Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Пусть Т вЂ” множество граничных точек сетки !2, т. е. точек хе=!2, для которых Ш'(х) =Я. Множество точек сетки 11, не являющихся граничными, назовем множеством внутренних узлов и обозначим через еь Таким образом, й=ы()Т. В граничном узле х~Т уравнение (1) принимает вид А (х) у(х) =т (х) или, что то же самое, у(х) =р(х), (12) где р(х) =т (х)/А (х) — заданная функция.
Первая краевая задача состоит в том, чтобы найти сеточную функцию у(х), удовлетворяющую уравнению (1) при х~гв и условию (12) при хеиТ. Уже 298 отмечалось, что при условиях теоремы 1 первая краевая задача имеет единственное решение. Переформулируем теорему сравнения на случай первой краевой задачи. Рассмотрим две задачи: Еу(х) =Р(х), ха ен у(х) =И(х), х=-у, (13) ЕУ (х) = Г (х), х — вц У (х) = и (х), х — у. (14) Если при хе=ы выполнены условия (5) и ( р (х)( = 7 (х), х =. ы, ( и (х) ) < )с (х), х = у, то ~у(х) ) е У(х) при всех хань!.
Функция У(х), фигурирующая в теореме сравнения, называется мажорантной функцией для решения у(х) задачи (4). Для получения оценки решения у(х) обычно строят вспомогательную задачу (11) или (14) так, чтобы можно было легко найти ее решение У(х) и затем применяют теорему сравнения. Теорема сравнения позволяет легко доказать устойчивость решения первой краевой задачи по граничным условиям. Рассмотрим однородное уравнение (13) с неоднородным граничным условием Еу(х) =О, хе=ы; у(х) =р(х), х~у, (15) Следствие 3 (устойчивость по гр а яичны м уел о в и я м). Пусть при хенгь выполнены условия (5). Тогда для решения задачи (15) справедлива оценка шах ~ у (х) ( - ..
шах ( р (х) (. (16) До к а з а т ел ь с т во. Наряду с задачей (15) рассмотрим задачу ЕУ(х) =О, хе=ам У(х) =а, хану, (17) где а=шах ) и(х) ). Все условия теоремы сравнения выполнены, еЕ-9 поэтому 1у(х) ( < У(х). Далее, для функции о(х) =а — У(х) имеем Ео(х) =Еа — ЕУ(х) =Есс=0(х) а)О и о(х) =О при хенге и, согласно следствию 1, получим о(х) )О, т.
е. У(х) <сс. Но тогда при всех хан() имеем 1у(х) ) <У(х) <сс, откуда и следует (16). 4. Примеры. Приведем несколько простых примеров. Пример 1. Рассмотрим задачу и" (х) = — 1(х), О<х<1, и'(О) =О, и(1) =О. По аналогии с $ 2 гл. 1 построим разностную схему второго 299 порядка аппроксимации У„-„,;= — ~(х;), 1=1, 2, ..., Л! — 1, — р.,=0,5й~ю, ци =О. (18) Запишем схему (18) в каноническом виде: уоу+056х~у'=05(у'-1+у')+~'! — 12...М! 2 уи =О.
Сетка П состоит из узлов х,=й, 1=0, 1,..., Л', и имеет одну граничную точку х=хв. Окрестность Ш'(х,) узла х„состоит из одного узла х=х,. Окрестность Ш'(х,) узла х, прн 1=1, 2,..., Л' — 1 состоит из двух узлов х, „х,+,. Сетка, очевидно, является связной. Свойства положительности коэффициентов (5) выполнены, причем Р(х;)=0 при 1=1,2,...,Ж вЂ” 1, Р(х,)=Л(х )=1. Таким образом, к разностной схеме (18) можно применять принцип максимума и его следствия. П р и м е р 2. Для уравнения и" (х) = — !'(х), 0(х<1, и'(0) =и'(1) =0 (19) строится разпостная схема Ррхх — ! (х~) 1=1,2, ..., Л! — 1, (20) 9 3. Доказательство устойчивости и сходимости разностной задачи Днрихле для уравнения Пуассона 1. Устойчивость по граничным условиям.
