Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Могут оказаться равными нулю и другие коэффициенты Ь„, но не все, так как по условию Ь,+Ь,+...+Ь =1 (см. (3) из 33). Пусть Ь,=Ь,=... ...=-Ь,,=О, Ь;ФО, 0<)~т, Тогда пз (20) получим а„д~ + а,ч'" '+ ... + е,„ ";4 + -т",а Отсюда видно, что прн больших о функция 1л(о) ведет себя как "о ь / Следовательно, для любого достаточно большого по модулю числа р (в том числе н для 1л, лежащих в левой полуплоскости) найдется корень о уравнения (13) с ~д~ )1, Доказано (см. [37] и указанную там литературу), что среди неявных линейных лгногошаговых л1етодов нет А-устойчивых методов, имеющих порядок точности выше второго.
Примером А-устойчивости метода второго порядка точности является симметричная схема (19). 254 имеет четвертый порядок точности и А(а)-устойчива при некотором а>0. 5. Чисто неявные разностные методы. В настоящее время при интегрировании жестких систем уравнений широко используется метод Гира (37), в основу которого положены чисто неявные многошаговые ревностные методы высокого порядка точности. Разностный метод л ~~; а„ул, = т1'(1„, у,) (22) называется чисто неявная Он является частным случаем не|ода (2), когда Ь,=Ь,=...=Ь =О, Ь,=1.
Для отысканвя у„получаем из (22) нелинейное уравнение »1 аоул — т~(1л, у„) = — '~~', алу, в, А=1 (23) которое можно решать тем или иным итерационным методом. Условия р-го порядка аппроксимации (9), (10) из 3 3 в случае метода (22) принимают вид л3 ~л Ш а = — ~~~ ~ам '~ ~йах= — 1, '~~ и'ил=О, 1=2, 3, ..., р. (24) Отсюда видно, что наинысший достижимый порядок аппроксимации чисто неявного гп-шагового метода равен т. Упомянутый выше метод Гира использует чисто неявные схемы наивысшего порядка аппроксимации. Система уравнений (24) для определения ж.
В связи с этим было введено еще несколько определений устойчивости, которые являются менее ограничительными, чем определе. ние А-устойчивости. Разностный метод называется А(а)-устойчивым, если область его устойчивости содержит угол (агд ( — р) (<а, р=тХ. гл 1 В частности, А~ — ~-устойчивость совпадает с А-устойчивостью.
(2 Доказано, что ни для какого а не существует явного А (а) -устойчивого линейного многошагового метода. Построены А(а)-устойчивые неявные методы третьего н четвертого порядка точности. К ннм относятся, в частности, чисто неявные многошаговые ревностные схемы, у которых правая часть 1(1, и) вычисляется только при 1= =1„, а производная и'(1) аппроксимируется в точке 1„по нескольким предыдущим точкам. Например, схема ул ул 1+ ул л ул-л+ ул-л ~(1 ) (21) 1хт козффициентов а„..., а,„метода наивысшего порядка имеет вид а,+2а,+...+та = — 1, а, + 2'а,+... + т-'а „= а,„ (25) а, + 2"а,+...+ т"а„=О. Эта система однозначно разрешима, так как ее определитель отличен от нуля.
При т=1 метод (23), (25) совпадает с неявным методом Эйлера. При т=2 и т=З получаем методы з ! — у, — 2у„, + — у. = т) (1,„ул), 2 2 (26) !! з ! — у.— Зу.-.+ — у.— — — у- =т! (!. у.) (27) где 9=т).. Ему соответствует характеристическое уравнение — — р)ра — 2а+ — =О.
3 ! (29) 2 Наы нужно найти множество точек 6 комплексной плоскости ц = ц, +!йь для которых оба корня дь, (!т) уравнения (29) нс пре- восходят по модулю единицу, Границей области 6 является множе- ство таких точек и, для которых ~д~ =1, Выразим нз уравнения (29) параметр р, через переменное д, т. е. запишем = — — 2д '+ — 3 2 (30) Отсюда видно, что если ~д~ =1, т. е. а=а-", то и = — — 2есч + — ен!.
3 ! ! 2 2 (31) При изменении ар!.умента гГ от 0 до 2п точка 9 описывает замкнутую кривую Г, симметричную относительно действительной оси имеющие, соответственно, второй и третий порядок точности, При и! =4 из (23), (25) получим схему (21).
Для практических расчетов используются аналогичные методы вплоть до десятого порядка точности. Важна отметить, что чисто неявные разностные методы обладают хорошими свойствами устойчивости, позволяющими использовать их для решения жестких систем уравнений.
Рассмотрим более подробно метод второго порядка (26) и найдем область его устойчивости. Для модельного уравнения (4) метод (26) принимает вид 3 ! — у, — 2у,, + — у„, = иу„, 2 2 (см. рис. 7). Для точек )А(д), расположенных снаружи от этой кривой, выполнено условие !с)~ <1, поэтому область устойчивости 6 метода (28) представляет собой внешность кривой Г. Точки, расположенные внутри Г, составляют область неустойчивости.
Обозначая х=соэсс,можно переписать (81) в виде !А= (1 — х)*-~-!У! — х'(2--х), откуда следует, что вся кривая Г расположена в правой полу- плоскости. Поэтому область устойчивости метода (26) целиком содержит левую полуплоскость и тем самым метод (26) является А-устойчивым. Исследуем аналогичным образом область устойчивости метода четвертого порядка (21).
