Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 49
Текст из файла (страница 49)
+ гл! (аг + 1)! й 3. Численные методы реитенив дифференц. уравнений 277 Значения входящих сюда производных вычисляются из уравнения (!) последовательным дифференцированием: У' (х.) =1( ., У.). у" (х„)=т",(х у )+т'з(х у )ат(х уа) у (х„)=)м(хаи у„)+27" (х„, у„)5".8(х„, у„)+)8(х„, у„)Д (хаи у„) + +(~а(х„, у„)+ ~(хаи у„)78(х„, у„))~з(хаи у„), ... (12) Подставляя значения у' (х„), у" (х„), ..., определенные выражениями (12), в соотношение (11), можно вычислить значение у (х„+ й) у т.т. Однако такой расчет требует вычислений по формулам (12), сложность которых быстро возрастает с увеличением порядка производных.
Для сокращения вычислительной работы Рунге предложил искать значение у (х„ + й) в виде у(х„+й) ив у(х„)+18(,(й)+ 0(й'+'~, (13) где М,(й)=Райт(й)+Рейз(й)+ - +Р й (й) йт(й)=Ы(Хн Ун) йв(й)=Ч(Хи+88гй Уи+(!88 й (й)) ° -т йа (й) йт (хи + ста й Уи + ("ат йт (й)+ -' + йа. а-1 йа-1(й))т Р» Рв ". Р, ае -' и. 1)88 ..., р„, т — некоторые параметры. Формула (3) получается как частный случай формулы (13) при з 1, а формула (4) — при з = 2. Рассмотрим вопрос о выборе параметров Р„, а, р р Для простоты ограничимся случаем з = 3. Введем обозйачеиие ф(й) = у(х„ + й) †у (х„) — Р,й,(й) — р,й,(й) — р,й,(й). (14) Из выражения (13) следует, что ф(0) = тр'(0) = тра(0) = тр" (0) = 0.
Учитывая соотношения (12), из равенства (14) найдем: тр(0) = О, ф (О) = (1 — Рт — Рз — Рз),1т ф" (О) = (1 — 2Р, Ст, — 2Рв газ) '!и+ (1 — 2Р8 Рзт — 2Р8 (Рзт + Рзв)) Ят тра (О) =(1 — 3(р,с82+ рвай))78".+ 2(1 — 3(р,аз раз +р,а,рз,+ + Рз 888 рм)) т,з+ (1 — 3 (Рз р8 т + Рз (рзт + рзз) )) та» т + +(1 — бр.. ()~)(РЖ й З.
Численные медеям Ььемьеммл амффе!ьенн„уреьмения ПВ в-о. ПО 3 К=1,4 В=К/2 Х! = Х+,)е(Н/2.) У1 = У+ )е(В/2.) В =РХ д'(Х1, д'1) А (К) = В*Н 2(1)мм т'+(А(1)+2,еА(2)+2.е А(3)+А(4))/6. Х Х1 2(Ц РАМАТ(15Х,д Е=,' Р 8.5) Ъ'дт1ТЕ (3, 4) Н, Е ЬТОР ЕМЭ Р(ЛЧСТ10Ы РХ д' (Х1. д'11 РХ д'(Х1, д'1) = КЕТ() сдам ЕИ0 4. Метод Адамса. Другой способ определения частичных сумм ряда (11) без определения значений производных по формулам (12) был предложен Адамсом. Пусть известяо решение у (х) уравнения (1) в тачках х„хд —— х, + й, ..., х„= х, + лй: у (хь) = у„..., у (х„) = У,. Согласно разложению (11), запишем равенство Лд йь Ьь йь у(хл+й) =ул+Адй+ Аь — +Аь — +Аь — +Аь — +- д а * з! и ь в! где (19) А, =у!'д(х„), 1= 1, 2, Дифференпируя выражение (19) по й, получаем раве!детин У'(хл+й) = Ад+ Аьй+Аь — +Ад — +Аь — '+", (2О) 2 ж 4! Положив у' (х!) й = д!!, найдем из выражения (20): п,=А,й, 230 х.
