Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 42
Текст из файла (страница 42)
азиз + оэаз = — , 2 ' 3 аз = Ьээ. аз = Ьм+ Ьэз. озЬэ,аз =— 6 (29) а,=! — оз — оэ оэФО, аэФО. Исключим с помощью (29) нз выражений (22) коэффициенты Ьы. Тогда получим метод 7(тл ул) ° й =7(тл+пзт ул+аэтйэ), т(Ь: — Ьэ) ! йа =ээ ~тл+ азт Ул+ аэтйэ+ бо,а, улээ ул = аэйэ+ озйз+ оэйэ, о, = ! — о,— ам (30) А. А Сэмзрсммв, А. В. Гулим 226 Отсюда и из (27) получаем следующее разложение выражения для погрешности аппроксимации (23): ф'„" = (о, + оэ+ аз — 1) 7 + + — [[2 (паз + азаз) — Ц [э + [2 (азбзэ+аз (Ьээ + Ьзз)) — ! [ эти) + + — ([3 (а а', + аза') — ! [ эи + [6 (о а,йэ, + аэаэ (Ьм+ Ьзэ)) 2[7)эи+ + [3 (аэбзэ + оэ (Ьзэ + Ьзэ)з) — 1[ /зтии + + (боэЬээаз — 1) [и(, + (баэбээЬээ — Ц Р ((и)') + О (тэ) .
который имеет третий порядок аппроксимацин прн условних 1 1 азах+азат =, азат+ аза = —, аз+О, аз+О. з з 3 з Таким образом, в общем случае существует двухпараметрическое семейство трехэтапных методов Рунге — Кутта, имеющих третий порядок аппроксимацви. Задавая из и аз в качестве свободных параметров, получим иэ (31) 1 1 — а —— 2 3 3 а,= аз (аз — аз) 1 1 — аг 3 2 аз= аз (аз аз) (32) 3 аз = —, аз = О, оз = —, аз+ О любое.
(34) 3 4 Например, полагая аз= —, аз= 1, получим нэ (ЗО), (32) следующий метод 2' трегьего порядка аппроксимации: г (гл+ ' Ул+ йг) ° й = ! (гл, ул), йз = 7 (гл + т Ул — тйг + 2тйз), (35) ул ул = — (й, + 4й, + lгз). т б 4. Ьаетодм четвертого порядка точности, Рассмотрим теперь четырехэтапный метод йг = гз(! Ул) йз = 7(!л+ азт ул+ Ьзгтйг) йз = / ((л + азт. Ул + Ьзгтйг + Ьззтйз), (36) йз = 7 (!э+ а,т, ул + Ь„тй, + Ь,зтй, + Ь«зтйз), у, гг=ул+т(агйг+азйз+азйз+агйз), Погрешность аппроксимации метода (36) равна по определенвю ил«г ил фл = + агйг'+ азй, + азйз+ агйз* Ьлг (37) где функции й«„1 1, 2, 3, 4, получаются нэ (36) путем замены у„ва точное решение ил=и(1„).
Чтобы построить схемы четвертого порядка аппроксимации, необходимо раэдожить функции, входящие в (37), по формуле Тейлора до величаи третьего по. рядка по т включительна и приравнять нулю коэффициенты прн степенях т", л=б, 1, 2, 3. Необходимо при этом учесть соотношения (23) и аналогичное выражение для и'". Опуская выкладки, приведем систему уравнений, которой долж. ны удовлетворять коэффициенты метода (36) для того, чтобы данный метод 226 Кроме того, система (31) имеет два однопараметрнческих семейства решений, определяемых условиями 2 3 аз =- аз = —, а«+ аз = —, аз Ф О, (ЗЗ) 3 4 имег четвертый порядок аппроксимации: а,+ аз+аз+а< =- !.
(38) Ьц = аз, Ьз< ! Ьзз = аз, Ьц + Ьы + Ь<з = а<! 1 азаз+ оза, + о,а, =- —, 2 аза + пзаз + о,а, = — , 3 (39) з з з хз+ зз+ « 4 1 (о<Ь,з+ о,Ь„) аз+ п<Ь<заз — —— 6 (азЬзз+ о,Ьы) а,+п<Ьма =— 3 1 12 (40) 1 изб<за<аз + п„Ьыаза, + п<Ь<заза, = —; 8 1 а<Ь<зЬззаз = — . 24 (4 !) Это означает, что мы ис рассматриваем значения параметров аь аз, а<, удовлетворяющие хотя бы одному иэ условий аз=О, а<=0, а<=0, аз аз, аз=а<, аз а<, Заметим сразу же, что а<ФО, а<чьО согласно (41).
