Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Система (36) является системой линейных алгебраических уравнений с преобладающей главной диагональю, и при ее решении не происходит сильного возрастания вычислительной погрешности. Приведем еще одно выражение для 5, (х), Предположим, что по. сгоянные М„М„..., М„уже вычислены. В силу линейности второй производной функции 3, (х) иа промежутке (х, „х;) она может быть записана в аиде (х~ — х) + И х — х~, ая ь, Проинтегрируем дважды обе части этого равенства и, н - остояиные интегрирования нз условий Яь(х~ ь) =у, „„Ь, ~ „„„получаем (х~ — «)з +М (х — хс-м~ + аа; функция 8 (х), построенная по формуле (34), называется кубическим си«айном.
при приближении кубическим сплайном функции 7 (х), имеющей иа отрезке [а, о) по крайней мере непрерывные производные до четвертого порядка включительно, справедливы оценки пщх [ ~оо (х) — 8) ~' (х) [ = О (Л'-я), р = О, 1, 2, 3, а<«<а где Л = шах Й,. Теория сплайиов, возникшая сравнительно недавно (в 1946 г.), сильно развивается в последние годы и находит широкое применение при решении различных задач численного анализа (см., например: Стечкин С. Бч Субботин Ю. Н.
Сплайиы и вычислительная математика. М., 1976), й 2. Формулы инслен. Аифференц. и интегрир. Оценки логрецгиосги 241 й 2. ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И интеГРИРОВАНия. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ Определим погрешность 11 „(с) = 1)'" (с) — )ген (с) формулы (2). Пусть 1 т ( и. По формуле Тейлора можем записать, что /1' (с ) "+" 1$) 1(х,) У вЂ” "(х,— с) + ~) (х с)л-н 2 (л+ 2)1 в) =х)+ 6)(с — х)), О<О) (1, поэтому и+1 Р (х) че' йю м о-о (х) — с)о 1, (х)+ ) о ле о) + ~' ')) (х,— с)ло-о(,(х). (3) 'л+ 21) Так как из формулы (!.15) следует справедливоцть реаонсть (х — с)' ~ч'„(хг — с)'1,(х), )г О, 1, ..., и, о к (х — с)"+' ~ч~ (х) — с)'+' 1)(х)+м(х), ) о 1. Численное дифференцирование. Пуоть на отрезке!а, Ы определена дифференцируемая по крайней мере и+ 2 раза функция1(х) и известны ее значениа 1 (х,), Г (х,), ..., 1 (х„) в точках хо ( хо « ...
х„этого отрезка. Формулы вида '(с) = ~' А("'(с)У(ху), т(а, (1) о позволяюшие определять приближенное значение Гтм) (с) производной т-го порядка функции 1(х) в произвольной точке с Е (а, Ы через зна- чениЯ фУнкции Г (х) в точках хо, х„ ..., х называютсЯ фсРмрлами численного дифференцирования. Мы ограничимая простейшим случаем формул вида (1), когда для определения коэффипиентов А) '(с) в ней применяется интерполяционный многочлен Лагранжа л Р„(х) = ~я~~ ) (хг) 1)(х). г о Дифференцируя это равенство т раз и полагая 1ил)(с) = Р'„'(с), получаем формулу 11'") (с) ~чг', 1~ ) (с)/(х)). т(ш (2) 242 1Х. Ин<ерлеляция и ее лрименение и аадачам то выражение (3) может быть записано в аиде /<»>(е> /<" + " (с) Р„ (х) = ~~~~~ (х — с)»вЂ” а( (я+ 1)) в(х)+ л /<»+я) ( ) + ~ ) (х — с)а+я/ (х).
