Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Г!оиятие о метелях олтимияеции. Кубетуриые формулы тза l и, хледоаательно! ! А)я! и' /ку/ тк — кр ! т. е. формула (1) — интерполяпнонная, Покажем теперь ортогональноать м (х) к любому многочлену (',/ (х) степени не выше /и — и — 1. Произведение () (х) м (х) вать много- член степени не выше нт, и, следовательно, формула (1) применительно к нему дает точный результат, а зтв означает, что ! я ~ Я (х) ьу (х) дх,"у', А~я! Я (ху) ьт (ху) О; '/ и ортогональность и (х) и (,/ (х) доказана. Д о с т а у о ч н о а т ь. Пуать Р (х) — произвольный многочлен степени не выше и!.
Тогда он может быть представлен в виде Р (х) Я (х) оу (х) + Я (х), (2) где () (х) и Й (х) — многочлены степени не выше пт — п — 1 и и соответственно. Учитывая ортогональность многочленов Я (х) и м' (х), можем записать, что ! ! ~ Р(х) дх ~ Р (х) дх. (2) Но так как формула (1) — интерполяпионная, а И (х) — многочлен' тспени нс выше и, то справедливо равенство ! ~ !х (х) дх = ч ', А)" ! у( (х !). ! /' 0 ! !з (2) следует, что !т (х/) = Р (х/), / О, 1, ..., и, поэтому, подставив !качение интеграла от /т' (х) в (3), получим равенство ! л ( Р(х! дх = ~ч" А)л' Р(х!), / /-л г зто и озчачаег, что формула (!) точная для всея многочленое лтепеии ие выше ж.
Следствие. Наива/сакля степень нновочкенов, длл «аторых формула Гаусса (1) дава! точный резукыпат, равна 2п + 1. 4 По условиям теоремы, любой многочлен Я (х) етепени не выше /и — и — ! должен быть ортогонален к многочлену ьт(х) (и + !)-й степени.'На зто возможно лишь при выполнении условия пт — и — 1( ( л и, следовательно,и е:, 2 и + 1.
Ф 2а4 1Х Мнтврпопвцил и ев применение и палачам Из условия ортогональности многочлена го (х) ко всем миогочлеиам Я (х) степени не выше л на отрезке! — 1; ! ! следует, что о) (х) является полиномом Лежандра (см. 2 2 гл. Ч!1 ч, 1). Запишем о) (х) в виде о) (х) = — — (х' — 1)" + ' Лл.в ! (4) 12л + 2)1 с)хи+ ! и заметим, что все нули хв ! = О, 1, ..., л, полиномов Лежандра раз- личны в расположены на интервале ( — 1,1).
Можно показать, что ко- зффипиенты А)! ' формулы Гаусса (Ц определяются выражениями !<„! 2еле ! л+ ) !' 112л+2))!'(1 — с))1!а' (л~))' ' а для погрешности формулы Гаусса ! и гс„® = 1 /(х) йх — ч ', А)е! "(х,) — ! 1-а справедлива оценка 2ел+а [(л 1.!)П4 !2л -1-1) !12л -!. 2)Ца (6) Если воспользоваться формулой Стирлинга*), то оценка (б) перейдет в оценку [)с ()) [()/и !г е 1 " ! + 1 )л» шах !)Ра +а! (х) [. ! 4 I !2л+1) (л+1)а"+' 1/и+1 (7) ) (х) Пх- — ! ~ — — 1+ — !(О)-!.— ! ! — ! +йв [[), (3) 9 ~ б,~ 9 9 ~ 5 гдв [ Ре П! 1 < — гпа х ( /! а! !хе[. 4050 ! ~хч! 2.
Кубатурные формулы. Пусть в некоторой области 6 пт-мерного евклидова пространства Е определена и диффереицируема достаточное число раз функция Г (х, ..., х ). Кубптуркой (йормулой называетея сумма ям (ОМ Ь АГЧ(н,е ...н д!), (х!)4)...х!е!) Е К а-! е) См. ч. 1, гл. 1Ч, $2. П р и м е р !', Построить вввдратурнуат формулу Гаусса при п 2, По формулам (1) в !З) получаем равенство й 3. Понятие е методов ентимизечии. Мубеттенмте Евеемуям тбб дающая приближенное значение интеграла / (7) = ~ ...
