Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Реализация метода (!0) в виде двух этапов (8), (9) называется методом предиктор — корректор (предскаэывающе-исправляющим), поскольку на первом этапе (8) приближенное значение пред- эгт вычислим промежуточное значение д„+к, а затем воспользуемся разностным уравнением г(г„+0,5'с, и„и), (9) сказывается с невысокой точностью О(т), а на втором этапе (9) это предсказанное значение исправляется, так что результирующая погрешность имеет второй порядок по т. Тот же самый метод (!О) можно реализовать несколько иначе.
А именно, сначала вычислим последовательно функции Д,=)(Е„, у„), й,=!(1„+0,5т, у +0,5тй,), а затем найдем у„„из уравнения (у„„— у„))т=/г,. Такая форма реализации метода (10) называется методом Рунге — Кугта. Поскольку требуется вычислить две промежуточные функции, !г, и !г,, данный метод относится к двухэтанным методам. В следующем параграфе будут рассмотрены более общие пт-этапные методы Рунге — Кутта, позволяющие получить ббльшую точность.
Э 2. Методы Рунге — Кутта 1. Общая формулировка методов. Семейство методов второго порядка. По-прежнему рассматриваем задачу Коши для одного уравнения — =)(1, и), ! . О, и(0) =гйс (1) г!г Явный! пыэгапный .иегод Рунге — Кугта состоит в следующем. Пусть решение у„=у(1„) уже известно. Задаются числовые коэффициенты а„Ь„, 1=2, 3, ..., т, 1=1, 2, ..., и — 1, о„(=1, 2, ...
..., т, и последовательно вычисляются функции !г1 =г (бн у1), гх — г (1~! + ахг~ ул, Ьмтй1), !г,» ==гг(гн + г~.кт, Уя ! !Мнтьг + !ЛлФгг +... + Ьт,~п-~тут-~) Затем нз формулы =р огг, (2) ! 1 находится новое значение !г„,.=у((„,,). Коэффициенты а„Ь„., о, выбираются нз соображений точности. Например, для гого чтобы уравнение (2) аппроксимировало исход- /П ное уравнение (1), нсобходнмо потребовать '~' а,= !. Отметим, -'=1 что методы Рунге — Кутга прн гп)5 не использу1отся.
Остановимся более подробно па отдельных методах Прн л~= = ! получаем схему Эйлера, рассмотренную в примере 1 нз пре- дыдущего параграфа. Прн и=2 получаем семейство методов й,=)(1„, у.), (гх=)(!.+а,т, у„ч-Ьмтй,), (3) у„.„==!!„+т(о,й,+аА). Исследуем погрешность аппроксимации методов (3) в зависимости от выбора параметров. Исключая пз последнего уравнения функции й, н йм получаем ' " =. о,г(1„у„) + о,((1„+ аат, у„+ Ьмт~(1„, у„)).
(4) т По определению погрешностью аппроксимации нлн невязкой метода (3) называется выражение фи = — "+' " + о,)(1„, и„.) + о.)(1,, + абдт, и„+Ь„1(1„, и„)), (5) гюлученное заменой в (4) приближенного решения у, точным ре- шением и„=и(1„). Найдем порядок погрешности аппроксимации в предположении достаточной гладкости решения и(1) н функции 1(1, и). Для этого разложим все величины, входящие в выражение (5), по формуле Тейлора в точке 1„.
Имеем "=и'(1„) + — и" (1„) + О(т-), т д(„д1„ 1 (1„+ ает, и„+ Ьмт(„) =1„+ а,т —" + Ьмт)„+ О (т'), д1а д1 где 1.=1(1„, и„), — "= — (1„и„). Далее, согласно уравнению (1), ди ди получим д1 д1, д1 д1 и'= — + — и' = — + — 1. дг ди дг ди Поэтому Ф„"'= — и„'+ (а, + о;)1„+ д)„дЬ, з + т ~ (а,܄— 0,5) 1„—" -)- (о,ах — 0,5) — ") + О (тт). (6) ди Отсюда видно, что методы (3) имеют первый порядок аппроксимации, если о,+а:=1.
Если же дополнизельно потребовать а.,а,=а,Ь„=0,5, то получим методы второго порядка аппроксимации. Таким образом, имеется однопараметрическое семейство двухзтапных методов рунге— Кутга второго порядка аппроксимации. Это семейство методов можно записать в виде " = (1 — о) 1(1„, у„) + а1 (1„+ ат, д„+ ат1 (1„, у„)), (7) где оа =0,5, В частности, прн о=1, а=0,5 получаем метод, рассмотренный в примере 3 предыдушего параграфа.