(4) (л+ 2)1 Дифференцируя равенство (4) л< раз (1 е- и ( л) и полагая х = с, получаем равенство <" +') (е Р,',"'(с) = Р"') (с) — / ) в<"') (с) + (л+1)( + Ит,' (Х> — С)" +Я /~~"' (С), /'" + ~ > Мг) и) (а+ 2)1 (б) а так как Р< )(с)=/'< >(с), то ,<и+<> (,> /<л+я><я ) /с„(с) = ' в<"" (с) — у 'т (х> — с)" +'/) ) (с). (л+ 1)1 лы <л + 2» > о Отсюда следует, что для погрешности /7 (с) справедлива оценка ) <+<> с ! и )Я„(с)(< / ( > !в"")(е)1+ — "+' ~~ ')х> — с/,"+е)/1 '(с)~, (л+ 1)(, (л+ 2р (б) где М„+я — <пах )/<»+'>(х)!, а их( а Если в каком-нибудь узле интерполирования х> вычисляется первая, производная, то оценка (б) может быть улучшена. Действительно, выберем число А так, чтобы /'(х<) — Р'(х>)=Ав'(х>)ф <е(х) = П (х — х„).
(7) <р<"+'>(х) =/1»+'"(х) — А (и+1)!. Такой выбор всегда возможен, так как в' (х>) Ф О. Тогда функпия <р (х) = / (х) — Р„(х) — А в (х) обращается на отрезке (а, Ы в ноль по крайней мере а + 2 раза (в точках хе, х„..., х„, в точке х>— дважды). По следствию из теоремы рояля, су<цествует такая точка $ = $ (х>) б (а, Ь), что <2<я+ «($) = О. Дифференцируя / (х), полу- чаем 5 2.
Формулы чнслен. дигрференц. и интегрир. Оценки погрешности 243 Положив в атом равенстве х $, находим ,4 = Е!а+ 1! (6) 6 6 (ХЕ) !л+1)! и из выражения (7) получаем равенство Ег (Х,) =!о (ХЕ) + — "Е) !!а+11($), (л+ 1)) Отсюда легко выводится оценка )Есх(хв)( ( — "+' !пт'(хе)1. (л+ 1)! П р в м е р !', Построить по равенству(6) формулы чнсленного днффереяпирования, а случае равноотстояшнх узлов хь хо+ /й, й 0,1, „„л, прял 2,л 3 нс ха. Обовначнм для сокращенна аапнсв ! (хк) Ем Ям (ха) Агаве шах )Еп! (х)) гиь Теперь имеем выражения' ац коз 1) еслн л 2, то ! 1 Ео ~ ( — 3!о+4)т — Ев)+ Рто Е(- ~ (-!о+!о)+Е)ттг 1 Евт — (Ео-4)в+ ЗЕв) + Ятв' 1 Е! + Зт (Ео — 2Ег + Ео! + й.
в, 1 О, 1, Лля остаточных членов Егьг атнх формул спрвведлнвы опенка мвя мвл 1квв) ц в, 1=0,2, )йвт)< —, 1Явг) <Мв)г+ Е14о Ег Мв Ет + —, ! 0,2, 1))~1< — 1 2) если л 3, то 1 Ео — ( — 11)о+ 13)т — 3!о+ 2)в!+ !)м ' 1 ! Е( — (-2Ео-3)в+6)з-Ев)+ Е)тт Ет — (Ео — 6)в+3!в+2)з) + Ртз 1 Ев — — — (-2)о+О!в-13)в+11)в)+ Е)тв. 1 Ео, (2Ео-6)т+4)о-!о)+Рва, Е! —, (Ег-т — 2)г+Ег+т)+Рог, «з 1 1= 1т 2э Ев — „( — !о+4)т+2)в — 6)в!+ЕСы ! ,'Ес (-!о+3!в — 3!в+!в)+Ив! Е О, 1, 2, 3, Етв 244 (Х Интерполяция и ее применение н задачам Дли остаточных члеиоа (га( этих формул спрааеллипы опенки( М( М, 1(7(( ! < — бз при ( = 0,31 ! Рту ! < — Лз при ( = 1, 2, 4 !2 !1 47 1(! ! < — М И'+ — Мхаз при 0,3 Ю 12 4 (к а 1 1 !(гз(!~ Ма а + 12 60 3 37 ! (74( ! < М( л + 2 20 ! 3 !(7!!< — М И+в з 2 а !0 Ма ((з при (= 1,2, Ма((т при ( 0,3, М,Л' пра 1,2.
