Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Таким образом, при достаточной гладкости коэффициентов й(х), д(х), 1(х) н решения и(х) разностная схема (!0) аппраксимирует исходную задачу (2) со вторым порядком по й. 267 При практическом использовании разностной схемы для нахождения ее коэффициентов не обязательно вычислять интегралы (4), (6) точно. Можно воспользоваться коэффициентами, полученными путем замены этих интегралов квадратурными формулами, имеющими точность 0(й«) и выше.
Например, в результате применения формулы прямоугольников получим следующие коэффициенты: а,= =й(х; — О,бй), д«=1(х<), <р<=1(х,). Применяя формулу трапеций, получим ~ «- «Ч~-И + чин г<-И+ А~И« <р< = Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегралов (4), (6) оказывается полезным при исследовании сходимости в случае разрывных функций й(х), о(х),!(х) (см. (32)). 3. Уравнение для погрешности. Решение у,=у(х,) разностпой задачи (3), (4) зависит от шага й сетки, у(х<) =у„(х<). По существу, мы имеем семейство решений (у,(х,)), зависящее от параметра й.
Говорят, что решение у„(х) разностной задачи сходится к решению и(х) исходной дифференциальной задачи, если при й-чО погрешность у,(х;) — и(х,), <=0, 1, ..., А<, стремится к нулю в некоторой норме. В настоящем параграфе в качестве такой нормы будем брать норму в сеточном пространстве С(ы,), т. е. положим )!у<,— и!с<,= шах )у,(х<) — и(х,)(. Говорят, что разностная схема «г=<«л имеет пг-й порядок точности (или сходится с порядком пг), если !! у„— и !!с<, ~ Л41<, где пг>0, М) 0 — константы, не зависящие от й. Выше было установлено, что схема (3), (4) имеет второй порядок аппроксимации. Докажем теперь, что эта схема имеет и второй порядок точности. Для этого прежде всего выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность г,=у,— и(х<).
Подставим у,= =г,— 'и(х) в уравнения (3), (4). Тогда получим уравнения (аг-„),л — д,г< = — фи г = 1, 2, ..., Аг — 1, (! 1) — а,г„,„+()г,=ч„гч =О, (! 2) где обозначено <р; = — (аи;)«г + д<и< + <р„ч, = а„и,, — ()иь + «г. Функция ф„входящая в правую часть уравнения (11), называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (3) на решении задачи (1), (2).
В и. 1 было показано, что <р;= 0(й') при й — ~0, < =1, 2,, А<' — 1. Аналогично, величина т, является по определению погрешностью аппроксимации краевого условия (2) разностным краевым условием (4) на решении задачи (1), (2), причем ч,=0(й'), Таким образом, структура уравнений для погрешности (11), (12) та же, что и у разиостиой схемы (3), (4), отличаются только правые части. 268 Чтобы доказать сходимость разностной схемы, оценим решение задачи (11), (12) через правые части !рь ть т. е. получим неравенство вида !!г!!„„,, ! ~.И,(!!Ч(с!. !+ !: !) (13) !! У!! и,а! ~ " ()! Р ! !.„, +! 1 !) для разностной схемы (3), (4) при 1!,=О. Последняя оценка выражает устойчивость решения разностной задачи по правым частям !р и р,. 4.
Разностные тождества и неравенства. Для того чтобы доказать неравенство (!3), нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке (7). Обозначим У,=у(х,), х,енвь, У,, = (У!+ — У!)!1! н-! и у- л = (У,— У! — ) /1!, (у, ) = Х У пА (и, и) = Х У пу!. !=-! Справедливо следующее разиостное тождество: (У с!) = (и У„) + Унцн У!!и! (!4) Действительно, н-! М-! (У и!) = ~~ У!и!.,!4! = ~~ У; !=! 1=! М у!-!о! н М-! (и! ! — и!) = '~~ у,,п; — У у,п! = !=2 !=! н У и! ~', У о + Улпх— ! ! Е=! и ' (!и — у'- )+ у.
что н требовалось доказать, Тождество (14) называется формулой суммирования по частям. Подставляя в (14) вместо и выражение аг„- и вместо у функцию г, получаем первую разностную формулу Грина (г, (аг„-),) = — (а, (г;)'1 + анг-, гл — а,г„лгм (15) Здесь (а, (г;)з! = ~ЧР ~а,(г„-,.)! 1!, В частности, если г„=О (как в !=! с константой М„ не зависящей от й.