численные методы .решение влтебр. и.дифференц, уравнений Ль Л" ла Ч„а = Аа Ь вЂ” А,Ьа+ Аа — — А,— + А — —..., 2 3! 4! Чл, = А, Ь вЂ” 2А, Ь' + 4А, — — 8А, — + 16А,: — ... 2 3! 4! Чл в Ат Ь ЗАв Ьа+ 9Ав 27Аь + 81Аь 2 3! 4! Эти выражения позволяют составить конечные разности! Ла Л' Ла Ьт!л а=А,Ь' — А,— +А,— — А,— +..., 2 3! М Ь т!л-а=-Ав — — 6Аь — + 14Аь— Ла Ль 2 3! 4! Ьв т)л 6А, — — 86А,— + ... Ль 1,а 3! 4! Отсюда находим значения коэффициентов ряда (1% л лиле равенств ! в ! л АвЬа=ЬЧ а+ — ЬаЧ. а+ — ЬаЧ, а+Аь —,т-ь 3 !1 АвЬ'=Ь'Ч.
ь+ Ь'Чл-а+ — 2 Аал'+- АьЬ'= Ь'т!л,+ — А,Ь'+ ... Подставляя найденные значения А„А„А„А, з соотношение (19), получаем У(хл + Ь) Ул + Чл +, ~~Чл-т+ Ь Чл-а + Ь Чл-в+ б в 3 ь 12 а + — А,Ь'+... 26! 720 Отбрасывая остаточный член, получаем расчетную формулу Ул+а= Ул+ Чл + — ЬЧ а+ — Ь'Чл а+ — Ь Ч, в: (21) 3 в 3 в 2 " 12 3 Формула (21) требует, чтобы до начала счета по ней были известны значения у„у„у„у,. Значения у„у„у, можно определить по формуле Рунге — Кутта (18), имеющей тот же порядок точности, что и формула (21). Вычисление разностей, входящих в формулу (21), требует вычисления лишь одной серии значений 7' (х, у), что сокращает число операций, необходимых для решения уравнения (1).
Предположим, что значения У„У„У, вычислены отдельно по методу Рунге — Кутга и од. повременно вычислены числа 1 (хе~ Ув) Ь ~ 1 (хат Уа) Ьт 1 (ха~ Уа) " й 3. цисяенные методы реыеиия дифференц. уравнений 28! и г <1) - у„ г <2) = у„ г (3) - у„ г <4) = у„ /< = «, + + 3 Ь, 4 <1) Ь/ (хо уо) /( (2) Ь / (хм ут) А (3) = й / (хо, уо), Н =А. Тогда ФОРТРАН-программа решения уравнения (!) по методу Адамса может быть записана в таком виде; О!МЕЮ1ОХ 2<Ы), А (4) 1 РОКМАТ (5 Р 9.5) КЕА0 (1, 1)((2(1), 1яи1, 4), (А(З), 3 1, 3)), Х, Н Х1 Х 'т'1 = У (4) 0О 2 1 5 Ы А(4)=РХт/(Х1, У1)еН В А (4) — А (3) С=А(4) — 2еА (3)+А (2) 0 = А (4) — ЗеЛ (3) + ЗеА (2) — А (1) 2(1) Е(1 — 1)+А (4) +В/2. + <ЗеС)/12.
-1-(Зе0)/8. 00 3 3=1, 3 А (д) = А (3+ 1) Х! = Х1+Н 71= Х(1) РОКМАТ <15Х.' Е= т,Р 9.6) %К!ТЕ (3, 4! Х ЗТОР ЕИ0 Р()МСТ(ОИ РХУ (Х1, УИ РХ т' (Х1, 71) ии ... КЕТ<)КН ЕМ0 Приведенные выше методы построения формул численного интегрирования одного дифференциального уравнения без всяких изменений переносятся на случай зистемы уравнений 282 х. Чнсееннье михеям решении емебр. н Лнфференц. уравнений Формулы для вычисления производных ууч в этом случае аолучаются в яиде у' =Л. у)= — + ,~' — Ь дН " д~, дк , , ду, (23) й 4. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ СЕТОК Конечно-разностные аппроксимации производных полезны и при решении уравнений в частных производных.
Ограничиваясь, для простоты, случаем двух переменных, рассмотрим уравнение дд и , д' и ди . ди ди Ви=А — + — +С вЂ” +Π— + — +Ги=б, (1) дх' дк ду дух дх ду коэффициенты которого А, ..., У н свободный член б являются ограниченными функциями х и у в области Я. Ставится задача: найти функцию и, удовлетворяющую в области Ч уравнению (1), а на границе Г области 1',1 (или на части этой границы) условиям Ни ~ а — + Ь вЂ” + си = д.