В 9 1 рассматривалась задача Дирихле для уравнения Пуассона дхи дхи + = ! (хм хэ), х = (хм Хз)!= 6 дх,' дх,' и(х) =р(х), хенГ, 300 — ух л = 0,56~и р; и = 0,561и. Канонический вид этой схемы у,=и, +0,5Ь'~„у,=0,5(у;,+у;„) +0,5йуь 1=1, 2,..., Л' — 1, у =ух-1+0,5Л'!„. Окрестности узлов х„хх сетки И состоят каждая из одного узла, а окрестности точек хи 1=1, 2,..., М-1,— из двух узлов. Граничных точек сетка не имеет. Условия А(х) >О, В(х,5) >О, Р(х) =0 выполнены в каждой точке сетки. Нет ни одной точки х, сетки 12, в которой выполнялось бы строгое неравенство Р(х,))0.
Поэтому нельзя применять следствия 1 и 2 и утверждать о существовании и единственности решения задачи (20). И действительно, решение задачи (20) (так же как и исходной дифференциальной задачи (19)) ие единственно: наряду с у(х) решением является функция о(х) =р(х)+а, где сг — любая постоянная. в прямоугольнике 6=(0<х,<1„0<х,<1!) с границей Г. Была вве дена сетка й=(хи =(х„х~), ю=0, 1, ..., Л/„ /=О, 1, ..., У!), где х,=1Л„х, =/Ь„Ь,=/,/Л!„Л,=/,/Л'„и построена разностная схема второго порядка аппроксимации у- +у-,.= — /!и х, г=ы, (2) ! уп =р(х„х,), хиг=у. Здесь ы — множество внутренних узлов сетки 11 и ( -- множество граничных узлов: ы=(хп=(х'„х1), 1=1,2,, Л!,— 1, /=1,2, ..., Л!, 1), у =(хм, хан ~ () (х;„хпп ~ Разностная схема (2) приводится к каноническому виду А(х)у(х)=,~', В(х, 3)!/($)+)с(х), х~=о, (3) ъвш'и! (4) у(х) =р(х), хен /, где для х=хченв окрестность Ш'(х) состоит из четырех узлов х„,д, х...
и А(х) = —,+ —,, В(х, х!~,л) = —,, В(х, хь! Д= —,, (5) 2 2 ! ! а, '' В(х) =/(хн). Обозначая, как и ранее, В (х) у (х) = А (х) у (х) —,Я В (х, с) у (5), !АЗ '(х] запишем задачу (3), (4) в виде /.(х)у(х)=Р(х), хеново, у(х)=р(х), хам.
(6) В настоящем параграфе будет получена оценка решения задачи (2) через правую часть / и граничные условия 1!, означающая устойчивость атой задачи, н будет показано, что при Л,— ~0, Ь,— ~0 норма погрешности )у — и)с!о! — шах~у(х) — и(х) ~ хек стремится к нулю. Тем самым будет доказана сходимость разностной схемы. Запишем задачу (2) в виде (6) и представим ее решение у(х) в виде суммы у(х)=у(х)+у(х), где у(х) — решение однородного зо! уравнения с неоднородным граничным условием: 7.у(х) =О, х= а, у(х) =р(х), х«= у, (7) и у(х) — решение неоднородного уравнения с однородным граничным условием: Е.у(х) =Г(х), х.— м, у(х) =О, х — у, Отметим, что для задачи (6) выполняются все условия принципа максимума, позтому можно воспользоваться результатами 5 2.
