Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Ради определен- () ности предположим, что обе зтн производные положительны на отрезке (а, Ь) (рнс. 45). Возьмем за нулевое приближение и -искомому корню а число х, = Ь и обвзначим через В, точку с координатами (хм ! (х,)), Проведем через точку В, касательную к графику кк к, () к функции и возьмем за первое прибл ижен ие искомого корня абсциссу х, = х, — ! (х,))!' (х,) точки пересечения этой касательной с осью Ох (рис. 45).
Проведем далее касательную и графику функции через точку В, (х„!(хг)) и возыием за второе приближение абсциссу х, точки пересечения этой касательной с осью Ох. Продолжая этот процесс, построим последовательность х +,— — х — — а=О 1 ! ("и) и и, з ю ю -.г (5) приближенных значений искомого корня. Покажем, что при сделанных выше предположениях последовательность (5) имеет предел. ч( Достаточно показать, что последовательность (х„) монотонно убывает и ограничена снизу числом с. Пусть хп ) с.
Вычитая из равенствз (5) равенство с = с — ! (с))!' (хп), получаем равенства х,+з — с=х„— с — —,— =(х„г) (1 ) ! (кп))-п)(Ю I )~ (з) ! (кп) !' (Хп) с(4~х„, (6) 272 Х. Чнсленнме метели решения аляебр. и дифференц. уравнений а так как, по предположению, )' (х) ) О, 7" (х) ) 0 для всех х Е [а, Ы, то О ( 7' ($)/7' (х„) ( 1. Это показывает, что О(х„+я — с( х„— с, т. е. с(х„+,(х„. (7) Тзк как при л О выполняется соотношение х, Ь ) с, то по методу полной индукции неравенства (7) справедливы для всех и = О, 1, ... Неравенства (7) показывают, что последовательность (х„) монотонно убывает и ограничена снизу числом с. Поэтому последовательность сходится к некоторому числу а, удовлетворяющему условию Ь а ) а. Но так как функция 7'(х) непрерывна на [а, Ы, то, переходя к пределу в равенстве (5), получаем равенство а =с( — 7 (а)77' (Н), что равносильно равенству 7 (с() = О.
По предположению, корень с изолирован на [а, Ь!, поэтому с д, что и доказывает сходимость последователь. ности (х„) к корню с, )ь Оценим порядок сходимости. Положим, что всюду на отрезке 1а, Ь) справедливы неравенства [7' (х) 1 ~ т ) О,! 7'" (х) 1( Лl, а отрезок [а, Ь] выбран столь малым, что справедливо неравенство д = — (Ь вЂ” а) (1. Ф 2ля Из соотношения (6) получаем соотношения 1(с) — /(я ) — Г (я«) ( — яы 1" й)'(с — «Р х„+, с— 1' (я«7 21' (я«7 а следовательно, [х«а — сК вЂ” !х« — с! М 26$ Последовательно применяя эту оценку для и = О, 1, ..., получаем оценку [х„+,— с[(~ — ) [хв — с[я«(( ~)' ' Х х (Ь вЂ” а) = с'"- ' (Ь вЂ” а), (8) показывающую очень быструю сходимость последовательности (х„) к с.
3. Метод Ньютона решения систем уравнений. Запишем уравнение (1) в виде системы уравнений 1я(хм -и хм) =О~ ~ ° ° ° ° ° ° ° ° (9) 7м(х„..., х ) 0 н допустим, что в некоторой области 6 Е )с система (9) имеет единственное решение (с„с„..., с„). Предположим, что все функции $ 2. Рен)ение нелинейныл уравнений ага 1) (хм ..., х ) по крайней мере дважды дифференцнруемы л оолзстн ы< причем в втой области справедливо неравенство д(< д)< дх< дхы Ф О.