ди ди дх ду (2) Для численного решения этой задачи с помощью прямых х~ — — й, уд =' йт; 1, й = О, 1, ... построим прямоугольную сетку Вд, покрывающую область 9. Функцию пд (х, у), определенную в узлах Мгд —— = (хн уд) сетки Зд, называют сеточной функцией, полагая о д ——- = од (х„уд). Задача численного решения уравнения (1) заключается в том, чтобы определить такую сеточную функцию ид, что ее отклонение от решения и уравнения (1) во всех узлах М,д, принадлежащих области Я, не превосходит заданной погрешности. Чаще всего для решения этой задачи заменяют производные в операторе Ьи разностны- Расчетные формулы вида (18) или (21) применяются для каждого из уравнений системы (22) в отдельности.
ФОРТРАН-программы решения системы уравнений (22) отличаются от приведенных выше программ решения уравнения (1) лишь 'введением внешнего цикла для перехода от одного уравнения системы (22) к другому. й 4. Г!оиитии о митрии сеток 2ЗЗ ми отношенвямн и!а формулаьп ди ит+тм — иги ди и!,дч.! — и!д дх О ' да т дои и!+т,тт+! — и!+!.и ! — ит-ьх+!+ит-ьи-! дада ит+„и — 2итх+к! ьи ит,ь+! 2ити-! ит,ь-! 4!ст йо дрт тт Проделав такие операции для всех узлов М,ь сетки Б„из областп Я, получим систему разностных уравнений ! ! (-кити = .т; ~ч.", ро+ль+! птч-ь о+! =Йть (4) /= — ! ! — ! Аналогично из граничных условий (2) можно получать уравнения ! ! Оиити= ~ч'„~ г~о!,~~,и~~!м~~-ды, (5) того для узлов Мгь сетки 5„, расположенных вблизи нлн на границе Г области (г.
Совокупность уравненнй (4) и (5) называют разностлой схемой, ее решение и„— сеточным решением уравнения (1), а метод определения чнсленного решения и„уравнения (1), как решение системы уравнений (4) и (5), — методом сеток. Из-за болыпого числа неизвестных, с которыми приходится иметь дело в методе сеток, анализ полной погрешностн имеет еще большее значение, чем для обыкновенных дифференциальных уравнений. Определяющими в нем являются понятия аппроксимации и устойчнвости.
Говорят, что разностний оператор А„п является аппроксимацией днфференциального оператора !'.и порядка р по 1! н д по т, если выполняются соотношения 11- (х!,уь) — Е п 1=ОЯ+ "), р, т1)1. (б) Ревностная схема называется устойчивой, если система уравнений (4) и (5) имеет единственное решение и существуют такие положительные чнсла с, н ом не зависящие от (г, т, ст н д, что '2 и!, ~((с,'26„1~ +с,,й и„(1. (7) Известно, что если разностная схема является аппрокснмацкей н устойчива, то ярк й н т, стремящихся к нулю„сеточное решение и стремится к искомому решению и уравнения (1). Если же разностная схема неустойчива, то вычкслнтельная погрешность может стать слишком большов н применять такую схему нельзя. Анализ вопросов, связанных с прнменением метода сеток для решения конкретных уравнеинй, проведем для волнового уравнения, прн решении которого в достаточной мере проявляются присущие методу сеток особенности.
Возьмем уравненне г и = — — а' — = г(х, !) дти т дои (8) ды дхт 2З( Х. Численные методы решения елтебр. н днфферени„уреяненна и будем искать его решение в области (х: 0 ( х ч' 1, 0 ( г ( Т, прн условиях раз- (12) и,е — — фть иел = фпы и л = фы Нам известны и(,, и иго при ( = О, 1, ..., и(. Поэтому, полагая й = О, из первого соотношения (!3) находим им, ( = 1, ..., т — 1, затем, полагая й = 1, находим и(, и т. д., пока не определим полностью сеточную функцию и„. Разностные схемы, в которых подобно схеме (13); можно определить все значения сеточного решения, последовательно подставляя в разностные уравнения уже известные значения сеточного решения, называются явными, в противном случае — неявными схемами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