В часгности, к задаче (7) можно применить следствие 3 из $2, которое приводит к оценке 1!У1~,ш (Ь ~!сон (9) где (у~.,о, — п1ах!у(х) ), !!!х(~,, =шах) !«(х)(. «Ы «мт 2. Устойчивость по правой части и скодимость. Оценить решение неоднородного уравнения (8), пользуясь только результатами й 2, невозможно. Однако можно легко построить мажорантную функцию для решении задачи (8) и применить затем теорему сравнения. Рассмотрим функцию У (х) = К (!', + 1,,' — х*, — х.',), (10) где К вЂ” пока произвольная положительная постоянная, а длины сторон прямоугольника 6.
Ясно, что У(х) )О при всех хе=О. Обозначим Р(х) «А(х) —,У, В(х, $) мам'~«) н вычислим выражение ВУ(х)«Р(х)У(х)+ ~~~, В(х,$)(У(х) — У(с)) '-мм ~«1 для функции (!0) в любой точке х~м. Заметим, что по построению (.У(х) =-У«« -У„-,. Кроме того, для функции (10) справедливы равенства д«, дк,' Таким образом, 7.У(х)=4К и можно считать, что функция 1'(х) является решением краевой задачи 7 У(х)=Р(х), х-=.
м, У(х) =!4(х), х= у, (11) где Р(х)=4К и р(х))0 — значение функции (10) прн хе=7. Если положить 4 302 то по отношению к задачам (8), (11) будут выполнены все условия теоремы сравнения (см. аналогичные задачи (13), (14) в $ 2). Из теоремы сравнения следует оценка Цф~,о~ ~~ шах 1'(х) ««К (11+ 1.',). хми Отсюда, учитывая выбор константы К, получим Сни 4 (Е) (12) Из неравенства треугольника и оценок (9), (12) следует оценка решения задачи (2) Ща,~ ', '1~~~см+!1р1~ссп (13) (14) гч=О, хье=у, где фи = и-„„, и + и„—, и + ~п — погрешность аппроксимации на решении задачи (1). Если четвертые производные решения и(х„х,) ограничены, то погрешность аппроксимации является величиной второго порядка малости относительно Й=(й,'+л,)~, т. е. существует постоянная М„пе зависящая от и, и Ь, и такая, что !! Ф Ц ) ~ 4А ((ч+ Ю Заметим, что задача (14) отличается от разностной схемы (2) только правыми частями в основном уравнении и в граничных условиях.
Поэтому для решения задачи (14) справедлива оценка, аналогичная (13), а именно оценка ((г)~,о, ( ' ' !)ф )~„„,. Поскольку константы, входящие в оценку (13), не зависят от шагов сетки й, и и,, данная оценка выражает собой устойчивость разностной схемы по правой части 1 и по граничным условиям н. Отметим геометрический смысл константы 1~+~ — это квадрат диаметра области 6. Тем самым полностью доказана корректность (однозначная разрешимость и устойчивость) разностиой схемы (2). Перейдем теперь к исследованию сходимости разностной схемы и к оценкам погрешности. Обозначим з„=уч — и(х„х,), где у„— решение разностной задачи (2) и и(х„х,) — решение исходной дифференциальной задачи (1).
Подставляя уь=зч+ив в уравнение (2), получим, что погрешность удовлетворяет уравнению г — .. + г- . = — ф хг ~ о>, чч,н .чхни,н и~ н Отсюда и из (15) получаем иеравеиство ~~а,сч,ч ( И2(/1', +5,), (16) где М,=0,25М, (1,'+1,,) — постоянная, ие зависящая от й, и й,. Из оценки (16) и следует, что схема (2) сходится и имеет второй по- рядок точности. 2 4. Примеры применения прииципа максимума В этом параграфе оудем рассматривать разпостиые уравнения Еу(х) =Р(х), хе=11, (1) где Еу(х)=-А(х)у(х) —,~~ В(х,$)у(5), (2) 1=-ш со Разумеется, отсюда ие следует, что иемопотоииая схема обязательно некорректна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