При а=0,5, а=! получаем другой метод второго порядка; й,=)(1„, у.), А,=)(1.,+т, д„+тй,), у„е,=д, +0,5г(й,+й,). 219 Приведенные здесь методы являются частными случаями методов Рунге — Кутта третьего и четвертого порядков, рассмотренных подробнее в пп. 3 и 4. 2. Доказательство сходимости. Докажем, что методы Рунге— Кутта сходятся и порядок их точности совпадает с порядком аппроксимации. Выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность а„= =у„— и(1„).
Основное уравнение метода Рунге — Кутта имеет вид =~~' а,а,(у), (8) где ~-1 ь,и=~(~„+,а,~..~у.ь„Ф,(д)~, =аз, ...,, М ! =1 й (у) = Г'(йа у.) Подставим в левую часть уравнения (8) вместо у, выражения и,+г, прн (=п, и+1, а в правой части этого уравнения добавим и вычтем сумму РХ ~ аА(и), е 1 где ~ — 1 ~( 1=!(~.~-а .~~-~ М,~)). л,(и) =)((„, и„). 1=2,3, ..., е, (!0) Тогда уравнение (8) примет вид а„ы — 7~ пы и „г<~+ (!1) где фн1= — "' "+'~ ~аА(и) (12) есть по определению погрешность аппроксимации метода (8), (9) на решении исходной задачи (!) (невяэка) и 1П ф„" =- '~~ а;(!п(у) — И~(и)).
(! 3) Будем рассматривать (11) как уравнение для погрешности метода. Оно выполняется для а=О, 1, ... Поскольку начальные значения у, задаются точно, у,е и(0), величина г, равна нулю. Будем считать, что задача (1) решается на ограниченном отрезке времени 0 =! =.Т, и, следовательно, при любых л и т выполняется неравенствоо 1„= пт ( Т. 22! )lц(у) — й,(и))(1 )у„— и„(+'Я т)Ьи) )lг;(у) — йу(и)) г=е 1=2,3,..., т, (й,(у) — е,(и) ) (Е.(у„— и„). Обозначим г;=~й;(у) — Й,(и)~, 1=1, 2, . „т, Ь= шах 1Ьи !, у=Е,)у„— и„!.
й~~~ л гмг г-1 Тогда согласно предыдущему неравенству будем иметь г;~~(.Ь~ тг;+ е, 1=2, 3, ..., гп, г ~д, (14) г=г илн, что то же самое, гпч ~ ЕЬ '~ тг, + д, ! = О, 1, ...,ш — 1, г„ =О. (15) г=а Лемма 1. Из неравенств (15) при (.Ьт)0 следуют оценки г; = ' р' 'у, 1 = 1, 2, ..., гп, (16) где р = 1+(.Ьт. Доказательство.
Оценка (16) при 1=1 совпадает с оценкой (15) для 1=О, Пусть неравенстно (!6) выполнено для 1= — — 1, 2, ..., А. Покажем, что опо выполнено и для 1=в+1. Из (15) при(=А пслучпм гь„((.Ь~ тг;+ д, Согласно предположению индукции имеем г,(р'-'К, 1=1, 2,..., й, следовательно, что и требовалось.
222 Предположим, что в рассматриваемой области изменения переменных (1, и) функция 1(1, и) удовлетворяет условию Липшица по и с константой Е, не зависящей от 1. При этих предположениях оценим сначала функцию $и', а затем и решение г,, уравнения (11). Из выражений (9), (10), используя условие Липшица, получим откупа, учитывая (17), получаем неравенство !г.„~((1+ хт)!гь1+т~Ф,и~, л=0,1, где я=я(т) =-о7.т(1+7.Ьт)"' '.
(19) Заметим, что я(т) — ~.ойт при т-~0. Если т -'т„то я(т) ( (отллес"'" "', т. е. я(т) ограничена равномерно по т. В качестве т„с большим загрублением можно взять Т. Из неравенства (18) следует оценка ! г„„! ( (1 + ат)ьа ! гь ~ + Ь' т ('1 + Ят)" ' ! фл (, (20) ь которую легко доказать по индукции. Загрубляя оценку (20) и учитывая, что г,=О, получим (г„,„) «(л+ 1) т(1+ ят)" шах ! ф~а ) «=.(„„е"" шах ) ф"~ (, «~<а г«д«ь где )„=их.=Т. Таким образом, доказана Теорема !. Пусть привоя ~ость уравнения (!) 1(Г, и) удовлетворяет условшо Лилшица ло второму аргументу с константой т'..
Пусть 4".~ — невязка метода Рунге — Кугга (2), определенная т огласно (12). Тогда для погрешности метода при пт Т справедлива оценка 1уь — и((ь)( =Те"г шах (ф~Р(, а<!я ь-1 (21) а=оТ.т(1+ЕЬт)" ', а= шах !и,(, Ь= шах (Ьо). 1м~м~п маня л за~«-1 ззз Оценим теперь функцию 4.~ь~, определенную согласно (13). Из (14), (16) следует неравенство 'П ь ) ~р'„ь (.<'.'~, (о,! (г, (( од'Я р"-' <аут!т"-', а ° 1 ~=1 где о= шах !о;(, р=-1-'ТЬт, у=а!а„).