~! (х„..., х„) с)х, ... с)х„ы5 (О, )). сат В дальнейшем для простоты ограничимся случаем ас = 3, которому уже присуши все особенности численного вычисления многомерных интегралов. Кубатурная формула (9) в этом случае цримет внд Я/(х, у, г)дх дудги— м ч", Аес~'с (х~ уы го). (10) са> я 1 Если область 6 простая относительно осей Оу и Ог, то тройной интеграл можег быть сведен к повторному; ь и, ств твся, ов Я ) (х, у, г) с(х с1у с1г = ~ с(х ~ ду ~ г'(х, у, г) йг.
[1 1) сас а ов Сл тв Ся. от В этом случае для численного интегрирования по области О можно пользоваться квадратурными формулами вида (2.1Ц. Дадим схему построения кубатурной формулы (10). Выберем некоторую квадратур. ную формулу 5„(а, Ь;~)= ~ Ая7(хя), а<хо(...<х„(Ь я-о "я 'яяя (Уявв Уяв )) ~~ Ая! т (Уя )в ри суя «~уоз с=о Затем определим числа от я в = г, (х„, у„, и гтя в = г, (х„, у» ). По каждой паре таких чисел выбирается число ая~ и квадратурная формула яСв/ Зяяс(гтял гояд~) = ~~ Аял)(гя,), гсяг-' гя, (г «и т-о Кубатурная формула (1О) в этом случае будет иметь внд я 5(О, с) = ~ч~~ ~ч~ ~„' Ая Аяс Аост~(хя,уя, гя,), е о1=от о (12) Процесс построения кубатуриой формулы (12) хорошо алгаритмнзируется и может быть осуществлен на ЭВМ без предварительного се построении, Погрешность этой формулы может быть оценена ана.
логично тому, как это делалось в одномерном случае. Заметим также, что если все коэффициенты Ая, Аяп Аял положительны, а квадратур- и определим числа у„, = у, (х„) и уяя = у, (х„). По каждой паре таких чисел выберем числа п„и построим формулы Эза ьк. Интерполяция н ее применение н задачам л "з ~ ~ А„Аз, А„л' — — У(6)ь з ог тс о где У (6) — объем области 6. Поэтому-применение кубатурной формулы (12) не вызывает возрастания вычислительной погрешности Наиболее простой вид формула (!2) принимает в случае, когда область 6 является параллелепипедом, т.
е. при а, ( х ( а,, Ь, : у а Ь„с,(а~с,. Полагая х„=а, + Ж„уз = Ь, (- /Ь„г, = = сз + Увз и выбирая квадратурные формулы Ял, (аь а.„Л = ~д Аз г* (хз), и, = ((а, — ат)/йт), Зл,(Ь», Ь;,/) = эй В,~(ут), п,=ПЬ,— Ьт)йз), ь-о л, Вл„(ст сз Л= ~ч~~ с»1(гв) по=((сз ст)ьтдз) ь о из выражения (12) имеем формулу л ььь М(6,1)= ч' ~;» А„В,С 1(хя, уь г,); (13) от от-.л В качестве примера приведем формулу Симпсона для куба со стороной Ь аь М (6, Л = —, (о, + 4о, + 1боз + бйпв) а из (14) где а, — сумма значений 1 (х, у, г) в вершинах куба, пз — сумма значений ~ (х, у, г) в середине ребер куба, о, — сумма значений ) (х, у, г) в центре граней куба, о, — значение( (х, у, г) в центре куба.
В случае произвольной области 6 иногда ее заключают в параллелепипед и применяют формулу (!3) для вычисления интеграла от функ- ции )(х,у, г) при (х,у, г) с 6, О при (х,у,г)~6. Однако пользоваться этим приемом нужно очень осмотрительно, так как функция г" (х, у, г) на границе области 6 может оказаться разрывной, т. е.
погрешность метода может оказаться чрезмерно большой 3. Понятие о методе Монте-Карло. Основной недостаток приведенного метода построения кубатурных формул заключается в большом числе узлов кубатурной формулы. При использовании формулы (13) ные формулы Я„, 8„„, Я„з дают точный результат, по крайней мере для всех постоянных, то сйраведлива формула й 3. Г>оиатие о методаз оптимизации. Кубатуриые формупы 267 для алучая и, =*из *аз л !О значение функции Г (х, у, г) ие.
