Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г. - Математический анализ (специальные разделы) (1081344), страница 47
Текст из файла (страница 47)
%В!ТЕ (3,8) Х ВТОР ЕНО, 9 зс. тма (16) хбб Х. Численные методы ре!пения алгебр. и диффереи!ь уравнений В этой программе в качестве начального приближения берем вектор свободных членов Ь', критерием окончания процесса служит условие гпах>х!'"+>> — х! >~(е, где е — заданная точность.
Заметим, что в реальном процессе вместо системы (13) решается система х = (С + ЬС) х+ Ь'+ АЬе, где С и Ь' — точные значения исходных матриц, а ЛС и ЛЬе — ошибки округления. Кроме того, на каждом шаге итерационного процесса производится округление приближения х!ж> на величину Лх!м> ()>Ах!">1,СЛ), Если 1С+ ЛС~„(а,(1 и х, — пРедел построенной с учетом таких округлений последовательности векторов х!"'>, то нетрудно вывести оценку 1)хе — хг!) - — ()~ЛС~~ +)~АЬе1( ((хе~~ +Л), (17) т определяющую точность, с которой система (13) может быть решена методом простой итерации. 3 а м е ч а н и е.
Видоизменением метода простой итерации является так вазываемый невод Зейделл. Он состоит в том. что найденное приближение для компоненты х. используется для отыскания следующей компоненты х!и+ >>. ! !+! Вычисления ведутся по формуле ! и х<+( >>= ~ч!', с>+>,>х'"+>>+ ~ч', с>+>, >х>!'">+Ь>+1, 1= О, ..., и — 1.
! ! 1 >+! (18) Если 1С>1 4а с 1, то метод Зейделя сходится несколько быстрее метода простой итерации. В общем случае области сходимостн метода Зейделя и метода простой итерации перекрываются частично, т. е. можно указать такие матрицы С, что метод Зейделя будет сходиться, а метод простой итерации — расходиться, и, наоборот, метод Зейделя будет расходиться, а метод простой итерации — сходиться. Доказательство этих утверждений мы приводить ве будем. Программа решения системы линейных уравнений (13) методом Зейделя отличается от про.
граммы метода простой итерации лишь тем, что вычисленное значение х)м+>> можно срезу посылать в ячейку памяти, где хранилась компонента х>м>, 5. Собственные числа и собственные векторы симметричных мат-' риц. Алгебраическая проблема собственных значений состоит в определении тех значений > (собственных чисел), при которых система и однородных лниеьных уравнений с и неизвестными Ах=йх, А=(аы) (19) имеет нетрйвйальное решение х (собственный вектор матрицы). К задаче отыскания собственных чисел и собственных векторов матрицы приходится прибегать при численном решении многих прикладных 5 1.
Системы нинейньп алгебраическнк уравнений хат задач, например задач, приводящих к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, при решении однородных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, при исследовании линейных преобразований и т. д. Для того чтобы система (19) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство !(е1 (А — И) = = О.
Раскрывая определитель по степеням Х, получаем уравнение )Р+р,). — +...+р„,й+р„=О. (20) Уравнение (20) называется характеристическим уравнением матрицы А, а его корни — собстееннылш числами матрицы А. Заметим, что при больших значениях и коэффициенты р! уравнения (20) весьма чувствительны к малым изменениям элеллеитов аы матрицы А, поэтому определение собственных чисел матрицы А непосредственно из уравнения (20) производят лишь тогда, когда а невелико.
Ограничиваясь симметричными матрицами, рассмотрим один из методов, позволяющих определять собственные числа и собственные векторы матрицы А без решения характеристического уравнения. Допустим, что матрица А — симметричная (Аг = А). В этом случае оператор А является самосопряженным оператором, отображающим лмерное евклидово пространство Е„в Е„. Поэтому для оператора А справедливы все результаты гл.
Ч. Будем считать, что матрица А имеет различные собственные числа )ь„)ь„..., Х„, и пусть и„а„...,м„— соответствующие им собственные векторы. Тогда все собственные числа матрицы А действительны, а собственные векторы ортогональны между собой (см. п.
3, 4 й 2 гл. Ч). Будем считать, что Х, ) Хд ) ... ) Ь ) О, а векторы и„и„..., и„нормированы, т. е. (а1, а!) = 1. По определению, имеем равенства Апд — — адил, й=1, ..., а. (21) л г л Адили Ал-! ~ ч', ад Апд~ =Ад-! ~ ~ ад)дад д-! / л л =Ад — ' ~ ч,', ад Ц ад ~ =.;. =- ~ч~ ад цад, д=! д-! Ада= ~ адХлдид. (22) д ! Пусть м есть произвольный вектор. Тогда его можно единственным образом представить в виде и =а!а! + авиа + ... + а„а„, где а„а„..„а„— некоторые, вообще говоря неизвестные, постоянные. Учитывая равенство (21), получим после р-кратного применения оператора А соотношения 268 Х. Численные методы решения елтебр. и дифференш уравнений Отсюда, учитывая ортонормированность системы векторов и„и, ..., ал и симметричность матрицы А, получаем равенство л (ит Ар Ар а) ~я~~~ аг Хявр 2 (23) где (х, у) — скалярное произведение векторов х и у. Следовательно, пои а, чь О можно записать, что л ~~~~ аях~~дя Аяи )/(дтАр, Ар и) ур л 1ур ~ а1 )твр 2=! а,лр(ит+О [( — ') ~) =а,+О [( — ')'1.