1яйм и Итак, окончательно имеем слелуюшую оценку лля 1Р'„ьц ! ф„'1)~о(лл(1+ (Ьт)"' '(г„!. (17) Таким образом, при возрастании погрешности )г„~ величина (тяп ) Растет не быстРее пеРвой степени погРешности Теперь уже несложно оценить погрешность г„=у„— и(1„). Из уравнения (! 1) имеем г - =. + т феи + т Фгн ь ь Следствие. Если метод Рунге — )лутта аппраксимирует исходное уравнение, то он сходится при т-»-0, причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации. Доказательство этого утверждения сразу следует из оценки (21) и замечания о равномерной ограниченности а(т).
3. Методы третьего порядка точности, При решении обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются методы третьего и четвертого порядка точности. Приведем вывод таких методов. Сначала рассмотрим трехзтапный л»етод Ь, =1(»„, у„), Ь,=(У„+ зт, у„+Ь„тй,), Ь = 1 ((„+ т, у„+ Ьмтй + Ь„ть,), (22) У +» у +т(о»Ь»+озйз+озьз). Выясним, каким условиям должны удовлетворять параметры а», Ьо, о» для того, чтобы данный метод имел третий порядок аппроксимации.
Погрешность аппроксимации метода (22) дается выражением цц„— цц — + оль»+ азьз+ озьз т (23) где Ь» =1(»„, и„), Ь, = /(»„+ а,т, и„+ Ь»»тй»), Ьз = т (»„+ азт, ц„+ Ьз»ть» + Ьззтьз) (24) и и =и(» ) — решение исходного уравнения (1). Применяя разложение по формуле Тейлора для функции двух переменных н учитывая, что Ь»=1(», а ), получим т' Ьз = »+ азт/» + Ьз»т(»1„+ — (цыц + 2озазл(1 ц+ Ьз»~Яиц! + О (тз). (25) 2 з Здесь значения функции 1(», ц) и ее частных производных берутся при (=г, и=и . Точно так же Ьз = т + а т( + (Ь,Ь, + Ь зй ) т(ц + ,»3 + —, (а~У»» + 2цз (Ьз»Ь» + Ьззьз)»»ц + (Ьзльл + Ьззьз)з )ц„) + О (тз) . 2 Подставляя сюда Ь,=1, Ь»=1+азт(»+Ьз»тЦ +О(т'), 224 получим з Ьз = (+ т(аз(»+ (Ьз»+ Ьзд ()ц! + (аз(»»+ 2аз (Ьм+ Ью)»»»ц+ 2 + (Ьм+ Ьз )~Я + уьззаз)»1 + 2ьзз»»з»»» ((ц)~! + О (тз).
(26) Далее, из разложений (24) — (2б) следует о»ь» + азь, + озьз = (ол + оз + о,) / + + л 1(озал + оэ»»э) »» + (альм + »тз (Ьз! + Ьзз) » » ! + + — 1(оза' + озал) »з»» + 2 (озаА, + о»аз (Ьзл + Ьзз)) Ц»ц + 2 + ((о Ь'„+ оа (Ьз»+ Ьзз)') 1з»цц + 2озьззаз(»»ц+ 2озьззбз»»' (Я'1 + О (т) (22) Получии теперь разложение по степеням т раэностного отношения (плл,— — и„)/г, входящего в выражение для погрешности аппроксимации (23). При этом учтем, что и силу уравнения (!) спрзпедчивы следующие соотношения; П'=[, пи=[, +ц, пи'=[ээ+2[[эи+['[ и, [и[э+[([ )'. (28) Тогда будем иметь и„,— пл, т „тз =и + — + — и +О(тэ)= л 2 л 6 л = ! + 2 ()!+ [[и) + б [!ээ + 21)!и+ Р)им + !и!э + Г (ги) [+ О (т )' Приравнивая нулю коэффициенты при тэ, 1=0, 1, 2, получаем условия треть- его порядка аппроксимации: о, + от+ оэ = 1 озал+ о,аз = азЬэд+ оз (Ьи+ Ьэ.) = О 5 з э ! аза: + озаэ = озаэви + а,лэ (Ьээ + Ьзз) = оэЬз, + оэ (Ьм + Ьзэ) 3 ' оэбзэаэ = азйюЬа =— б После проведения эквивалентных преобразований эту систему уравнений моэкно записать в более простом виде: 1 з ! азат + азаз = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
