Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Нелинейный метод Зейделл состоит в последовательном решении уравнений Аг.г Ан к~г ь ь Г, (хг, х,, ..., хг, хгзо ..., х ) = 0 (18) ьг-1 ыг * ь ь + Г(х... хг „уп хгпп ..., х„,,) =О, (19) г=1, 2,..., пг. Здесь индексом в обозначен номер внутренней итерации. Иногда в (19) делают всего одну внутреннюю итерацию, полагая 1=0, уг =хгь, у,' = х)". Тогда приходят к следующему итерационному методу: ь+г ь+г Ф~г ь Ф Ф ьм ь — (хг, хь, ..., Хг г, к;, хй-гю ° ., хт) (хг — хг) + дкг +~г(хг", ..., х;"„хг, хг„, ..., хь) =О, 8=0,1, ... (20) 212 относительно переменной хг', г=1, 2,..., т. ькг Большое распространение получили гибридные методы, когда внешние итерации осуществляются одним методом, а внутренние— другим.
При атом число внутренних итераций может быть фиксированным и не очень большим, так что внутренние итерации не доводятся до сходимости. В результате получается некоторый новый метод, сочетающий свойства исходных методов. Приведем примеры таких методов. П р и мер 8. Внешние итерации — по Зейделю и внутренние— гго Ньютону. Здесь в качестве основной (внешней) итерации выбирается нелинейный метод Зейделя (18), а для нахождения хк" используется метод Ньютона. Обозначим уг=кг". Тогда итерации определяются следующим образом: дг ьа к+г к К 1г-г дкг — (х,, х,, „, х; „у';, х;„,, х„) (у; — уд+ В частности, при т=2 метод (20) принимает вид дт1 (х», ф (х," — х,) + ), (х„х.,) = О, дх, ~' (х",", х".,) (х,'"' — х'.,) + г, (х,", х'.,) = О.
дхй (21) Е'(х") (хх" — х')+Р(х") =О, дт,, 1х»1 где Г(х')=(ав)„ан = — ', 1, 1=1, 2, ..., т. Для решения дх. системы линейных уравнений (22) воспользуемся методом Зейделя. Напомним (см. 5 1 гл. 2), что для линейной системы Аш+Е=О (23) (22) метод Зейделя строится следующим образом. Матрица А представляется в виде суммы А=А +В+А, где матрицы А, А+, В соответственно нижняя треугольная, верхняя треугольная и диагональная. Итерации метода Зейделя строятся по правилу (А +0)ш'+'+А,ла'+г"=О, в=О, 1, ..., 1, (24) и система (24) решается путем обращения нижней треугольной матрицы А +1). В случае системы (22) надо положить А =Г'(х'), вычислить последовательно векторы и' согласно (24), начиная с ш'=О, и положить шн'=х'+' — х', так что х"+'=х"+ш"'.
Заметим, что итерации по Зейделю можно осуществлять и относительно вектора х"'. Пусть в (24) совершается только одна итерация, т. е, 1=0. Тогда, учитывая, что ш'=О, ш'=х"" — х', получим метод (А +)З) (х'+' — х")+Е(х') =О, (25) где А + — «нижняя треугольная» часть матрицы Якоби (11), вычисленной при х=х". В частности, при пг=2 метод (25) принимает вид — (х„х,) (х, — х,) + 1, (х„х,) = О, д/, »»»ы»»» дх, (26) ~' (х,', х,') (х',~' — х",) + ~' (х"„х',) (х»" — х',) + ~, (х„х~) = О.
дх~ дх, Сопоставление (21) и (26) показывает, что методы, рассмотренные в двух последних примерах, не совпадают. 2!3 П р и мер 9. Внешние итерации — ло Ньютону и внутренние— по Зейдвлю. Запишем метод Ньютона для системы (2) в виде ГЛАВА 6 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ %!. Исходная задача и примеры численных методов ее решения 1. Постановка исходной задачи. Будем рассматривать задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений ~ — (' =1(1, ), 1)0, (0) =ива (1) или, подробнее, ни, 0) — =1;(1, и„и„..., и„,), 1) О, 1=1, 2, ..., т, (2) ш и, (0) = и,", 1= 1, 2, ..., т.
(3) Хорошо известны условия, гарантирующие существование и единственность решения задачи Коши (см. [39, с. 49)). Предположим, что функции 1„1=1, 2, ..., т, непрерывны по всем аргументам в замкнутой области Р=()1((а, )и; — и)м)(Ь, 1=1, 2,, т), Из непрерывности функций 1", следует пх ограниченность, т. е. существование константы М)0 такой, что всюду в )З выполняются неравенства (1, ) (М, 1= 1, 2,..., т. Предположим, кроме того, что в 11 функции 1, удовлетворяют условию Лнпшцца по аргументам и„и„..., и, т. е.
~;(1, и„и,, ..., и ) — !";(1, и„и,, ..., и,„) ~ =- =й((и,— и,)+)и,— и,,(+ ... + (и„,— и для любых точек (1, и„..., и„,) и (1, и„и„..., и,„) области О. Если выполнены сформулированные выше предположения, то существует единственное решение и, = и, (1), и, = и, (1),..., и = и (1) системы (2), определенное при )1/ (1,=пт1п(а, Ь)М) в принимающее при 1=0 заданные начальные значения (3).
Прн исследовании численных методов для задачи Коши будем заранее предполагать, что ее решение существует, единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости. 2. Примеры численных методов. Существуют две группы численных методов решения задачи Коши: многошаговые разностные методы и методы Рунге — Кутта. Приведем примеры и поясним основные понятия, возникающие при вспользовании численных методов. Для простоты изложенвя будем рассматрнвать сейчас одно 2!4 уравнение — = (((, и), 1 ) О, и (0) = и„.