Предположим, что бМО. Случай 6=0 будет рассмотрен позже. При ОФО система (39) имеет следующее решение: база, — 4аз — 4а + 3 оз = < 12а, (аз — аз) (а< — аз) бара, — 4аз — 4а<+ 3 оз =— 12аз (аа — аз) (а< — аз) базах — 4аз — 4аз + 3 о< = 12а< (а, — аз) (а, — а,) Точно так же, решая систему (40), получим 4а< — 3 азбзз = 24аз (а< — аз) 2 ! — 2 а — — 3 — 4 (а,-аз) (43) (44) (45) (46) ( аз) ( < аз) ( <зз) а<Ь<з 24 (аэ — аз) (а, — а,) аз 1 — 2аз а<Ь<з = 12 (аз — аз) аз (4?) (48) 8* 22? Системз (38) — (41) состоит иэ одиннздпати уравнений и содержит тринадцать неизвестных.
Выберем в качестве независимых параметров неизвестные а, н аз и выразим остальные величины через эти неизвестные. Зля этого сначала разрешим группу уравнений (39) относительно перемен. ных аз оз. а<. Определитель б этой системы 6=а<а,а<(аз — аз) (а< — аз) (а,— аз). Учтем теперь соотношение (41). Прежде всего заметим, что изныв. Действительно, при о,=О из (44) и (46) получаем 3 аз= —, аз О, 4 ио в силу (41) имеем азФО.
Таким образом, уравнение (41) зквивалентно уран. нению (озЬзз) (оаьаз) аз=— Подставляя сюда выражения для озЬзь озЬы, о, иа (44), (46), (48) и приводя подобные члены, получим уравнение аз(1 — а,) =О, нз которого следует, что аз= 1. Таким образам, при 6ФО система (38) †(41) имеет следуюшее двухпараметрнческое семейство решений 2аз — 1 аз 1, оз = 12аз (аз — аз) (1 — аз) 2аз — 1 з —— 12аз (аз — а2) (1 — аз) бахав — 4аз — 4аз+ 3 !2 (! — аз) (1 — а ) 4аз — аз — Баз+ 2 12 —— 24озаз (аз — аз) ( ! — аз) ! — 2аз Ьзз = 12озаз (аз — аз) Ьм = ! — Ьзз — Ьзю ьэ1 а2 ьы Ьи = аз, О1 = ! — ОЗ вЂ” ОЗ вЂ” ОЗ. Здесь„как уже отмечалось, озчьО, азФО, т.
е. азчь0,6, база,— 4аз — 4а;+ЗчеО. Принедеиное выше решение справедливо при бчеб, т. е. когда параметры ам аьаз удовлетворяют условиям азтьО, ! 2, 3, 4, азчьаз азчг аз, аз+аз. ! з аз = —, (озью+ о,ь„) а' 1 озазазЬ„ 8 1 откуда следует, что а, — н 2 ! о,Ью+ озьзз =— 3 (50) Рассмотрим систему (38) — (41) при тех аначеянях параметров аз, аз, а„ когда 6=0.
При а,=0 система не имеет решения вследствие (41). Прн аз 0 система (40) принимает внд (озьы + оаь42) (49) 1 Далее, система (39) при аз = —, аз=О принимает вид 2 4 оз+ 2озаз 1, оз+ 4о,ат = —, 3 аз+ 8о,а', = 2 н имеет единственное решение 2 аз=!. от= т 3 1 п =— ав 6 1 Подставляя зти значения ат, от, а, и ат = — в уравнения (49), (50), получаем 2 3 1 Ь = — Ь тт ° зт 2 12оз Кроме тога, из (41) имеем ат = 1, 3 Ьтз = без, 2 ' Ь Ь 12оз 1 Ь,г = — — — боз, 2 1 1 зт зт— 12оз 2 Точно так же при условии ат а, система (38) †(41) имеет решение 1 аз=а,= —, аз=1, 2 ' 2 от = — — озт 3 1 Ь боз 1 от= 6 Ьш = 1 — Зоз, Ь,з =Зов, 1 1 Ь =О, Ь м — зт— 2 боз зависящее от параметра от ееб.
