Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 43
Текст из файла (страница 43)
2. Погрешность аппроксимации многошаговых методов. Погрешностью апнроксимаишо на решении нли нгвязкоя ризностного методи (2) называстся функция !л ~й ор„= — ~', — и„о+ ~ Ьо~(1л м ил о), (5) о=о "— о получающаяся н результате подстановки точнсго решения и(1) дифференциальной задачи (1) в разпостпое уравнение (2). 231 Выясним вопрос о порядке погрешности аппроксимации при т. О в зависимости от выбора коэффициентов а,, Ь„А=О, 1, ..., пз. Будем предполагать прн этом, что все рассматриваемые функции обладают необходимой гладкостью.
Разлагая функции и„»=и((„— Йт) в точке 1=(„по формуле Тейлора, получим ( — И)'и(о Оо) и„л= 'Я " +0(т» ), и л=-о (((„», и„л) =и'(г„— Ьт) = ( — »т)' на оп (1„) =Х +0(то), )»= 1, 2,..., пл. Подставляя эти разложения в выражение (5) для погрешности ап- проксимации, будем иметь Отсюда видно, что погрешность аппроксимации имеет порядок р, если выполнены условия ~'„(з ' (/га» + 1Ь») = О, 1=1,2, ..., р.
Вместе с условием нормировки (3) уравнения (7), (8) образуют систему из р+2 линейных алгебраических уравнений относи- 232 ф= — Х вЂ”,' Х „" + ~~ ( — лт) »и+и (г ) ' »=-о Х !=о о юо Л )о-о Н) л= »=о После очевидных преобразований приходим к разложению о! оо.= — (Х вЂ” ') О»о- »-о 7 1и „н>(~ ) + 'Я ~ ( — Ьт)' '(ал — +Ь»Ц " +0(тл).
(6) )) (( — 11. л=о тельно 2(т+1) неизвестных а„а„..., а, Ьо, Ь„..., Ь . Можно несколько упростить зту систему. А именно, рассмотрим уравнение (8) при 1=1, Ю3 ~о ',„' йа» + ~ Ь» = 0 »=о и учтем условие нормировки (3). Тогда получим уравнение ~к~ н໠— — — !.
Окончательно получаем систему уравнений '~~ йа»= — 1, »ьа (9) 'Я и' ' (Ьа» + 1Ь») = О, 1 = 2, 3, ..., р, которая содержит р уравнений и 2т Ь„Ь», ..., Ь . Коэффициенты а, и Ь, ао — — — '~' а», Ьо — — 1 »=» неизвестных а„а„..., а, вычисляются по формулам м — ~ Ь,. »=» (1О) Для то~о чтобы система (9) не была переопределена, необходимо потребовать, чтобы р«=2т.
Это требование означает, что порядок аппроксимации линейно»х т-шаговых разностных методов не может превосходить 2т. Итак, наивысший достижимый порядок аппроксимации неявных т-щаговых методов равен 2т, а явных — 2т — 1. Заметим, что если в системе (8) отбросить последние и уравнений, п=1, 2, ..., р — 1, то получим условия, обеспечивающие порядок аппроксимации р — п. Для методов Адамса (4) условия р-го порядка зппроксимации (9) принимают вид 1';; й' 'Ь» = 1, 1= 2, 3, ..., р, »=о »=о 233 Отсюда видно, что наивь»сшиб порядок аппроксимации т-шагового метода Адамса равен т+1, а наивысший порядок аппроксимации явного метода Адамса (Ь,=О) равен т.
3. Устойчивость и сходимость разиостиых методов. Оказывается, что методы наивысшего порядка аппроксимации практически непригодны для расчетов, так как они неустойчивы. Подробно вопросы устойчивости и сходимости разностных методов будут рассмотрены в следующем параграфе, а сейчас ограничимся изложением самых необходимых сведений. Рассмотрим наряду с (2) однородное разностное уравнение а,о„+а,о„,+...+а о„=О, п=т, т+1, ..., (12) и будем искать решения уравнения (12), имеющие вид о„=д", где д — число, подлежащее определению.