()(1,...„1 ) (10) () <х1 хы) д)ь, д(ы дх< дх„, Пусть вектор (х<л), ..., «'„л') принадлежит 6 и есть л-е приближение к решению (с„..., см). Тогда можно записать равенства а д)< (х)л) „<л)) 0=<<(см ..., с )=(<(х<)л), ..., х<а))+ '~'„)( а ) ха Х(са — ха<а))+ — Р ~ ' '"' (са — х1")) (с< — «<<а))) .
(11) -) (д'1(Ь, .... Ь,) 2 <и< ~ дх), дх< а,< о Так как последняя сумма имеет порядок О (Ц о — х<") Ц '), то если норма разности Ц с — х<а) Ц достаточно мала, ее можно отброаить. Получающуюся при этом из (11) систему уравнений можно применить для определения следующего приближения: д7< (х«а), ..., х<„",)) (хил+ <) ха<а)) — 1 (хил) х<а)) а'-1 (=1, 2, ..., и), (12) В силу условия (10) система (12) имеет единственное решение (Х<л+) ) х'а+) ') Таким образом, можно построить последовательность векторов (х< ь) <в)) (х(а) х< а)) которая, если норма Цх<ь) — с Ц достаточно мала, будет сходиться к искомому решению (сы ..., с„). Такой итерационный процесс называют методом Ньютона.
Порядок сходимости, устанавливаемый оценкой (8), сохраняется при применении метода Ньютона для решения систем уравнений. Поэтому метод Ньютона находит широкое применение при решении систем уравнений вида (9) на ЭВМ, несмотря на усложнения, вызванные необходимостью вычислять значения частных производных и решать систему линейных уравнений (12). ЕЗЭ К.
Чипаеиныа,аапааы ршнаннп еппебр. н дифференц, урепнения й 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫК УРАВНЕНИЙ 1. Метод Эйлера решеная задана Коши. Дифференциальные урав- нения находят широноенримененла в прикладных задачах. Еали рав- аматриваемая задача сводится к решению снсхеюы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с лостоянными коэффициен- тами, кзк, например, бальшинство задач в теории электричеаких це- пей, то ее решение может быть натудено в явном виде.
Если же получа- ющиеся дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициен* тм мам являются нелинейными, туо юн 1рвшекне, иээк арвнанв, юрихо- дится исзеачь цшсленмо. Использование =1ВМ знаннпеэиню Фбяегчвет решение дифференциальных уравнений, позволяет решать такие за- дачи, к которым при (тучном счете даже не приступали. Рассмотрим дифференциальное уравнение у' = 1 (х, у) (1) э предположении, что.функция .1.~~ у) днфференцируема .в лекааарой окрестности точки (х„уп). Задача 4~вши для дифференциального урав- нения (!) формулируется следующим образом: найти решение у (х) уравнения (1), удовлетворяющее условию у (х,) = у,.
Предполсоким, что известно решение у (х) уравнения (1) в точке х„ и требуется найти у,(хп + Ъ). Иэ очевидного равенства и +и у (хе + й) = у (хп) + ) у' (х)дх, п учитывая уравнение (1), получаем равенство пи+13 у(хп+й)= у(х„)+ ( Г(х, у(х)) дх.' (2) к, По формуле Тейлора, примененной к выражению (2), нтолучим равен- ство у(х„+ й) = у(х„)+Ъ| (хпн у(хп))+ О(лп). Отбрасывая в этою выражении члены порядка О (Ип) и полагая Хп+, — — Хп + Л> Уп нп У (Хп,) Уп+, — — У (Хп+Т), ПОЛУЧаЕМ ФОРМУЛУ Эйлера Уп+1 =Уп+Ч(Хп, Уп)1 я=0.