(4) Д( Введем по переменному г равномерную сетку с ишгом т)0, т. е. рассмотрим множество точек (в,= (1.=(мь п=О, 1, 2,...). Будем обозначать через и(1) точное решение задачи (4), а через у„=у(1.) — прнб.шмсснпое решение. Заметны, что приближенное решение являешься сеточной ()(ункцией, т. е. определено только в точках сетки (ь,. При мер 1. о(етод Эйлера. Уравнение (4) заменяется разностным уравнением — )(1л,ул)=О, п=О, 1,2, ..., уь=иа (5) Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной формуле у„,=у„+т)(1, у„), п=О, 1,..., у„=и,. При использовании приближенных методов основным является вопрос о сходимости.
Понятие сходимости приблнжешюго метода можно сформулировать по-разному. Применительно к разностным методам, к которым относится н метод Эйлера (5), наибольшее распространение получило понятие сходимосги при т- О. Оно означает следующее. Фиксируем (очку г и построим последовательность сеток м, таких, что т — 0 н Г„=от= ( (тогда необходимо и ьь). Говорит, что метод (5) сходится в точке 1, если )у„ — и(1„))- 0 при т-О, (.=а Метод сходится на отрезке (О, Т), если он сходится в каждой точке И=(0 Т) Говорят, что метод имеет р-й порядок точности, если существует число р)0 такое, что ) у„— и(1„) / = 0(т") прн т -О.
Получим уравнение, которому удовлетворяет погрешность метода г„=у„— и (1„). Подставляя у. =г„+и„в (5), получим тл11 гл ил „„— лл ' = ) (1„, и„+ гл) —— (6) Правую часть уравнения (6) можно представить в виде суммы 1.(» 1 1,(1) где т 4,. =1(1л, и, +гл) — )(бь ил).
Функция фл называется невязкой или погрешностью аппрок(» сима((ии разностного уравнения (5) на решении исходного уравнения (4). Видна, что невязка представляет собой результат подста- 21ь нонки точного решения и=и(!) в левую часть разностного уравнения (5). Если бы приближенное решение у„совпадало с точным и(!и), то невязка равнялась бы нулю. Говорят, что разностный метод аппраксимирует исходное дифференциальное уравнение, если ф~п-пО прн т- О. Разностный метод имеет р-й порядок анпроксимации, если чРн~ =0(т'). В дальнейшем будет показано, что при очень общих предположениях порядок точности разностного метода совпадает с порядком аппроксимации. Функция Чрл — ! (!п~ ил + тп) ! (пп ил) (п! обращается в нуль, если правая часть ! не зависит от решения и.
В общем случае ф'„й! пропорциональна погрешности г„, так как по формуле конечных приращений имеем !р~„" = — ((„и„"+ Огп) тп, ) О ) ( 1. дп Порядок аппроксимации метода Эйлера (5) нетрудно найти, используя разложение по формуле Тейлора. Поскольку " = и' (1„) + 0 (т), то в силу уравнения (4) !р„' ' = — и' (!и) + ~ (!и, ип) + 0 (т) = О (т), т. е. метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации.
Прн вы- воде предполагалась ограниченность ип(!). П р н м е р 2. Симметричная схема. Уравнение (4) заменяется разностным уравнением йлпл Ел ! — — —,Д(!л,уп)+)(!л,мул~,))=0, п=0,1, ..., уп —— иь. (7) Данный метод более сложен в реализации, чем метод Эйлера (5), так как новое значение у„п, определяется по найденному ранее у„путем решения уравнения у +,— 0,5т)(1„+ь улы) =с„, где с„=у„+0,5т)(1, у„). По этой причине метод называется неявным.
Преимуществом метода (7) по сравнению с (5) является более высокий порядок точности. Для певязки ппм "л ! — +, (! ((л, уп) + ! (1лна уп+1)) т 2 справедливо разложение фа! = — и„' — — й„+ 0(тч)+ — (и„'+ и„'„) = = — и„' — -й„+ — (и'„+ и„'+ ти„+ 0(тх)), т . ! т!а т. е. фш =0(т*). Таким образом, метод (7) имеет второй порядок аппроксимации. Из результатов $3 будет следовать, что он имеет и второй порядок точности.
Приведенные примеры представляют собой простейшие случаи раэностных методов, или, как их еще называют, разносгных схем. Методы Рунге — Кутта отличаются от разностных методов тем, что в них допускается вычисление правых частей 1(О и) не только в точках сетки, но и в некоторых промежуточных точках. П р имер 3. Метод Рунге — Кутта второго порядка точности.
Предположим, что приближенное значение у„решения исходной задачи в момент Г=т„уже известно. Для нахождения д„~,=у(Г,+,) поступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлера Р (~., ы.), (8) из которого явным образом найдем искомое значение у„+,. Для исследования невязки подставим промежуточное значение у.+и=у.'+О,бт(., где 1„=((Г„, у„), в уравнение (9). Тогда получим ревностное уравнение —" — ~(Ги+0,5'т, ли+ 0,бт~и) =0~ (10) невязка которого равна ф!и = — "" " + Т (1„+ 0,5т, и„+ 0,бтра ((„„и„)). (11) Имеем " = и„' + 0,5 тй + О (т'), 1 (Г, + О,бт, и„+ О,бт! (Г„, и,)) = !'(1и ии) + ~д((г„, и„) д((~„, и„) +О,бт~ — "' " + 0,5тг(Г„, и„) " " 1 =)'(Г„, и„) +0,5ти"„' д~ ди так как в силу (4) справедливо равенство Ни д( д( — = — +1— дм д! да Таким образом, метод (10) имеет второй порядок погрешности аппроксимации, ф> =0(т'), и в отличие от (7) является явным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
