Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ограничиваясь, для простоты, случаем однородного уравнения 1( (х, г) = О) и однородных краевых условий (ф„(г) =фт (г) = 01, исследуем устойчивость разностной схемы (13). Для этого, следуя методу Фурье, ищем частное решение игл = Х!Тл. Подставляя его в пер- и (х, 0) = ф, (х), — ' = ф,(х) (начальные условия), (9) ди (х,о) д( и (О, () = т1, (г), и(1,!) = фи(т) (краевые условия).
(10) Введем в области х) сетку Зл: х! =й, т О, ... т; гл = йт, й = О, ... ..., г. Воспользовавшись формулами (3), найдем разностные уравнения иьле,— 2и!л+иьл т я и!+ьл — 2и!я+ ну т,л * — а, = Ъ,. (11) 'л' Нетрудно показать, что если и (х, г) имеет непрерывные производные до четвертого порядка включительно, то сеточное уравнение (1Ц является аппроксимацией уравнения (8) порядка О ()(Я+те). Краевые условия (10) н первое из начальных условий (9) на сетке Зл выполняются точно. Второе начальное условие (9) аппроксимируется с помощью фиктивного слоя ! = — т.
Имеем и(х,о) — и(х,— т) ди(х,о) ! д'и(х,о) ) т т д( 2 дм — + (т') Отсюда, учитывая уравнение (8) и первое из условий (9), найдем постное уравнение фм — иь, + 1 (ая(тт,т+т — 2фтл+фт т„т) + т ) т 2 — т) ' ' то %т(т Ьт которое аппроксимирует второе из начальных условий с погрешностью порядка 0 (т'+ й'). Обозначим о = алттйт.
Тогда разностную схему для решения уравнения (8) можно записать в виде и! л+,— — ои( т л+2(1 — о)и(л+ои,+т,л — и,д т+т=(тл, а а тт и,, — — !рт.. т -1- (1 — о) <рм + — трт (+т — т <ум + — ! (е, (13) й 4. Понятие о методе сетон 288 (15) (! 6) где вое из уравнений (13) и разделяя переменные, получим Т»+! 2Т»-1-Т» ! Хт+, — 2Х, + Х! (14) где )! — параметр разделения. Уравнение (14) распадается на два уравнения Х„,— (2+а)Х,+Х,,=О, Х,=Х„-О, Т»+,— (2+Хо) Т»+Т», О.
Если искать решение задачи (15) в виде Х! = з)п —, то имеем лл л» л! зтп — (2соз- — 2 — л) = О, и, следовательно, задача (15) имеет нетривиальное решение, если Х=2(соз — — 1) = — 4яп —, 1= !,...,ти — 1. (17) л! л! л 2»! Решение уравнения (16) имеет вид Т» = стр» + стр»„где р» и и» являются корнями характеристического уравйения р' — 2(! — 2ояп* — ~ р-1-1 = О. л! ! (18) 2тл Пусть о л ' 1, тогда уравнение (18) имеет два комплексно сопряжен- ' ных корня р, и р,.
Так как р!)»т = 1, то получаем р„,=соз»т, н-1з!пот! ° (19) яп — ' =) оз!ив (20) 2 2»! Учитывая, что р, » = соз йот! ~ ! яп Ает„видим, что Т» имеет внд Т„= а, соз Ьо, + Ь, з! и Ьо, и общее решение уравнения (!3) определяется равенством нт-! 2 ли и! = ~~Р ~ а,созЬо,+Ьтяп Ьо!~ яп— (21) ! ! Для определения коэффициентов а, и Ь, воспользуемся начальными условиями (9). При этом получаем уравнения лп о! .
лн ~т~ а, яп — =!рттт Ь! ! з! п тр»! (22) ! ! м ! ! т т Числа а, и Ь, находим отсюда как коэффициенты дискретного пре- образования Фурье (см. ч. 1, гл. !0) функций тр, (х) и !р» (х). Записав для соотношений (22) равенства Парсеваля, получим тн-! 2 т — ! т!-! ! 2» 2 м-! т ~ т ~ Ьт~ е! ~ ~н~~т» (23) ! ! ! ! таа и. Чиавеннв!е мееелм рае!енин алгебр. и диффереиц. уравнений Из соотношений (2О) иолучим цепочку неравенств — ~ з! и — = )г'оз(ц —,':ь — )гвг — = — =ах! Ъ ат, в!1, гв! — Ьв 2 — !гв йт! 2 2 2гн я 2нг нга (24) учитыва~ иочоруур, получим. ив равенства (2Э) оценку т-1 и-1 1; Ь|<, ~ ф,).
