Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Лемма 1 доказана. Завершим теперь доказательство теоремы 1. Покажем, что условие корней достаточно для устойчивости уравнения (8) по начальным данным. Из уравнения (19), учитывая лемму 1, получим неравенство Ц У.Ц..= Ц5Ц,Ц!'.,Ц.~ Ц У.,Ц„ и, следовательно, Ц У„Ц. = Ц У„,!.'.. а=т, т+ 1, Па определению (22) нормы Ц Ц. имеем !'УЦ =ИУЦе(ЦФСЦУЦс. (23) С другой стороны, для любой невырождеиной матрицы Я справедливо тождество у=я 'я~', из которого следует оценка !! у!!о( И-'Ыяг!!.
= !!я-'!о! р !.. Таким образом, если норма !! !!, определена равенством (22), то выполняются оценки (!! г '!! ) '!)17.!!~!У!! ~!,'1с!! !!У!!' (24) Из (23) и (24) получаем !!У»!!,(1И,!! 1/,!!о, (25) где М,=Я '!!с!!Щ,. Заметим, что константа М, ие зависит от и. Из (25) следует неравенство ! о,! ( 1И1 шах !о,!, (26) о 1а »-1 означающее устойчивость уравнения (8) по начальным данным, Теорема 1 полностью доказана. 4. Оценка решения неоднородного уравнения. Рассмотрим задачу Коши для неоднородного разностного уравнения а,у„+а,у„,+...+а у. =ту. „, (27) где п=т, т+ 1,..., величины у„ у„ ..., у , заданы, правая часть у„У=О, 1,...
— заданная функция. Если а,ФО, то для каждой правой части решение задачи Коши существует и единственно. Оно может быть найдено по рекуррентной формуле "»1 "»1-1 а1 те»-,» У» У»»1 У» '»'1 ' ' У» 1+ ао ао п=т, т+1,..., исходя из заданных начальных условий у„у„..., у... и известной правой части до. В предыдущем пункте получена оценка решения однородного уравнения через начальные данные, означающая устойчивость по начальным данным. Получим теперь аналогичную оценку решения неоднородного уравнения (27) через начальныс данные и правую часть.
Основным результатом здесь будет доказательство того, что если однородное уравнение (8) устойчиво по начальным данным, го для неоднородного уравнения (27) справедливи оценка »-»о !У„(.,И, шах !у~!+.Из ','о т)д«!, (29) о~ни»1 — 1 «=о где М, и М, не зависят от и. Выполнение оценки (29) означает по определению устойчивость уравнения (27) по правой части.
Таким образом, будет показано, 243 что из устойчивости по начальным данным следует устойчивость по праной части. Представим уравнение (27) в некторном виде У„=5У„,+т6„,, п=т, т+1,..., где У.= (у. +,. у +„ .... у )', ,г 6„,=(0,0, ...,О, — ""') . (31) лз матрица 5 определена согласно (20). Пусть уравнение (8) устойчиво по начальным данным, Тогда согласно теореме 1 выполнено условие корней. Прн этом условии в соответствии с леммой 1 для некоторой нормы матрицы 5 справедливо неравенство !!5!!.~1. Таким образом, из (30) получаем неравенства !1У»)!.~!!У» 1!!.+т!!6,,!!,, А=т, и»+1,... Суммируя эти неравенства по й от и до п, получим Л вЂ” 1 !!У !!.~!!Ул*- !!,+ ~ !!6»!,'. (32) »=лз-1 Используем далее неравенство (24), устанавливающее эквивалентность норм !! !!, и !, '!!,.
Тогда из (32) получим Л-1 1»',,З-зг.»ЛЗЧЬ(~!З.,ЬЗ- »..~а,!»). <ЗЗЗ »= л-1 Учитывая специальный внд (31) вектора 6„„ имеем ! у»зз-,и ! !а ! н„ следовательно, л-1 Л-Лз т)!6»)!с= — ~ т)к»!. ! аз »=лз-1 »=з Отсюда и из (33) получаем требуемое неравенство Л-Лз !!у $с(М, щах (уз)+М, '~~ т!д»!, Ззч/М Л-1 »=а (34) где М,=!)(1-",!л!!Ф)„М,= Мза„'. Напомним, что Я вЂ” матрица, преобразующая 5 согласно (2!) к модифицированной жордановой форме. б.
