Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Поскольку уравнение (2) аппроксимирует основное уравнение (1) со вторым порядком, желательно, чтобы и разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. Чтобы добиться этого, воспользуемся разложением — О) ди(» О) + т Р" (х О) +()(та) т д( 2 д!О и учтем, что в силу дифференциального уравнения (1) вьполняется равенство д'и (х, О) дти (х, О) д(О дх' О Таким образом, ди(х,е) «(х,т) — и(х,О) т .( +О(, д« т О и, следовательно, разностное уравнение у; — у, т па(хт)+ по«хи ! 1' 2' ' ' ' ОО 1 (8) аппраксимирует второе из условий (3) со вторым порядком по т ипой.
Совокупность уравнений (4), (5), (7), (8) составляет разностную схему, аппроксимирующую исходную задачу (!) — (3). Покажем еше один способ получения уравнения (8). Уравнение У ° — УΠ— — = и,(хч), у;' =- у(х« — т) (я) аппроксимирует уравнение и~ (О, х)=«О(х) со вторым порядком, Чтобы найти значения ут ' запишем уравнение (4) при «=0: У1 2уа 1 у-1 ««х и учтем, что у"; =из(х1). Отсюда получим у ' = — у'+ 2и, [х ) —, т'и- О««Х Подстанляя зто выражение для У1 ' в уравнение (9), приходим к уравнению (8). Для исследования устойчивости будем чак жс, как и в о 4, искать решение уравнения (4) в виде ул )лс1)1Е (10) Подставляя это выражение в (4) и сокращая на е "', получим для д квадратное уравнение О)О 2(! 278!пт —,Р 1Ч-(-1=0 у= (1Ц 111 284 Будем считать разностное уравнение (4) устойчивым, если оба корня уравнения (11) не превосходят по модулю единицу. Пусть д, н д, — корни этого уравнения, Если оба корня действительные, то поскольку д,д,= 1, найдется гр, для которого один из корней меньше единицы по модулю, а второй — больше единицы.
Если же корни комплексно сопряженные, то )д,(=)д,(=!. Таким образом, разностное уравнение (4) устойчиво, если при всех действительных Ф выполняется неравенство (1 — 2уз(п — ~ «- 1, т. е. у зн1 ( !. Последнее неравенство выполняется при всех Ф, если т(й. (12) применяются значительно реже двухслойных, их иногда используют для повышения порядка аппроксимации илн для улучшения устойчивости.
Приведем несколько примеров трехслойпых схем для уравнения (13). На первый взгляд кажется очень естественным заменить уравнение (13) явной симметричной схемой второго порядка аппроксимации ии1,л-1 л з л ~ л (14) 2т 11~ Однако эта схема совершенно непригодна для использования на быстродействующих ЭВМ, поскольку при любых шагах т и й она является неустойчивой, Если искать ее решение в виде (10), то получим уравйеннс и' + 8Т гбп' — а — 1 = О, 2аФ 2 т у= У один из корней которого по модулю всегда больше единицы.
Если в уравнении (14) заменить значение дч на полусумму ! 0,5(у,'и+ уг-э), то получим схему 2т а2 которая интересна тем, что является абсолютно устойчивой, по обладает условной аппроксимацией. Обозначим аы и-~ им 2 л+ и-1 из хэ ааа Строгое обоснование устойчивости схемы (4) будет дано в 3 3 гл, 4. 2. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводиости. Хотя трехслойные схемы для уравнения теплопроводности ди д~и д1 дхэ Тогда уравнение (15) можно переписать в виде Отсюда легко получить, что уравнение (15) аппраксимирует исходное дифференциальное уравнение (13) лишь при условии, что т'1й'-»0 при т- О, й -О.
Погрешность аппроксимации янляется величиной 0(тх+й»+т»/й»). Если же положить, например, т=й, то (15) будет аппроксимировать уравнение гиперболического типа ди д»и д»и — + — =— д~ дР дх' 6 6. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходимость, устойчивость 1, Введение. Ранее мы уже встречались с перечисленными в заглавии понятиями в связи с самыми различными примерами разностных схем для конкретных дифференциальных уравнений. В настоящем параграфе дается изложение основных понятий теории разностных схем н выясняется связь между ними для линейных разностных схем самого общего вида, безотносительно к конкретной структуре исходного дифференциального уравнения и аппроксимирующей его разностной схемы.
Пусть дана исходная дифференциальная задача, которую мы запишем в виде Еи(х) =1(х), где хе-=6, 6 — область пт-мерного пространства, 1(х) — заданная функция, с — линейный дифференциальный оператор. Предполагается, что дополнительные условия (типа начальных и граничных условий) учтены оператором Т, и правой частью 1. В качестве простейшего примера задачи (1) читатель может рассмотреть первую краевую задачу — ии(х)=1(х), 0<х<!„и(0)= =и(1)=О„хотя в общем случае уравнение (1) может быть многомерным, в том числе и нестационарным уравнением.
