаю. щая сила Г (х, (), перпендикулярная струне в момент ее положения равновесия и рассчитанная на единицу массы. Внешние силы, действующие на элемент струны Лх, совершают работу, равную произведению силы р)Лх на путь и (х, (), т. е. ЛУ, = ри!Лх, и суммарная работа внешних сил определяется соотношением У,=~р Рх.
о Потенциальная энергия всей струны в ксоксент времени ( равна разности з работ У, и Уз: У = У, — Уз = ! ~ — и.' — риск с(х. гс! з *,)( о Запишем теперь для данного случая действие за промежуток 4 (Го, кк), определяемое функционалом (!): 1(и) = ~~ ~ — ис" — — То их'"+ри)) бх с(Л Гг и 2 ,с,о Согласно принципу наименьшего действия, этот функционал достигает минимума на функции и (х, 8), удовлетворяющей уравнению Остроградского (см. (2.3)), которое для нашего функционала имеет иид д, д ! р/ — — (рис') + — (йи„') = О.
д.' дх Полагая, что а' = иср, получаем уравнение — =а — +! (х, !), д' и з дт и дп дх' (3) называемое уравнением колебанссй струны. Если внешние силы отсутствуют, т. е. ) (х, !) = О, то получаем уравнение свободных колебаний струны (4) дт и з дз и — — й аз дх Совершенно аналогично может быть получено уравнение коле ний мембраны.
Обозначим через и (х, у, !) отклонение точки (х мембраны от положения равновесия в момент времени 1, а че й 3. Связь вариациеннык задач с дифференциальными уравнениями ШЗ ! (х, у, Г) — внешнюю силу, перпендикулярную мембране в ее поло. женин равновесия и рассчитанную на единицу массы. Пусть плотность мембраны р и натяжение я постоянны. Кинетическая энергия мембраны в момент ! вычисляется по формуле Т=~( Р и! бхбу, 2 с а работа, затраченная на деформапию элемента мембраны, равна lг ~/1+ и,'*+ и„'* Ьх Ьу — lгЬх Ьу ж —, 'л(и„'+ и ) Ьх Ьу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
