Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Вид нелинейности определяется функцией 1(1, и). В дальнейшем будем предполагать, что ((1, и) удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу, т. е. У(1, ")-Н1, ")!~цап.-"! (6) для всех 1, и„ и, из рассматриваемой области. Тогда из (5) следует, 237 что для функции гр„„выполнена оценка !1р„((ЬЕ((г„)+ !г„,(+...+ (г„„„~+ !г„„(), (77 где Ь = гпах ((Ь, (, ! Ь, (, ..., ! Ь ! ) . В дальнейшем будет получена оценка решения г„уравнения (3) через г„ г„ ..., г , и фл ! =О, 1, ..., и †, из которой будет следовать сходимость метода (2).
Предварительно нам потребуются некоторые сведения из теории разностных уравнений. 2. Однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Частные решения. Рассмотрим разностное уравнение а,о„+а,о„,+...+а„о„„=О, п=т, лт+1, ..., (8) коэффициенты которого а„а„..., а„не зависят от п. Будем искать частные решения уравнения (8), имеющие вид и„= о", где д — число, подлежащее определению. Подставляя о„«д"-", я=О, 1,..., гп, в (8) и сокращая на а" ", получим уравнение а,г)'"+а,а -'+....+а„11)+а =О, которое называется характеристическим уравнением, соответствующим разностному уравнению (8). Многочлен Р(д) =а,г) +а,а -'+... +а,г)+а„ (10) называется характеристическим многочленом разностного уравнения (8).
Таким образом, разностное уравнение (8) имеет решение о тогда и только тогда, когда д является корнем характеристического уравнения (10). Более того, если корень д имеет кратность г) 1, то разностное уравнение (8) имеет частные решения о„= и'г)", 1=-0, 1,..., г — !. Докажем последнее утверждение. Подставляя о -«(и — «)тд"-«в (8) н сокращая на д"- , получаем уравнение а«рт «(л — «)! = О, «=-з которое при 1=0 совпадает с характеристическим уравнением (9).
Представим многочлен ,~'„а дт «(а — «)! «=о в анде линейной комбинапни характеристичесного миогочлена (!О) и его производных Р1г1(д), 1=1,2, ...„! — 1. Для этого воспользуемся сначала разложением по формуле бинома Ньютона, (л — «)1=((л — т) + (т — «)11= ~ С~ (л — т) (т — й)! ', г=з где С/ —— /(/ — Ц" (! — !+Ц й , Сй; =1.
Тогда получим !! l ай(л — й)/ст" = ~~~~С/(л — т) Г/ / (Е) /=» где г" (Ч) = Х (т — й)/ / а Ч'л й, ! = О, !, ..., /. й=а (!4) причем Ре(д) — Р(д) Далее, обозначим г=т — //, // ~(г) =г/-~ и запишем многочлеи г/ ~(д) в виде р/. /(а) = т 3/т (г) айл Интерпотнруем функцию //-1(г) алгебраическим многочленом степени / — 1 по узлам г~=!, !=О, 1, ..., / — !. В данном случае погрешность интерполяции тождестзенио равна нулю, так как ), ~(г) =г1-' — миогочлеп степени / — 1. Поэтому согласно иитерполяцаоииоб формуле Ньютона имеем /-/ //-/ (г) = У/ ! (г») +,Я~ // / (гй, гм, г;) (г — гй) (г — г/-1' Подставляя сюда г т — л, получим при !</ /-/ (т — А)/ / =,~~й,'(/ / (т„..., г;) (т — й) (т — й — Ц ...
(т — й — (/ — Ц). Итак т /-! Р! ! (П),= Я айй/™ ~ Яй// / / (т — й) (т й Ц ° ° ° (л| — й — (! Ц) ° *~ ! й !=О, 1,...,/ — !, где обозначено ба/ ~=(/ ~(ге, гь ..., г,). С другой стороны, для производнык Ртп(д) многочлена (!О) имеем О~РЧ~! (д) =' Я (т — й) (лз — й — Ц ... (т — й — (/ — Ц) айат й, й=э (/б) Сопоставляя (!5) и (16), получим /-/ Р/ ,(4) = ,'~ б/,/ ,а/Р!/! (4), ! = О.
!, .... / — 1. гзп где // ~(гй. " ., г~) — разделенная разность /что порядка функции г/-', построенная по узлам г» а, се=О, 1, ..., й При !</ имеем // ~(гй) =г/ ! =О и // , (г) = л,' // , (г„ ..., г/) (г — гй) ... (г — г, ). Поэтому тождество (13) можно переписать в виде т /-1 пл ~~О~ ад(Л вЂ” й)1 Чт а = (Л вЂ” т)' Р (4) + ~О~ С1 (Л вЂ” т) ~С~~, НГ; ~9'Г"'~1 (Ч) = о=1 l / / г (л)1р())+ХЧро1(Ч)ХС~( о=1 1=о Итак, получено следующее представление мпогочлена (12) в виде линейной комбинации характеристического многочлена г" (Ч) и его производных: ~', пыл~ а(л — А)1= (л — т)1Е(Ч) + '~~~ ~Ь,чгг"Ю (д), (17) Гси 1 г где Ьг= у С,, (л — гл)Ы, г ь а ас г-о — разделениан разность фуниции я'-', пол1 ч г=о строенная по узлам хо=о, а,= 1, ..., г,=й Если д — корень кратности г характеристического уравнения (9), то г(д) = -О,..., го †(д) =О и правая часть уравнения (17) обращается в нуль прн 1= 1, 1=2, ..., 1=с †.