Оценки погрешности разностиого метода. Вернемся к уравнению для погрешности (3), полученному в п. 1. Нам нужно оценить погрешность метода г. через погрешность аппроксимации з)з„ й=О, 1, ..., и — и». Если бы функция <р» равнялась нулю, А=О, 1,... ..., и — и, то достаточно было бы воспользоваться оценкой (34). Однако наличие фУнкции йи зависЯщей от РешениЯ г и хаРактеРизуюшей нелинейность задачи, усложняет получение требуемых оценок. Следуя (2, с. 484), докажем, что справедлива Т е о р е м а 2.
Пусть все корни характеристического уравнения (9) лежат внутри или на границе единичного круга, причем на границе нет кратных корней. Пусть 11„(1, и) ~ (Е для (е=(0, Т1 Тогда при (35) х«ьо! х для решения уравнения (3) справедлива оценка ч-«« )г„! =М,е"т шах )г;~+ М, 'Я т)фй), п=йп, и+1, ...,(36) акая ч-« где М =КЫЯ-'!~с, ч« М, = — ', с, = Мйо(., с« = — " 'Я (~ а, ( ( Ь, ~ + ! ай ~ ~ Ь, )). 1!' Доказательство, Согласно формуле конечных приращений Лагранжа имеем Р(~ — й у" й) Р(" А и" й) 1 Аг й' Подставляя (37) в уравнение (3), получим (а,— Ьй(йт) г„='Я ( — ай+ тЬй(„й) г„й+ т«р„ (38) Из условия (35) следует, что ~1а,— тЬй1й~) —" )О, (39) позтому уравнение (38) можно разрешить относительно г„: Добавляя к правой части уравнения (40) и вычитая из нее выра- жение ай й=й 245 где 1 й=) (т„„й й), й,-й=у,-й+Ог -й 0~(0~1, я=О, 1, 2,..., и.
Представим функцию «р, „, определенную согласно (б), в виде 1Я 'Р - =Ьй(йг +,Я~~ Ьй( -йг -м (37) й=« перепишем (40) в виде ао 'Ь»-»о г„= — ~ — г„о + т ~; и ог„ь + т ао ао тьо!о о»а (41) где аоьол» ьо — аоЬ»Ло 0»о— а, (ао — тьооо) (42) Представим уравнение (41) в векторной форме. Для этого введем векторы 2» — (㻠— о1 г -тоо ° ° ° г ) г Ч„,=(О, ...,О, " ) а — ть г и матрицы 0 1 0 ... 0 0 ... О 0 0 5= О о . ° . о »Ш ''' »1 ао 1 »-о— а »»-1 а, ао ао 'Тогда получим, что уравнение (41) эквивалентно векторному уравнению Я„=ЯЛ„,+тУ„,Л.,+тЧ".— .
(43) Покажем, что !!$'.,!!. ограничена числом, не зависящим от и и т. Согласно (39), (42) имеем /и»л ! с,2 1,,!!ь,!+!а,! !ь,! С, й=1,2, ...,гп, !а» !о поэтому !! Ь'„-, !!с = с, ! и„, ! ~ ОЕ. о=о где 2 = — '~', ((а,! !Ьо)+ )а ! !Ь,!). о о=о (45) Для любого вектора х имеем !! $/.—,х!!. = !!())л.—,х!1~= !! (ау.-щ ') ((лх) !1~( (ЯУ.-Д '!!ощх!!о(Мо!1У.-,!!о! х!! ° .
24а Для оценки решения уравнения (43) используем лемму 1 из и. 3. Согласно этой лемме, !!3!!. =1 в некоторой норме !1 !!.. Поэтому нэ (43) получим !!2.!!.(!!2.,!!,+т!1Р.,!1,!!Л.,!!.+т!!Ч'.,!!.. (44) где М, = Я««с«й-'««.. Следовательно, «! )г.-~!! «М~«! 'т'.-~««с«М,аЕ" Подставляя эту оценку в (44), приходим к неравенству «!2„«!.«(1+.,)««2„,«!.+ ««Ч „,«!., где я=т, ю+ 1,..., с,=М,аЕ.. Из (46) получим Л «!2„«!. «(1+,)" "««2,«!.