Из этого неравенства и будет следовать, что )г1с< ! —— 0(1!'). Отметим, что неравенства вида (13), называемые априорными оценками, нашли широкое применение в теории разностных схем. Поскольку структура уравнений для погрешности (11), (12) та же, что и у разностной схемы (ЗБ (4), а отличаются только правые части, то оценка (13) выполняется одновременно с аналогичной оценкой задаче (11), (12)), то получим (г, (аг;),) = — (а, г-'„] — а,г„лг .
(16) Обозначим ]г-] ) = ~~ (г- .) Й 1=1 Для доказательства воспользуемся тождеством И к — Х Йг-„,.= — Х !'Й(Р'й„-,.), 1=0, 1,, 7ч' — 1, г=н1 ! =з '1 и применим неравенство Коши — Буняковского абг» 'Я а] '~ ~Й,' Тогда получим (г~) «~ ~~~~ Й1 ~~~ Йг„- . =(1 — х,) ~Я Йг„- . (1 ~~~~ Йг- ~(=н1 ! ~!=о / г=-н.1 1=1 откуда сразу следует неравенство (17). 5. Доказательство сходимости. Возврашаясь к доказательству сходимости схемы (3), (4), получим тождество, которому удовлетворяет погрешность г,=у,— и(х;). Для этого умножим уравнение (11) на Йг, и просуммируем по 1 от 1 до М вЂ” !. Тогда получим ((а -„)„г) — (д, г') = — (~р, ) Отсюда, применяя разностную формулу Грина (16), получим (а, г'-,]+а,г,,г, + (Н, г') =($, г).
Далее, согласно (12) имеем -з а~г~лго = 0㠄— т1го следовательно, справедливо тождество (а, г„=] + ()г,'+ (И, г') = (ф, г) + т,г,. (16) Из этого тождества и будет сейчас выведено требуемое неравенство вида (13). Заметим прежде всего, что если Й(х) ~с,>0„р= О, д(х) )О, 270 и докажем, что для любой сеточкой функйии г„удовлетворяюи4ей условию г =О,справедливо неравенство ]г(~~в,)»»1(г-„] (, (17) то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют неравенствам а;)с,>0, р)0, д,=»О (19) Это утверждение сразу следует из явного представления коэффициентов (Б), (Б).
Воспользовавшись (19), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (!8), следующим образом: (а, г';] = '~ а;г'„-,6 ) с, '~' г-',,и = с„] г-„] )', ()г,' > О, (д, г') ==" О. Тогда придем к неравенству с,]г-„]1'«((ф, г) (+ (т„!1гь(. (20) Оценим сверху правую часть это~о неравенства. Будем иметь и-1 (ф, г) ~ + (ч, ) ) гь! =. 'Я ) Ф !! г') и +' ) тт ! ! го! ~-: 1ча М-1 «(]г] ~ч~' )ф)й+~у,! ~=1 Подставляя эту оценку в (20) и учитывая неравенство (17), полу- чим т.
е. Окончательно (21) Поскольку ]ф]с,„1 =0(й'), )т,(=0(й'), нз неравенства (21) следует, что погрешность г,=у,— и(х,) также является величиной 0(п*) при й -О, Итак, справедливо следующее утверждение. Пусть я(х) — непрерывно дифференцируемая и д(х), 1'(х) — непрерывные функции при хе=(0,1], решение и(х) задачи (1), (2) обладает непрерывньчми четвертыми производными, Пусть коэффициенты разностной схемгя (3), (4) удовлетворяют условиям (8), (9), (19), Тогда решение разностной задачи (3) „(4) сходится при й-з-О к решеншо исходной дифференциальной задачи (1), (2) со вторым 271 порядком по и, так что выполняется оценки 1У вЂ” '>сов> ~ тИ)тэ 9 4.
Разностные схемы для уравнения теплопроводности !. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области (0<х(1, 0(1 =Т) требуется найти решение уравнения ди дэн — = — +)(х, 1), дт дхэ удовлетворяющее начальному условию и(х, О) =и,(х) н граничным условиям и (О, 1) = >э~ (1), и (1, 1) = )ха (г) ° (а) (3) Здесь и,(х), )х,(1), )з,(1) — заданные функции. Известно (см.
(41)), что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1) — (3) существует н единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение и(х, 1) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по х и по б Решение задачи (1) — (3) удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных. 2. Явная схема. Кзк всегда, для построения разпостной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных н задать шаблон, т е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