Следовательно, функции ф лал, ..., л'-'дл являются решениями разностного уравнения (8). 3. Однородное разностное уравнение с постоянными козффициентами. Устойчивость по начальным данным. Задача Коши для уравнения (8) состоит в отыскании сеточной функции о„, удовлетворяющей при всех п~т уравнению (8) и принимающей прн плл =О, 1, ..., т — 1 заданные начальные значения о,, о„..., о В дальнейшем будем считать, что аоч~=О.
Тогда уравнение (8) можно разрешить относительно о„: а а „а, Ол = — Ол-~л Ол-л г ... Ол-о Отсюда следует, что прн а,~=О решение задачи Коши существует и единственно. Говорят, что уравнение (8) устойчиво ло начальным данным, если существует постоянная М„не зависящая от л н такая, что при любых начальных данных о„о„..., о, для его решения выполняется оценка (18) 1о„! <М, гпах 1о;(, л=т, т+ 1, оагтт-г Тем самым устойчивость означает равномерную по л ограниченность решения задачи Коши. Оказывается, что устойчивость илп неустойчивость уравнения (8) по начальным данным целиком определяется расположением корней характеристического уравнения (9).
Будем говорить, что выполнено условие корней, если все корни Оо ..., г) хаРактеРистического УРавнениЯ (9) лежат внУтРп илн 249 на границе единичного круга комплексной плоскости, причем на границе единичного круга пет кратных корней. Справедлива Теорема 1. Условие корней необходимо и достаточно для устойчивости уравнения (8) по начальным данным. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала необходимость, Пусть уравнение (8) имеет корень д, для которого ~д))!. Задавая в качестве начальных данных функции о,=д', 1=О, 1, ..., гп — 1, получим решение о,=д", п)т, неограниченно возрастающее при п-п.ао. Для такого решения невозможна оценка вида (18) с константой М„ не зависящей от и.
Следовательно, условие ~д„~ ( 1, у= 1, 2,..., и, необходимо для устойчивости. Пусть уравнение (9) имеет корень д кратности т)1, для которого )д( =1. Тогда разностное уравнение (8) имеет решение и'-'д', растущее при и- как и'-', и, следовательно, в этом случае оценка (18) также невозможна. Прежде чем переходить к доказательству достаточности условий теоремы 1, необходимо провести некоторые вспомогательные построения.
Запишем (8) в виде эквивалснтной системы уравнений Ол-пнн = ил-пан ° ° ° Пл-и = Ол-1 а апач ол = — — Ол — п~ — пл-паы ° . — — Ол-1 ап ап ап н представим эту систему в векторной форме Р„=5(т„ь п=т, т+1,... „ (!9) где )т„= (и. „ о. — +и, , и.)" О О О (20) О О О . 1 ~п па 1 м-Я а1 а и ап ап ап Начальный вектор т'„,= (и„, и„..., о„,)" задан.
Нетрудно проверить, что множество собственных чисел матрицы 5 совпадает с множеством корней характеристического уравнения (9). Л е м м а 1. Если выполнено условие корней, то существует норма !!~ !!. вектора тикая, что для подчиненной нормы матрицы 5 справедливо неравенство 1151!.~1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что данная лемма уточняет лемму 1 из 9 3 гл. 2, поэтому их доказательства похожи (см.
(2, с. 338!). С помощью преобразования подобия 5 ==Я5Я ' (21) 241 приведем 5 к модифицированной жардановой форме 0 3« 5= О л, где 5, — либо число, либо жорда нова клетка 0 д е 0 "ч, д,— собственное число матрицы 5, е)0 — любое число. Оценим норму М !!3)! = гпах ~~~~ ~! э„)= гпах ()Ци)+(эм„!). ~~~~п~ . ~м~~е з=1 Здесь а„совпадает с одним из корней характеристического уравнения, а внедиагональньп! элемент ! О в случае простого корня ан, эс..,= ~ е в случае кратного корня эп. Если а„~,=О для некоторого 1, то по условию леммы )зн!(1.
Если же э,.„=е„то а„— кратный корень, и согласно условию корней выполняется строгое неравенство !а„!(1. Но тогда при достаточно малом е имеем )ан )+ !Ц„.,)(!. Таким образом, выбирая е достаточно малым, получим Ц5Ц, ~1. Введем норму вектора Цдй =ИрЦ., (22) где О определено согласно (21). Тогда получим Ц5Ц.= Ц5Ц,(1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