Тогда для нахождения получаем уравнение а,д" +а,у"-'+... +а о+а„= О, которое называется характеристическим уравнением ревностного метода (2). Говорят, что метод (2) удовлетворяет условию корней, если все корни д„у„..., д характеристического уравнения (13) лежат внутри нли па границе единичного круга комплексной плоскости, причем на границе единичного круга нет кратных корней.
Разностный метод (2), удовлетворяющий условию корней, называют устойчивым методом. Существует определенное ограничение на порядок аппроксимации устойчивого метода. Приведем без доказательства следующее утверждение. Пусть метод (2) удовлетворяет условию корней и имеет порядок аппроксимации р. Тогда р(т+1 при т нечетном и р(т+2 при т четном. Для явных т-шаговых устойчивых методов порядок аппроксимации не превосходит т. В 2 4 будет доказана следующая теорема о связи между устойчивостью и сходимостью разностного метода (2) (см.
теорему 2 из 4 4). Пусть метод (2) удовлетворяет условию корней и )~ (Г, и) ~ -"'1. при 0(Г =Т, Тогда при тт(1„=пт(Т, и'= т и всех достаточно малых т вьтолнена оценка 1'у„— и(1„)1(М( шах ~у; — иЯ~+ шах )фь1), " (14) ьк/к ь-1 ькьяь-~ь где ц,— погрешность аппроксимацшц у,-и(1,), 1'=О, 1, ..., т — !— погрешности в задании начальных условий и М вЂ” константа, зависящая от Т., Т и не зависящая от и, Из оценки (14) следует, что если начальные погрешности у,— и(1,), 1=0, 1, ..., т — 1, н погрешность аппроксимации ць, я= =О, 1, ..., п-т, являются величинами О(т'), р)0, то и у„— и(г„) =0(т') при п)т, т.
е. метод сходится и имеет р-й порядок точности. Таким образом, исследование сходимости метода (2) сводится к анализу погрешности аппроксимации и проверке условия корней. Заметим, что методы Адамса ""-' = У ЬД(„, у„,) а=о всегда удовлетворяют условию корней, так как для них а,= — а,= = 1, т. е. д = у, = 1. Простым примером метода, не удовлетворяющего условию корней, является явный двухшаговый метод Ул + 4ӄ— ЗУл 2! + гл бт з имеющий третий порядок аппроксимации. 4. Примеры миогошаговых разностных методов.
Наивысший порядок аппроксимации явных т-шатовых методов Адамса =ЬДл-~ + Ьг1л л + ° ., + Ь )л-т „т (15) равен т. Согласно (11) условия т-го порядка аппроксимации имеют вид сР й~ лЬл= —, 1=1,2, ... и. (16) л=1 Решая систему (16), можно найти коэффициенты метода наивысшего порядка (!5), (16) при каждом конкретном т. Так, при гп=! получаем метод Эйлера Ул Ул-1 = ~л-~. При т=2, 3, 4, 5 получаем соответственно следующие методы пт-го порядка аппроксимации: Ул — У., З вЂ” = — 7- — — 7 т 2 2 т=2, Ул У л ! = — (23~л, — 16)л, + Б~л,), ш = 3, т 12 — = — (55~л-1 — 59)д л + 3 7~л-л — 9~л-), Ул Ул-1 ! т 24 т=4, Для неявных гп-щаговых методов Адамса ""-' =Ь,).+Ь,У„,+ ...
+Ь.у„ (17) наивысший порядок аппрроксимации равен гп+1. Коэффициенты метода (!7) наивысшего порядка находятся из системы (11) с р= =гп+1. При пг= 1 получаем метод второго порядка аппроксима- ции Ул Ул-1 ! 2 = — (Г'л+)л Ь У=2, —" = — (1901), — 2774), л+ 261Ц„л— 720 1274~л-л+ 251~л-л) гп 5.