20вдТ Определим норму Щв сеточной функции я (л) равенством (!а(!.= —.' ~; а' Возводя обе части равенства (21) в квадрат и суммируя по 1, получим из равенства Парсеваля соотношения т — 1 «г-1 вв-1 ~~)' иьт= ~ 'у' (а!созйо!+Ь!з!пйе!!)в( — '~~ (а!+Ь!), ! 1 М-1 !и! пз которых, воспользовавшись (23) и (24), получаем оценку !! и (х, Ат) Д ~ (!! ф, Ц+ — !) !рв Я. (2б) Оценка (25) и доказьвает устойчивость разностной схемы (!3). Рассмотрим теперь случай а ) 1, В атом случае при болывих т и 1, достаточно близких к т, уравнение (18) имеет действительные н различные корни р, и р„а так как 11!рв = 1, то одно из чисел р„ р„например ! и, ! ~ 1.
Тогда частное решение и!в = р", ып — "' сильно возрастает с возрастанием Ь и, следовательно, сеточное решь ние иь неограниченно возрастает прн т, стремящемся к нулю, что сви. детельствует о неустойчивости разностной схемы (!3) при о - 1. Отметим в заключение, что более подробно с вопросами построения алгоритмов численного анализа и их исследованием можно познакомиться в специальных курсах по методам вычислений (см.,например, Н. Н.
К а л и т к и н. Численные методы. М., Ю76). — 279, метод — 109, теорема ГРИН (Огееп О.) — 94, мера — 266, метод ИМЕННОг( УКгьЗА)ЕЛЬ АДАМС (Адзпм У. С.) АРЦЕЛА (Агзе1в С.) ВАНАХ (1, (Ввпесй $.) бЕРНУЛЛИ И. (Вегпоп)В 1.) БЕРНУЛЛИ Я. (ВегпоЫЯ У.) БЕРНШТЕЙН С, Н. БЕССЕЛЬ (Веете! Р. М,) БИО (В!о1 Л В.) БОГОЛЮБОВ Н. Н. бОЛЬЦАНО (Во!взяв В.) БРОУЕР (Вгопмег Ь.
Е. Л) БУНЯКОВСКИЙ В. Я. ВАЛЛŠ— ПУССЕН (де !з %(з!!е Ро-— пзяп С)ь У) ВАНДЕРМОНД (Чзпдегшопде А. Г.)— ВЕЙЕРШТРАСС (Же!егзегазз С.) ГАЛЕРКИН Б Г, ГАМИЛЬТОН (Наго! Иоп %. ГАУСС (Оапек О. Р.) ГЕЛЬДЕР (Но!дег Е.) ГИЛЬБЕРТ (Н!1Ьег! Р.) ДЖЕКСОН (дасйзоп У, Е.) ДИРИХЛЕ (О!г!сЫе1 Р. О.) ДЮБУА-РАЙМОНД Р. (Вп Во!з шопд Р.) ЖОРДАН (уогйзп С.) ЗЕЙДЕЛЪ (Зе!де! 1..) 102; — 113, прострзнство! 231, теорема Б. — Штейнгзуза !51, задаче о дракистохроне 151, задача о брззистозроне 216! — 224, теорема !42, нерзвенство !7, закон Био †Сапе 197 !06, теорема Б, — Вейерштрассв !21, теореме 85, неравенство Коши-б.
216; — 220, теорема; 223, альтер. нане 232, определитель 106, теореме Больцано — В.! 216, теореме 196; — 201, метод 38, оператор 28, формула Остроградского — Г.! 33, формула Остроградского — Г. в векторной форме; 252, формулы! 260, метод 80, неравенство 95, 132, пространство! !42, теорема Г. — Шмидта 21, формула; 60, формульй 70, функ- ция; 195, формула 216; — 224, теорема 66, задаче 232, утверждение 216 КРЫЛОВ Н.