+ т ч,'„««Ч,,«!.« и <езп-.«12,,) .«т ~~ «! Р,,««„(47) где т„„=т(п — пг) «Т. Далее, учитывая (24), (39), имеем «2„«!.~(!«С) Р ««2„«~~~ (««1Е «! ) '«г„«, ««2 -~«.««;Я«с «2,.-,«а=«!Я!с гпах «гу«, а</< и-1 1О«~е г«0!Ь ,!. И«.!«т.,«.= «ф..«, «ф--!. ! аа — тьо1О ! ! аз ! Подставляя эти неравенства в (47) и обозначая М,=«!Я!«сХ 2 Х««Я '«!„М,=:И,—, получим оценку «сч! ' л — щ ! г„! « ~И,е' т гпах ! г; ! + М, ~~ т ! $г «, ам)<а-~ совпадаюшую с (36).
Теорема 2 доказана. С л е дс та не. Если 0«пт -. Т, выполнено условие корней, «г;«-~0 при т-+О, 1=О, !, ..., т — 1, и разностное уравнение (2) аппраксимирует исходное уравнение (1), то решение разностной задачи (2) сходитсяприт — ~0 к решению исходной задачи (!). Доказательство следует немедленно из оценки (36), если учесть, что л-т Я т«фг!«Т тпах «фг«, А=О О~А~В-~П $6. Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Условно устойчивые и абсолютно устойчивые разностиые методы. Для задачи Коши — =1(1,и), 1)0, и(0)=и, (1) Ж будем рассматривать разностные методы вида и! В3 'Я вЂ” у„ь=~ч,' Ь4)(1„ы у„,), п=т, ш+ 1, ... а=о 4=о В в 4 показано, что устойчивость и сходимость метода определяются расположением корней характеристического уравнения »~, аьу'" "=О. (3) 4=о (2) и(1) =и,е", монотонно убывающее при 1-«со.
При любых т>0 для решения этого уравнения справедливо неравенство / и (1+ т) ~ ( ~ и (1) ~, (5) означающее устойчивость решения и(1). Естественно требовать, чтобы и для решения разностной задачи, аппроксимирующей (4), выполнялось бы неравенство, аналогичное (5). Рассмотрим с этой точки зрения метод Эйлера "=Ау„п=О, 1, ... (6) Из уравнения (Б) получаем у„+,=ду„, д=1+т).. 248 А именно, требуется, чтобы все корни удовлетворяли условию ~ д ~ ( (1, причем корни д, для которых ~д~ =1, не должны быть кратными. Эти условия устойчивости являются очень общими и не могут учесть многие характерные свойства решений исходной дифференциальной задачи (1) и аппроксимирующего ее разностного метода (2).
Они означают лишь, что все решения однородного разиостного уравнения, соответствующего (2), остаются ограниченными при и — «оо. В частности, при таком подходе коэффициенты Ь„А=О, 1,..., т, входящие в правую часть уравнения (2), никак не н зияют на устойчивость. Предположим, однако, что заранее известна та или иная характерная особенность в поведении решения исходной дифференциальной задачи, Тогда естественно требовать, чтобы эта особенность сохранялась и у решения разностного уравнения, Такое требование приведет к сужени1о класса допустимых разностиых методов.
В настоящем параграфс будут рассмотрены методы, предназначенные для расчета асимптотическн устойчивых решений уравнения (1). Рассмотрим сначала характерный пример. Уравнение — =йи, ()О, и(0) =-и„ (4) Ж где Х(0, имеет решение Оценка вида (5), з. е. неравенство )у„~,)» (у„(, и=1, 2, . (7) для метода (о) будет выполнено тогда и только тогда, когда )ц) = =1. В случае 2<0 это условие эквивалентно следующему ограничению на шаг т: 0<т»вЂ” (8) 1~! Таким образом, разностный метод (6) устойчив в смысле выполнения оценки (?), если шаг т удовлетворяет неравенству (8), Ревностный метод (2) называется абсолютно устойчивым, если он устойчив при любых т О„н условно устойчивым, если ан устойчив при некоторых ограничениях на шаг т.
Мы видели, чта метод Эйлера (6) условно устойчив при условии (8). Примером абсолютно устойчивого метода для уравнения (4) с 2<0 является неявный метод Эйлера или уа = йу„„, т для которого ) д( = ) (1 — тХ) ') <1 при любых т)0. Приведенные здесь простые примеры характерны тем, что и для более общих асимптотически устойчивых систем дифференциальных уравнений явные разнастные методы являются условно устойчивымп, а среди неявных методов существуют абсолютно устойчивые методы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