а,)ир (1+0 [( — ') ~) Таким образом, при достаточно больших значениях р имеем выраже. ние для собственного вектора: Аяи а1 = (24) )~(„т АР для определения)ттсоставим отношение (итАр+', Ар+1и)/(атАр, Ара). Согласно формуле (23), имеем (ит ля+1 АР+1 д) 1I ая 1 22+ 2+ арХ2р+2+ +ая 22р+2 (итАр Ар и) Уа~~ вял+а' Цр+...
+а'„)тяр ' $Г(дт Ар+1, Ар+1 д) р( А,А ) (25) Выполнение равенства (25) с заданной точностью служит критерием окончания итерационного процесса. Если теперь вместо вектора и взять вектор а1'1 = а — (и, а,)ит —— аяи, + авив + ... + а„а„, ортогональный к вектору и, то повто- Позтому при достаточно больших значениях р имеет приближенное равенство й Ь Системы линейных алгебраических траананий збэ Р(МЕМ5101Ч А(М, Ж, ~3(Х), Ч(Х), %Ж Х), Й(Ж РОЯМАТ (16 Р4.0/4Р4.0) ЯЕАР А, О РО 3 [=1, М Р=1. К (1) = О.
РО 12 1. 1, Х %(1, 1.) =()(1.) РО 5 2=1,М В=О. РО 6 Е 1,М В =В+А(,), 1.)е%(1, 1.) Ч(Л)=В С=О. РО 7 1.=1, Х 1Ч(1, 1.) =Ч(1.) С = С+ Ч (1.)ее2 Е =ЯВЯТ(С) В1=Е/Р 1Р(АВБ(В1 — К (1)) — 0.01) 8. 8, 2 Р=Е ц(1)=В! 00 ТО 4 РО 9,) =1, (х) 12 6 5 8 рение приведенного выше итерационною процесса определит собственный вектор их и собственное число Ха. Таким образом можно определить все собственные векторы и собственные числа матрицы А.
Определение собственных значений и собственных векторов по этому методу сводится к последовательным умножениям матрицы А на вектор, что требует л' умножений. Если же среди элементов матрицы А много нулей, например, матрица ленточная, то число умножений, необходимых для умножения матрицы А на вектор, еще снижается. Поэтому при больших л целесообразно применять этот метод для отыскания собственных значений и собственных веиторов матрицы А.
Приведем ФОРТРАН. программу, реализующую рассматриваемый метод: язв и чневенные менелае решеннв алгебтн н. днй>ференц. Уравнений % ()ь й)>ее '>г' (1)(~Е. В=О 1«О )О К=1, )>) В'=В+и(К~.ж(Т, жУ 1'.)О т й(= 1'„й) Ц(>йв) = () (>М) — Вл>Ж(1„М)> !тО!ч'МАТ ((ОХ, 4Р' 1Об! %К1ТЕ. (2,1.1,) Ц» % ВТОР Е!)О Ъ !'у В а м е ч а н н е. Прк вычислении собственного вектора аь,, я ь 2, ошибки округления введут компоненты иь ..., иь ь понтону.прн.каждши вычислении век тора «м=Ан и>ь-» пола«но его уточнять, трсбун, чтобы «ш был ортогонален ко всем векторами,, и, ..., ць >, т.с. брать вместо вектора«ш вектор «=«„,— — («,„, м,) и, — ... — («„„иь,) иь д.
й 2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ !. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение г" (х) =О, (1). где и = Р (х) — некоторый непрерывный или дифференщируемый оператор, отображающий область Я и>-мерного векторного пространства )с иа область Р того же пространства. Решение уравнения (1), как правило,. не можев быть найдено в обо щем виде. Поэтому для определения этого решения применяют итерационные методы, основанные на приведении уравнения (!) к виду х=Ф(х), (2) где Ф (х) есть оператор сжатия, определенный в некоторой.
окрестности 6 искомого решения (б с: Я). Отправляясь от произвольного вектора хге> Е 6, последовательно определяюк векзк>ры хн>, х>т>, ..., х>">, ... по формуле хгн> = Ф (х>"- »), и = 1, 2, ... (й) Предел втой последователвноктж х" в являеяся реп>ения>в уравнения (2), а тем самым и уравнения (1) (см, р 4 гл. П'1)'. Таким образом, задача решения уравнения (!) разбивается на два этапа: 1) определение области б, в которой уравнение (Ь) может быть приведено к виду (2), 2) последовательное уточнение решении по формуле (3). Вид функции Ф (х) определяет метод решения уравнения (1). $ .Х йпепппнпа наппнеяньа т)ппвмпнпй Зт) .Первый этап решения уравнения (1) ири кл в 2 практически не поддается формза(нзанни.
Определение области й, в иоторой;нпервзор Ф (х) является оператором сжатия, обычно проводят, =исходя из кон,кретного вида уравнения ()) с учетом физического смысла задачи и сложности вычисления значений Ф на ЗВМ. й Метод Ньютона решения одного уравнения. Рассмотрим скалярное уравнение '!(х) =4) (4) .в предпеложеини, что нсиомый корень с этого уравиеиня изолирован на отрезке (а, Ы, з функция '! (х) имеет:на этом отрезке первую и вторую производные, сохраняющие определенный знак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