обходимо вычислить в 1331 точках. С увеличением и число точек значительно возрастает, а так как погрешность метода определяется числом и, а не и', то для обеспечения заданной точности число и при. ходитая выбирать достаточно большим. Одним нз методов, в котором погрешность не зависит от размерности интеграла, является метод Монте — Карло. Предположим, что имеется >т> случайных, попарно незавиаимых точек В„..., Ви и>-мерного евклидова пространства, одинаково распре. деленных в области б с плотностью распределения р (х„, ..., х ). Тогда справедливо равенство (. ~р(х„...,х„)вахт...бх 1. то> Лли вычисления интеграла 1())=~...
~!(х„..„х )бхт ...бх (15) то> можно воепользоватьея следуюшим приемом> введем алучзйную величину у, ()), положив у,()) -1(В,)(р (В>). Точки В> попарно независимы, поэтому попарно независимыми будут и случайные величины у> (1), причем для математического ожидания и дисперсии у> ()) справедливы соотношения д((у>(>)) = ~..
1 ~~ ' ''' > р(х„...,х )вахт...дх ,> р (зт, ..., зм> то> ... ~ г'(х„..., х ) бхт ... дх„= / (1), ° -'- <о> 0(у>Я) = М (у> (7)) — 1)И (у>Я))" =Е, где Е=т'1~ '' ' '' 1 — 11(/))з. тр тат, ° , т / Положим, что елучайная величина Уи ф определена равенством 0и (>) - —,')', у> (й. > > Кпа 1И. Мнтняннннн1нк к на нвммананнн к каланам Учитывая. попа(мьукв иезавнанмоств велнннн уа 9т нахндим: макема тнческое. ожидннив! М=(им (у)):- — ' ™)' М(р, (у)у=) (ур г=.! и ДИСПЕРСИ1О1 Воспользовавшись неравенством Чебышева, получим, что для любого т), 0 ( т) < 1 вероятность выполнения неравенства )1 (Г) — 0к (()! ~ -= 1/ Е11))т' будет больше ! — т).
В втой оценке в качестве дисперкии Е можно брать выборочную дисперсию ЕжЕ, = — эт (у1(1) — Иь ()))т. о1 Ь ~а~ 1 .! Таким образом, вычисляя 1' (!) по формуле ( й = (!. (1) = —,' У', Ут (П Г 4 с вейннтносхью, большей или, равной ! — 11, имеем оценку ! ( (Д вЂ” У (~) ! =~'КЕ,РцМ. Основное затруднение в применении метода Монте — Карло представляет выборка достаточно длинных последоватеаьностей а~учайных точек В1. Обычно для этой цели иапольауютвя псевдослучайные числа'1, однако статистические свойства таких поеледовательноатей должны контролироваться.
Прн вычислении многомерных интегралов нужно аязлизировать и величину относительной погрешности, не допуская ее чрезмерного возрастания. " См., например: Гоаснко Д. И. Модаккроаанне н статнстнчаскна аннана псеадослучаанмх чисел на ЭВМ, М„1965. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 'РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 5 1. системы линейных АлГеБРАических г'РАвнвнйй 1 1.
Общие замечания. Рассмотрим систему и линейных уравнений а а независимыми переменными пп ай + аи хг +-.. + агг х„=- аь „+ н амх,+аггх, +... +аг„х„=аг, „+ ц а„, хг 4- а„г хг+ ... + а„„.х„а,г,+ 1, которую в матричной форме можно записать в виде Ах=К где А = (п11) — матрица размерности и 'к' п, х = '(х„..., х,)', й = = (а, „+г, ..., а„„+,)г. Здесь через Нт обозначена матрица, получающаяся транспоннрованием матрицы Н. Будем также считать, что матрица А — невырожденная, т.
е. де1 А ~= О При решении системы (1) применяют точные и итерационные методы, Точными методами называются такие методы, которые дают решение задачи после выполнения конечного числа арифметических опе. раций. Если коэффициенты и правые частитистемы (1) известны точно, а все вычисления яыполняготся без округлений, то решение также получается точное. Итзраг(ионными методами назв|ваются такие методы, которые дают решение задачк как предел последовательности приближений, вычисляемых некоторым единообразным црвцессом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