/та Записывая характеристическое уравнение в виде р = — (28 — 484 '+Збд ' — 164 адни ') Рис. 7. Граница устойчивости метода (26) и полагая с)=е ', находим уравнение границы, разделяющей области устойчивости и неустойчивости: Р = — — (1 — х)'(Зх+ 1) +- 1 (бх' — 16х'+ 1бх — 8), г'! — к' 3 3 где х=созср (см. рис. 8). В отличие от предыдущего примера, имеются точки границы, расположенные в левой полуплоскости. Поэтому метод (21) не является А-устойчивым. Найдем теперь значение а, м,,,' С':,эск.,' .;;;, при котором метод (21) А (а)- Р~ ',, ',;.;,' Я'~~~:,.
устойчив. Для этого достаточно .'Ф : "".' найти угол се, который образует касательная 7 (см. рис. 8), профст; ,,;,". ходящая через точку (О, 0), с й' ' . Фо отрицательным направлением ОСИ )А,. Обозначим ра(х) = — — (1 — х)'(Зх+ 1), (32) Рис. 8. Граница устойчивости мото. да (2!) р,(х)= к (бха — 16х'+15х — 8). 3 Условие касания у с границей определяется следующим уравнением относительно параметра х: Р,(х) И, (к! Ра(х) Ра(х! 257 9 А. А. Самарский, А.
В. Гуана Из (32) получим ро(х) =8х(1 — х)', — 8к~ + ! 6хз — 4к~ — 8к + 5 р, (х)— г ! — х' (34) Уравнение (33) после подстановки в него выражений для р,, р„рм р, из (32), (34) и приведения подобных членов сводится к линейному уравнению х — 0,2=0. Прн х=0,2 из (32) получим 4' )Г24 699 р 3 ° 5~ 3 ° 5а так что 1ясг= — '= ))'6 Иг 4Г6 699 ра 5Г2 Поэтому метод (21) А(и)-устойчив, где а=агс16 16=68', В заключение отметим, что подробное изложение численных методов решения жестких систем дифференциальных уравнений содержится в книгах 126, 371.
ЧАСТЬ П! РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Здесь излагаются приближенные методы решения краевых задач для уравнений с частными производными. В основе этих методов лежит сведение дифференциальной задачи к системе линейных алгебраических уравнений путем замены дифференциального оператора разностным. гллвл ВНОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 9 1. Примеры разностных аппроксимаций Различные способы приближенной замены одномерных диффе- ренциальных уравнений разностными изучались в 5 4 ч.
1. Напом- ним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом А, т, е. множество точек со<,=(х< —— й, <=О, +-1, <-2,...). Пусть и(х) — достаточно гладкая функция, заданная на отрезке и,— и, и,.— и,, (х, „х,+,). Обозначим и<=и(х<), и,,= ", и-. = з и. = м< й< 2Ь Разностные отношения и„„и-., и; называются соответственно .<,< правой, левой и центральной разностнымн производными функции и(х) в точке х,. Каждое из этих разностных отношений аппроксими- рует и'(х) в точке хь т. е. при фиксированном х< и при А-<-0 (тем са- мым при 1-<-«и) пределом этих о~ношений является и'(х,), Проводя разложение по формуле Тейлора, получим и„х — и'(х,) = 0,5ди" (х,) + 0(/Р), и-,, — и' (х<) = — 0,5йи" (х<) + 0 (<<'), и — и' (х<) = 0 (1<').
Отсюда видно, что левая и правая разностные производные ап- проксимируют и'(х) с первым порядком по А, а центральная раз- 299 ностная производная — со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная иих — и- с ис 2и,+ ис икх,с л л* аппрокснмирует и" (х,) со вторым порядком по й, причем справед- ливо разложение и-„,— и" (х;) = — иссс(хс) + 0(й'). Рассмотрим дифференциальное выражение 1.и = — с Й(х) — 1 сСх ~ ах 1 с переменным коэффициентом Й(х), Заменим выражение (1) раз- ностным отношением ис — ис л (2) где а=а(х) — функция, определенная на сетке ас,.
Найдем условия, которым должна удовлетворять функция а(х) для того, чтобы от- ношение (аи-„), с аппроксимировало (Йи')' в точке х, со вторым по- рядком по й. Подставляя в (2) разложения и,,с =и; + — и;+ — ис + 0(й ), л " л' 2 б л " лс и-„,. = и,'. — — и; + — й + 0 (/са), где и,'=сс'(х,), получим Л 2 б С другой стороны, 1.и= (Йи')'=Йсс"+Й'и', т, е. С ас„— ас,;, с ас„+ас сс 2 б Отсюда видно, что 1„и — 1лс=О(й'), если выполнены условия — '-=Й'(х;)+О(/сс), '"' ' =1с;+0(йа). (3) л Условия (3) называются достаточньсхси условияхси второго порядка аппроксимации.
Прн ссх выводе предполагалось, что функция и(х) имеес непрерывную четвертую производную и Й(х) — диффе- 260 ренцируемая функция, Нетрудно показать, что условиям (3) удо- влетворяют, например, следующие функции: ил = 0,5 (й(х;) + й (х;,)), а; =й(х; — 0,5й), а;=''г'/г(х;) й(хт,), Введем на плоскости (х„х,) прямоугольную сетку с шагом й, по направлению х, и с шагом й, по направлению х„т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