При а,=а, имеем решение о„= —, б ' 1 ат-от=!. ~8=-, от 2 1 1 Ь = —, Ь зт тт 8 боз ' 1 3 Ьм= 1- —, Ьм=-, бот ' 8 1 о 1— б 2 от=в 3 1 = — — о,, 6 1 Ь тз Зоз Ьт,=!, зависящее от параметра отФО. Таиим образом, система щее от параметра отФО: 1 ат=,, аз=О, 2 2 о,= —, 3 1 1 Ь = боз. 24озйзтщ (38) имеет следующее семейство решений, завяся- Определнгель 5 обрзшзется в нуль еше в двух случаях: прн а,=О и аз=.аз. г)называется, что в этих случаях система (38) — (41) не имеет решения.
Пусть, например, аз=0. Тогда из первых двух уравнений системы (39) получим Заз — 2 2 — Заз баз (аз — а ] баз (аз — аз) Прн этом последнее урввненне системы (39) приводит к условию ба,аз — 4аз — 4аз+З=О. (51) Аналогично находим, что система (40), (4!) рззрешнмв относительно Ьзп Ьз,, Ьзз только при условии ба,аз — баз — 4аз+З=О. (52) Из (5!), (52] няходизз а,=О, что невозможно в силу (41). Точно тяк же доквзывается, что не существует решений с а,=аз. $3.
Многошаговые разностные методы 1. Формулировка методов. Для решения задачи Коши — =)(О и), 1) О, и(0) =и„ Ж введем сетку ш,=(г„=пт, и=О, 1,...) с гвстоянным шагом т)0. Обозначим через у.=у(1.), =Я„, у„) функции, определенные па сетке ш,. Линейньзм т-шаговым разногтнылз методом называется система разностных уравнений — Ма Р Ьз( - + ...
+ Ьл ) -ю, (2) зт=т, пт+1,..., где аз, Ь,— числовые коэффициенты, не зависящие от и, )с=О, 1, ... ..., пт, причем аз~=О. Уравнение (2) следует рассматривать как рекуррентное соотношение, выражающее новое значение у„=у(1„) через найденные ранее значения у„„у „..., у— Расчет начинается с п=т, т. е, с уравнения — Ь)" +Ь! + +Ь 1' т Отсюда видно, что для начала расчета необходимо задать пт начальных значений у„у„..., у ь Значение д„определяется исходной задачей (1), а именно полагают у,=и„, Величины у„дз, ...
..., у... можно вычислить, например, с помощью метода Рупге— Кутта. В дальнейшем будем предполагать, что начальные значения уо у„..., у, заданы. Из уравнения (2) видно, что в отличие от методов Рунге— Кутта многошаговые разностпые методы допускают вычисление правых частей только в точках основной сетки ш,. 230 Метод (2) называется явным, если Ьо=О, и, следовательно, искомое значение у„выражается явным образом через предыдущие значения у„„д. „..., д„. В противном случае (т. е.
когда Ь,.лл ФО) метод называется неявным. Тогда для нахождения у„приходится решать нелинейное уравнение у Ьо1(1 у)=г1У»- ° у- ° ° у- 1 во т где ао г [ул-м ул-оо °, ул-е) =,~ ~~Ь«1л-о — — ул-о ~ Т Ф-1 Обычно это уравнение решают методом Ньютона, выбирая начальное приближение у~о1 равным у„,. Заметим, что коэффициенты уравнения (2) определены с точностью до множителя. Чтобы устранить этот произвол, будем считать, что выполнено условие '«', Ьо=!, (з) а о означающее, что правая часть разностного уравнения (2) аппроксимирует правую часть дифференциального уравнения (!).
В практике вычислений наибольшее распространение получили методы Адамса, которые представляют собой частный случай многошаговых методов (2), когда производная и'(1) аппроксимируется только по двум точкам, 1„и 1„„т, е. а,= — а,=1, а,=О, 1г=2„3, .... тп. Таким образом, методы Адамса имеют вид Ул Ул-о о=о В случае Ь,=О методы Адамса называются явными, в случае Ь,чьб — неявными. При изучении разностных методов (2) мы рассмотрим прежде всего, кан влияет выбор коэффициентов а„, Ь, на погрешность аппроксимации, а затем исследуем тесно связанные между собой вопросы устойчивости и сходимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
