Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 51
Текст из файла (страница 51)
1), так как условия устойчивости прогонки выполнены. 276 Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения лн л л~!л лгг 1'-~-1 г ' г-г О г г аг г имеющие вид (10). Тогда получим д = !' ! + 4у гйп — ), у = —, ,!ге ~,-г а' следовательно, 1д)(! при любых гр, т, й. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т. е. устойчива прн любых шагах т и Ь. Абсолютная устойчивость является основным преимуи(еством неявных схем. Теперь уже не надо брать шаг т слишком малым, можно взять, например, т=й=10 '. Величина шагов сетки т, Ь определяется теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости.
Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема лгг л Уг Уг 1 л.г л л = — (У;„; + У„-„;) + %, (14) (! 5) 1=1, 2,..., )ч' — 1, и=О, 1,..., К вЂ” 1, у"„" =)гг(Г„„„), ун" =рг(!л.г), п=О, 1,, К вЂ” 1, У,'=ил(х;), Е=О, 1, ..., М. При а=0 получим отсюда явную схему, при а=! — чисто неявную схему и при а=0,5 — симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной за.
дачи (1) — (3). Представим решение задачи (15) в виде уг"= =и(х,.1„)+ а",, где и(х„1„) — точное решение дифференциальной задачи (1) — (З). Тогда для погрешности получим систему для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рис. 11, в. Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что эта схема имеет второй порядок аппроксимации как но Л, так и по т (если только гр",.
=1(хь 1.+0,5т)+0(т'+и')), она абсолютно устойчива и ее можно решать методом прогонки. Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрнческое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр а и определим разностную схему л+г л = ау-„', + (! — а) у"-„, + Чг„ уравнений (!б) и, перегруппнровывая слагаемые, получим, что ~>; = (и" — и + ср;) + (и — 0,5) ти" + — и'~ + 0 (т' + Ь'). 12 Учитывая уравнение (1) и" — и= — !' и следствие из него и'~ — и"= = — !", окончательно можем записать, что ф";= ~(а — О 5) т+ — 1и" +~р' — )(хь 7„.л)— !2! — — !'"(хь г„,и) + 0(та+ и'), (1о) Из формулы (18) можно сделать следующие выводы.
Если и' а а = а, = — — — ср". = 1 (хь 7„, „) + — !" (хь 7„.к ) + 0 (тг + й), гч и — г" 1=1,2,...,М вЂ” 1, п=0,1,...,К вЂ” 1, г"" = гчы = О, и = О, 1,, К вЂ” 1, г'. = О, ! = О, 1, ..., !Ч. Сеточная функция ф,"., входящая в правую часть уравнения (16) и равная ф; = пи„-, 1 + (1 — о) и„-„, — и,л + ср;, (17) называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) — (3). Получим первые члены разложения функции по степеням й и т. Будем разлагать все функции, входящие в выражение для ф";, по формуле Тейлора в точке (хв 1„+О,бт).
Учитывая разлогкепия и~ с =и(хь г„„п)+0(т'), и„-„,. =й(хс) + +,— и" (х,)+0(п'), где й'=д'и)дх', и=ди)д1, 1„+,и — — Г„+0,5т, получим л l ~ч ф = а (й (хь 1„,Д+ — и" (хь 7„п)) + (1 — о) ~и" (хь 1„) + 12 + — и'"(ХЬ 7„)) — и(Х„7„~И) + ~рб+ 0(тз) + 0(84).
Отсюда, проводя разложение в точке (х„г„.„п) и обозначая и= = и (х„7„.„, и), будем и меть Ь~ т /Р 2 12 2 12 — и+ р",+О( ')+ 0(й4) то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по т и четвер- тый — по й, Такая схема называется схемой повышенного порядки 278 аппроксимации. Если а=0,5, (р,".=1(хп «„еи) + 0(т~+ ««~), то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по т н по ««. Прн остальных значениях а и при ~р~ =1(х„«„„)+0(т+««') схема (15) имеет первый порядок аппроксимации по т н второй — по й. Опуская выкладки, отметим, что если искать решение уравнения (!5) с ~рр=— 0 в виде (!0), то получим иа ! — 471! — а) вп'— 2 у= ар 1+ 4та яз†2 н ) д~ -. 1 прн всех ~р, если л а '=- .— —— 2 4т (19) где т л л и к у = —, г'; = у~ + (! — а) ту;,, + т<р; .
Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки (условия (47), (48) нз 9 4 ч. 1) при а~О сводятся к неравенству )1+2сг~) э2)а)7 и выполнены прн а) — 1/(47). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы. 4. Уравнения с переменными коэффициентами н нелинейные уравнения.
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами р(х, «) — "= — 1««(х, «) — 1+~(х, «), 0(х(1, 0(«(Т,(21) д«дя1 ' дх/ и(х, 0) =и,(х), й(0, 1) =)«,(1), и(1, 1) =)«,(1), где р(х, «), й(х, «), )(х, «) — достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям 0<с,(««(х, «) ~с„р(х, «) )с,>0. (22) чтя Отсюда видно, в частяости, что все схемы с а)0,5 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации (а=а.) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно. Прн ачьО разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения у',"' по заданным у,".
требуется решать систему уравнений аууй~~~ — (1+ 2ау)у,""+ ауу,"",'= — г,", «= 1, 2, ..., М вЂ” 1, (20) ен км уе =Мт(«ан), уи =ух(«п~1)~ 'д ! ди! Дифференциальное выражение Еи = — (н(х, !) — ) прп каждом д~ фиксированном ! аппроксимируем в точке (хи !) так же, как н в стационарном случае (см. В !), разпостным отношением Л (!) у; = (а (хп !) у;)хи = = — ( а(хи„!) ' — а(хи !) ' ' ~, (23) где разностный коэффициент тенлопроводности а(хи !) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации а(хьп !)+а(хи !) =2й(хи !)+ 0(!!'), =й'(хи !) + 0(й').
и Наиболее употребительны следующие выражения для а(хь !): а(хь !) =0,5(й(хи !)+а(х; и !)), а(хп !) =й~х; — —,т!), й 2х (х~ „ !! х (хи !! а(хи !)= А(х; !)+А(хи О Здесь в качестве ! можно взять любое значение !ен(1„, („„), например 1=!.+О,бт.
Если в уравнении (24) !=!„+0,5т, о=0,5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по т и по й. Прн остальных значениях о и ! выполняется первый порядок аппроксимации по т н второй — по Й. При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24! с п=О н )(хи !) =— О, т. е.
схему лх1 и р(хп !) ' ' =(а(хи !)у"-,),х. (25) Предположим, что коэффициенты р(хь !), а(х„!) — постоянные, р(хь!)=р=сопз(, а(хь!)=а=сопя!. Тогда уравнение (25) можно записать в ниде у" ,"' — у'," =ау- 280 Разностная схема с весами для задачи (2!) имеет вид ~» л р (хи !) =Л (!) (оу",.'1+ (1 — о) у",.) + ~ (хи !), 2= (, 2, ...,Л! — ), (24) У,",=Р1((х) У;"~=Рх(4и), У,'=их(х). или «+1 « = у-„,, та Р Из п. 2 известно, что последнее уравнение устойчиво при т'(О,бй', т.
е. прн (26) р з Принцип замороженных коэффициецтов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях а(х;,1), р(х„(), т. е. если при всех х, 1 выполнены неравенства та(ки 0 а« ( р(ки О к (27) Если известно, что О~с,(а(х„() (с„р(хь 1)=»с,)0, то неравен- ство (27~ будет выполнено при Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 нз ~ 4 гл. 2. Если параметр о)ОД то из принципа замороженных коэффициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24).
Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности — = — (й(и) — ) +1(и). (28) В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функции й(и), избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная схема, линейная относительно у~+', 1=1, 2,... ..., Л' — 1, имеет вид «и «( ««««и «~1 « 1 ' ' = — „~и;„'" ' —; * ' ' ~+1Ьс), (29) где й; — й (у",.).