Существенно в дальнейшем лишь требование линейности оператора Е. Для построения разностной схемы прежде всего вводится сетка 6, — конечное множество точек, принадлежащих 6, плотность распределения которых характеризуется параметром й — шагом сетки. В общем случае параметр й — вектор, причем определена [й[— длина вектора й.
Обычно сетка 6, выбирается так, что при [й[ — «О множество 6„стремится заполнить всю область б. Функция, определенная в точках сетки 6, называется сеточной функц ией. При мер !. Нв отрезке 6=[и, Ь) введем произвольную неравномерную сетку О», т. е. множество точек о»=(х,я[и, ь[[х»=и<к,«...хи ь).
286 Обозначим И;=х,— х»», »' 1, 2, ..., И». Тогда И=(аь ... И ), [И [ = п и" >»и »ж»ьян Тн лул Можно определить также 1И [ = '5' И', »=1 Пример 2. На плоскости (х, Г) рассматривается область 6 (0<х(1, О(Г(Т). Сетка бл состоит из точек (хо Г,), где х» М, 1=0, 1, ..., Ж, ИХ=1, Г =лт, п=о, 1,..., К, Кг=Т. Эта сетка использовалась при аппроксимации уравнении теплопроводности в $4 Здесь можно положить [Т»[=УЙ'~-т', либо [И[ =УЙ»-ьт. После введения сетки бл следует заменить в уравнении (1) дифференциальный оператор 1. разностным оператором 1,, правую часть [(х) — сеточной функцией »р„(х).
В результате получим систему разностных уравнений 1- ул(х) =гр,(х), хаба, (2) которая называется разностной схемой или разностной задачей. В отличие от дифференциального уравнения решение разностной задачи будем обозначать буквой у. 2. Погрешность аппроксимации и погрешность схемы. Перейдем к изложению основных понятий теории разностных схем: аппроксимации, корректности (устойчивости) и сходимости. Прежде чем давать формальные определения, заметим, что свойство аппроксимации означает близость разностного оператора к дифференциальному. Отсюда еще не следует, вообще говоря, близость решений дифференциального и разностиого уравнений.
Свойство устойчивости раэностной схемы является ее внутренним свойством, не зависящим от того, аппраксимирует ли эта схема какое-либо дифференциальное уравнение (см. [301). Оказывается, однако, что если разностная схема аппроксимирует корректно поставленную задачу и устойчива, то ее рсшение сходится при [И[-э-0 к решению исходной дифференциальной задачи. Будем считать, что решение и(х) задачи (1) принадлежит линейному нормированному пространству Я„ [[ ~[„ — норма в Я,. Например, Ял=б[а, Ь), [1и[1е = шах [и(х)[. Аналогично считаем, хе[а Ы что сеточные функции у,(х), »рл(х) являются элементами линейного нормированного пространства Ял (пространства сеточных функций) С НОрМОй [1 [[л.
ПО СущЕСтВу, ИМЕЕМ СЕМЕйСтВО ЛИНЕЙНЫХ НОрмированных пространств, зависящее от параметра И. Чтобы иметь возможность сравнивать функции из различных пространств, вводится оператор проектирования р;. Я; Ял. Это, по определению, линейный оператор, сопоставляющий каждой функции из Я, некоторую функцию из Я,. Для функции и~Я, обозначим через ил ее проекцию на пространство Я„т. е. ил(х) = =р,и(х). Приведем примеры операторов проектировании. Пример 3. Пусть Эгл — пространство непрерывных функций на [О, 1[ н 6л — равиомериаи сетка с шагом И: Ол=(х =[И, »=О, 1,, Лг, ИУ=Ц.
287 Тогдз в качестве оператора проектирования можно взять оператор выонг.тенин значения функции в данной точке сетки. Этот оператор определяется следующим образом: (дои) (хо) =и(хо), 1=О, 1, ..., М. П р и м е р 4. Пусть ЛГо — пространство функций, интегрируемых нз [~1. 11, и йо — та же сетка, что и в предыдущем примере. Тогда в качестве оператора проектирования можно взять оператор осредиения к;м,оа 1 (рьи) (х,) = — ! и(х) о(х, 1=1, 2, ..., М вЂ” 1, х;-ола а,оа хч 1 Г 1 (раи) (хо) = ) и(х) г(х, (рои) (хх) = — ~ и(х) оГх. км-о,м В дальнейшем будем требовать, чтобы нормы в Яо были согласованьс с нормой в исходном пространстве Я,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