называемый методом трапеций. При т=2, 3, 4 получаем соответственно следующие методы (т+1)-го порядка аппроксимации: т 12 = — (57 + 81„, — 7,,), р = 3, = — (97'„+19~,,— 57', а+уа а), Р=4, т 24 = — (251(. + 845);, — 254~„а+ 108~. а — 197 а), 720 У=5. Выписанные выше неявные методы содержат искомое значение нелинейно, поэтому для их реализации необходимо применять итерационные методы. Например, для неявного метода Адамса четверного порядка используется итерационный метод Уг$11 = — (91 (1, У"') + г э4 "' л + 197 (га-ь Ул-э) — 5/ (га-а Уа-а) + 7 (га-а Уа-а)), (18) где н — номер итерации, з=О, 1, ... В качестве начального значе- ния у„'1 можно взять решение, полученное с помощью явного ме- тода Адамса третьего порядка, т.
е. метода Угаг т 12 ~ = — (93~(1-а~ у-г) — Щ(!-а у-а)+5~(1 -а у-а)) (19) Записывая (!8) в виде У вЂ” т 7 (йь У~н)+ Р, 9 4. Сходимость и оцениа погрешности многошагового разностного метода *) 1. Уравнение для погрешности. Для задачи Коши — "=1(1, и), 1)0, и(0) =и, дг *1 Прн первом чтении этот параграф можно опустить. 236 получаем, что если ~ — ~ (М, то итерационный метод сходится д71 ду~ зтм при условии — (1, которое выполнено при достаточно малом т. 8 Если в (!8) ограничиться только одной итерацией з=О, то получим метод, называемый методом предиктор — корректор (предсказывающе-исправляющий). рассмотрим т-шаговый разностный метод ОУл+ ~Ул-1+ "° + яУа-га + Ь|$ (1а-о Уа — к) + ' ' ' + Ьл! (1а- а, Ул-пд1 (2) где л=т, ги+1,..., заданы начальные значения у„у„..., у„,.
В настоящем параграфе выясняются условия, при которых сходится метод (2) и даются оценки погрешности г„=у„— и(1„) в любой момент времени 1„=пт, ц)гл, через начальные погрешности з„г„..., з, и через погрешность аппроксимации. Получим уравнение, которому удовлетворяет погрешность г.= =у„— и(Г„).
Подставляя в левую часть уравнения (2) вместо у, выражения и(1~)+гь )=п, и — 1,..., и — гл, получим аЬга+а,г„+ ... +а,„г„,а ааи„+а,и„,+ ... +а„,и „, т т + Я((а, Уа) + Ц (1а-о Уа-1) + ° ° + Ч (1а-а, Уп-~а) ° Далее, добавим к правой части этого уравнения и вычтем из нее выражение Ь,'1(1„, и„)+Ь|(1„о и„,) г... +Ь„((1„„, и„).
Тогда уравнение для погрешности примет внд 4)та+ 1а-1+ "+~т а-т,„+ (3) п=т, т+1, где через ф „ обозначена погрешность аппроксимации ааи„+а1и„,+ ... +а,„и„ фа- а— + т +Ь 1'(1а, и„)+ЬД(1„ми„1)+ ... +Ь 1(1„, иа ) (4) н через ~р„— функция д„= ЬЯ ((а, Уа) — 1 ((„иа)) + Ь, (1(1„о У,,) — ~ (1, „, и,,)) +... ... +Ьт 6(1 У 4) — 1(1а- ° и - )) (5) Погрешность аппроксимации ф„„оценивалась в п. 2 $3, где были найдены условия р-го порядка аппроксимации. В частности, при выполнении этих условий ф„„-+-О при т-1-0. Функция ~р„„, входящая в правую часть уравнения (3), зависит нелинейно от погрешности гь 1=а, и — 1, ..., и — т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