)'(~) =) 7(х)()х. а (1О) В технических приложениях часто приходится прибегать к приближенному вычислению интеграла (10). Йаиболее удобным для решения этой задачи являются формулы вида 1(7) ж Я„(а, Ь! 7)=;»', Аа("'7(ха), (1 1) Заметим, что при уменьшении шага И наряду с уменьшением погрешности (с ( идет увеличение вычислительной погрешности, поэтому уменьшение И разумно лишь в определенных пределах. Проведем соответствующий анализ для часто употребля(ощейся формулы численного дифференцирования !'( = —, (1а — 21( + (з), с погрешностью метода ( Язт ( .=-; —, .
Пусть при вычислении значений 1 (х) вычислим(з( !г тельная погрешность равняется 6. Считая для простоты, что дальнейшее вычисление проводится точно, получаем выражение для полной погрешности этой формулы: 4б Ма Лз бй)= — +' — ' Ь' 12 Наименьшее значение Л (('() достигается при Иа=21~36/М~, причем пнп (х ((() = (ха = 2)' М46(3 Если, например, вычисления производятся на ЗВМ, в которой для записи мантиссы нормализова()ного числа используется 32 двоичных разряда, то 6 не может быть меньше 2-". Поэтому из выражений для Иа и Ьа заключаем, что при ограниченных ! (х) и !(41 (х) нецелесообразно вйбирать И значительно меньше 2"' и нельзя вычислить Д с погрешностью значительно меньшей, чем 2 '". 2. Численное интегрирование.
Пусть функция ! (х) определена и непрерывна на (а, 6) и пусть 5 2. Формулы иислен. диффервнц. и ингегрир. Оцении погрешности 245 где постоянные' Аь"' и точки х„, й О, 1, ..., и, ие зависят от выбора функции 1 (х), Формулы вида (11), позволяющие определять приближенное значение интеграла (10) через значение функции 1(х) в фиксированных точках х„х„'..., х„отрезка!а, Ь), называются квадратурнмми 4юрмулами, числа А ~с"~ — весовыми ковффициеняшми, а точки х„..., х узлами квадратурной формула.
Погрешность метода можйо определить, производя оценку выражения Й„К) [1(1) — 5„(а, Ь; 1)[. (12) Как и в случае численного дифференцирования, ограничимся квадратурными формулами (11), получающимися с помощью интерполяционных полицомоа Лагранжа.
Пусть отрезок [а, Ь[ конечен и л Р„(х) ~ч~ 1(хл) 1„(х) есть интерполяционный полипом Лагранжа, построенный для функции 1(х) по точкам а < к, < х, « ... х„~ Ь. Полагая приближенно ь л ь 1(7) ж ~ Р,(х1 дх '~' ~(хд) ~ 1„(х) дх, а в о о получаем квадратурную формулу 5 ( а Ь 1 ) ~ А 1 1 г ( х ) (13) где А[,"' = ~ 1л (х) дх, 1г = О, 1, .... п (14) 3в(а Ьг 1)=(Ь вЂ” а)1~ — ), г а+в~ (1б) Квадратурные формулы вида (!3), в которых весовые коэффициенты А1" определяются по формулам (14), называются интерповяционнмми квадратурными формулами. Если г (х) = Я„(х) есть миогочлен не л вышел-й степени, то)(х) = "; ) (х„) 1д (х) и, следовательно, Я„(1) = ь о = О, т. е.
интерполяционные квадратурные формулы (13) дают точный результат по крайней мере для всех полиномов (';г„(х) степени не выше л. Наиболее часто интерполяционные квадратурные формулы строятся для равноотстоящих узлов. Простейшими квадрзтурными формулами являются следующие: а) формула п р я м о у г о л ь и и к о в 246 (Х. Инте(ьпенкцие и ее н(ьимеиение к эеяечем которая получаетсяизформулы(13) при и О,х, = —, Р,(х) = а+Ь =1(хе). Заметим, что если 7 (х) = сх + ь(, то, очевидно, имеем равенства ((х)((х=(Ь вЂ” а)~с + +(() Вь(а, Ь; (), 2 а т. е. формула (15) дает точный результат для любого многочлена пер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