(3) Погрешность фсумулы.(З) будет иметь порядок О '(лп). Для получения более точной расчетной формулы, чем формула (3), вычислим по формуле трапеций.(см. '$ 2 гл. 9) стоящий в правой части равенства,(2) .интеграл; имеем . У(хп+й)=у(хп)+ — (Г(хп, у(хп"))+~(х„н,, у(хп+,)). й 3~ Чине»нные и»пел«е вен«»пепе лифферен«з танин«емиа Ва Пн ((юр(зужа Тей(дорн, енрзнедланп равенство ) фе„+„у (х„+„$ = 1 (х~~м У» + Й1 (хп, уп)) + О (йк).
Отбрас(иная в прк(дм(пущем выражении члены порядка О (йп) и полагая у*+( = у + Й1 (х, уп)« получаем расчетные (уормулы г у'-г- =у +А1( уь)~ ,(4) Ь. у. 1=у.+ —,(1( ., У.1+1(х.+. У(:ег)у, погрешность которых имеет величину порядка О (йей Формулы Г4)' называются Формулами Зйлерп — Кои(а. 2, Анализ полной погрешности. Пусть у (х) есть истинное решение задачи Каши для уравнения (1), Положим, что т(»=О, т(„=у(х„,) — уп, лп»1, 2, и перейдем от уравнения (2) к. интегральному уравнению (2) «+и. у(х„+й)=у(хп)+ ( 1(х, у(х))йх.
Запншем равенство (3) в виде «п+ 1 Уп+«=Уп+ ) 1(х». Уп)ох « и вычтем его из предыдушего равенства. Учитывая (о), получаем равенство «п+» + ~ ~ дПкп, Упь + ~'д1(к„., 'У») + "п «-'-'пп-~-«и„«п)и — .~(и «п~в'>, ду Отбрасывая члены перядкв 6' (6'д нт«лучаем разнеетиое урпннение 1+ Н д) 1щ' у ( ) Ъ+ И 1 д4( Ь у 1 + д1( и, у»ИХ „п)1 -'- =( (6) Предположим, что решение уравнения (1) нужно найти на промежутке 1хгп х, + Т).
Взедезг обовнвчанж.171И = Ю м дннуеяим„что при всех и = О, 1, ..., й( выполняются неравенства < д™' " > <д ! дг( "' Уп> + д((' ' " ь 1'(х )~ <с д '! к д у хп, у„~ с. 272 Х. Численные методы ренгенил алгвбр. и дифференц. уравнения Будем считать также, что 1 + Ьа О, (Ь! Ь < 1. Следовательно, справедливы неравенства дг(лл, ал! ~ 1 1 ЬЬ дл применяя которые к равенству (6), получаем неравенство !г!л+ )~(1+ЬЬ)!7(л(+ —,ейа, Чо=О (7) Пусть р„есть решение разностного уравнения бл+! — (1+ЬЬ) !)„+ — СЬа, бь = О. 1 2 (8) Сравнивая выражения (7) н (8) прн л = О, 1, ..., 87, легко убеждаемся, что )г(„!(8„, и=0„1, ..., Ь7. (9) Решение б„уравнения (8) может быть записано в виде Рл= — — И! +ЬЬ)" — 1) прн Ь~ О, 1 ла 2 Ь Р„= — сЬ'л прн Ь=О.
! Учитывая неравенство Ь ( Т!г), отсюда получаем, нто при всех л 1, ..., У справедливы неравенства !„„1~ '" (егь 1) прч Ь ьО !з,„!( '"" при Ь=О. 2 (10) Неравенства (10) показывают, что полная погрешность прн интегрировании уравнения (1) методом Эйлера является величиной порядка О (Ь). 3. Методы Рунге — Кутта. Допустим, что функция ) (х, у) имеет непрерывные частные производные до т-го порядка включительно, тогда решение у (х) задачи Коши для уравнения (1) будет обладать непрерывными производными до (и+ 1)-го порядка включительно и если значение у (х) при х х„известно, у (х„) = у„, то справедливо равенство у (х„+ Ь) = у (х„) + у'- (х„) Ь+ — у" (х„) Ь' + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