яа! где а,= 0,6(й(у";) +й(у,",)). Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по т и второй- по й. Решение у,"+', 1=1,2,...,М вЂ” 1, находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде у"; = — ((йу„-) . + (йук)-,;) + ~(ут) 1 Часто используется нелинейная схема Л+1 Л ЛМ .Л11 — а (ул") '" ' — а (у л~ " ь а+1 а+1 ")" -'- '+~(") а(и~~-11 ! ), („а+11 а(ул") = 2 (зо) Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод. Например такой: (1+1) Л / (5+1) (111) (111) ($+1) ') М 1 У(а) Ул у(м) ул+1 ! 1 ' 1 из которой находятся промежуточные значения у("4, (=0,1,...
...,()). Затем на втором этапе используется симметричная шести- точечная схема для уравнения (28), в которой нелинейные коэффициенты а(у), 1(у) вычисляются при у= у,""', т. е. схема +1 ( ) (( ( л+и) лм) + ( ( л„и) л) ) +( ( л+!1) )=1,2, ..., Ф вЂ” 1, Уо" =Р1((л~ ). Уя' =))1((л+1).
282 Здесь э — номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального приближения для у,"." выбирается у( Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг т. Число итераций М задается из соображений точности. В задачах с гладкими коэффициентами прн я(и) ~с,)0 часто бывает достаточно провести две — трн итерации. Значения у('"" на новой итерации находятся из системы (31) методом прогонки. Прн М=1 итерационный метод (3!) совпадает с разностной схемой (29). Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) применяются также схемы предиктор — корректор второго порядка точности, аналогичные методу Рунге — Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. п.
2 $ 1 гл. 6 ч. П). Здесь переход со слоя п на слой и+1 осуществляется в два этапа. Приведем пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная система уравнений +Н л ' =(а(у";) у-„"'и)ля +)(у,"), (=1, 2, ..., л( — 1, уа""М =)(1 (1,+ О ~бт) у~~"' = ра (1л+ О,бт), 1.
Разностные схемы для уравнения колебаний. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения колебаний — — 0». х». 1, 0(1(Т, дм дх» и(0, Г) =1х,(1), и(1, 1) =1х,(1), О~С~Т, и(х, 0)=и,(х), — (х, 0)=и,(х), 0 ='х(1. й 5. Трехслойные разностные схемы (1) (2) (3) Известно (см., например, (41)), что эта задача поставлена корректно, т. е. ее решение существует, опо единственно и непрерывно зависит от начальных н граничных данных.
Будем использовать ту же сетку ы„, что н в ф 4, т. е. а„= =.х „ ыь=(хс=й, 1=0, 1, ..., У, йМ= 1), ы,=(1„=пт, и =О, 1, ..., К, Кт =Т). Очевидно, минимальный шаблон, на котором можно аппроксимировать уравнение (1), это пятнточечный шаблон, изображенный па рнс ! 1, г. Таким образом, в отличие от схем для уравнения теплопроводности, в которых использовалось только два временных слоя (слон и и а+1), здесь требуется использовать три слоя: и — 1, п, и+1. Такие схемы называются трехслойными. Их применение предполагает, что при нахождении значений у',." на верхнем слое значения на предыдущих слоях у',-', уе 1=0,1,...,Ф хранятся в памяти ЭВМ. Видимо, простейшей разностной аппроксимацией уравнения (1) и граничных условий (2) является следующая система уравнений: тх »х 1=1,2,...,Л' — 1, п=!,2,...,К вЂ” 1, у,""=р,(1,), у""=р,(1»ы), п=О, 1,..., К вЂ” 1.
(5) Разностиое уравнение (4) имеет второй порядок погрешности аппроксимации по т н по и. Решение у,"." выражается явным образом через значения на предыдущих слоях: у»ы — 2у» у»-ь + у (у» 2у» + у» ) 1=1, 2,..., Ф вЂ” 1, (=та/й', п=1, 2,..., К вЂ” 1. (6) Для начала счета по формулам (6) должны быть заданы значения у,'., уе 1=0, 1„...,У вЂ” 1,У. Из первого начального условия (3) сразу получаем у,'=ио(хс), 1=1, 2, ..., Й вЂ” 1. (Т) 283 Простейшая замена второго из начальных условий (3) уравнением (ут — уа)/т=йО(х,) имеет лишь первый порядок аппроксимации по т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