М. КУТТ (КцНа 97,) 216 216 86, неравенство 288 Именной указатель ЗОЛОТАРЕВ Е. И. КАНТОРОВИЧ Л. В. КОРКИН А. Н. КОШИ (Сацсйу А,) ЛАГРАНЖ (Ьа3гапае 3 Ь.) ЛАМЭ (Ьагпе О.) ЛАПЛАС (1.ар!асе Р. 3,) ЛЕБЕГ (ЬеЬезйце Н.) ЛИУВИЛЛЬ (ЫоцчП!е Л,! ЛОПИТАЛЬ (бе Ь'Нозр!!а! О. МАРКОВ А. А. МАРКОВ В. А. МИНКОВСКИЙ Х. (М!п)гомзЫ НАТАНСОН И. П. НЕЙМАН (топ Хецпзап 3.) НИКОЛЬСКИЙ С. М. НЬЮТОН (Нем!оп Л) ОСТРОГРАЛСКИЙ М.
В. ПУАССОН (Ро!Моп 3. О.) РЕМЕЗ Е. Я, РИМАН (Шегпапп В.) РИТЦ ()1!(х %.) РОЛЛЬ (йо!!е М.) РУНГЕ (Кцпйе О.) САВАР (Затаг1 Р.) СИМПСОН ($!гпрзоп ТЬ.) СТЕЧКИН С. Б. 196; — 205, метод 216 161, задача; 97, критерий! 85, нера- венство К. — Буняковского; 98, последовательносты 274, задача', 275, формулы Эйлера — К, 197 276, метод Рунге — К. !70, множители; 232, ннтерполв' ционный полипом 10, коэффнцненты 59, оператор; 66, уравнение 84, интеграл 81, задача Штурма — Л. !51, задача о брахнстохроне 224 66, задача; 129, ряд 247, метод !51, задача о брахнстохроне; 234, интерполяционные многочлены; 271,. 272, метод 28, формула О. — Гаусса; ЗЗ, фор- мула О. — Гаусса в векторной фор- ме; !93, уравнение 74, интеграл; 66, уравненне; 168, уравнение Эйлера — Пл 193, урав- нение 226, метод 84, интеграл !96; 197, метод 242, теорема 276, метод Р.
— Кутта' 17, закон Бно — С. 246, 256, формула 240 Г)РЕДМИ44ЫЙ!УК)чЗАТЕЛЬ Задача Неймана 67, 68, 70, 71 — оптимизационная 252 — теории приближения 816 Замкнутая криваи 5 — поверхность 28 Замыкание множества 98 Изометрические метрические прост. ранства '10! Изопериметрическая задана 151, 175 Интеграл Пуассона 74 Интегральное представление функции 62, 63 Интенсивность аенторной трубки 54 Интерполяционные кввяратурные формулы 245 Интерпопяцнониый мпогочпен -Лаг.
ранжа 233 — — Ньютона 235, 236 — — Эрмита 237 — полипом 229 — — Лагранжа 245 Итерационный метод 259, 264 Итерированпые операторы Фредголь. ма 128, 129 — ядра Фредгольма 128, 129 Квадратурная формула 245, 247, 252 Компакт 107 Компактность пространства 112 Компактные множества !07 Конечная разность 236 Контур 5 Координатная линия 8 — поверхность 8 Координатное гг)льбертово нространство 96 Коорлинатные оси 9 Координатный базис 9 Коэффициенты Лама 1О Краевая задача 67, !94, 195 Криволинейная система коорлпнат 8 — — — ортогональная 9 Криволинейный ннтеграл второго ро. да 19 Кубатурная формула 254 Кубический сплайн 240 Кусочно-гладкая кривая 5 — поверхность 7 '290 Предметный указатель Абелева группа 113 Абсолютная погрешность 212 Аддитпвнв(й оператор 1Чб, 196 Аксиомы.петрики 69 Альтернанс валле-пуссеновскг19 223 — чей ышваакий,223 Аффинное преобразование:прпохран-, ства 92 йлекс прпстранптпа 91 — †.ортоюжальиый Э! — — ортонормнровяииый 9! Бесконечпомерппе,просхракство ~1~! 5 Брахистохрона 151 Вариация функционала г155, 257, 158, 186 Векторная (силовая) линия И, !7 — трубка '54 Векторное пепе !1 Вектор-функция скалярного лргумен-' та 4 Высгприый поченцпвп.полв 67 Викторы г(вивмппты тилвбертова про.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
