Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 50
Текст из файла (страница 50)
множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному х такую же, как и в $3, т. е. шь=-(х,=(й, 1=0, 1,, Л', пЛг=1), и сетку по переменному ге шагом и, котору>о обозначим ш,=(1„=и с, п=0, 1,..., К, Кт=Т). 272 где М вЂ” постоянная, не зависясцая от й. Замечания. 1. Из доказательства видно, что конкретный вид коэффициентов (5), (б) не впаяет из спрзведливасть высказанного утверждения, нежно лишь выполнение условий (8), (9), (19).
2. Можно ослабить требования нв гладкость коэффициентов д(х), а(х), 1(х) и решения и(х), однвка при этом вприорные оценки вида (21) становятся бесполезными, тнк как парма(ф (с<к» ма, км и не стремнтьсн к пулю. Дакэзвтельство схадимости в классе рзэрыенык коэффициентов и в слу ~зс нерзвномернык сеток, основанное нз аценкзх погрешности у,— н(х;) через слабые нормы цогрешнасти вппроксимзции фь нзпример нормы ч-1 вида 1Щ1= ~~~~ Й Я аф1, можно найти в 132). >---т 1=1 Точки (хо 1„), 1=0, 1, ..., й1, и=О, 1,..., К, образуют узлы пространственно-временнбй сетки аа,— -огхХсо, (см.
рис. 1О). Узлы (хо г„), принадлежа!цис отрезкам 1„= (0(х(1,1=0), 1,= (х=0,0 =1~ и . Т), Уг= (х=1, 0(! =. Т), называются граничными узлами сетки о!х„а остальные узлы — внутренними. На рис. 10 гра- т ничные узлы обозначены крестиками, — !х а внутренние — кружочками. тп Слоем называется множество всех узлов сетки ом „имеющих одну и ту же временнбю координату. Так, и-м слоем называется множество узлов а л х, х (х„г„), (х„1„),..., (х, 1„).
Рис. !О. Простравственно- Для функции д(х, !), определенной на временная сетка ыл,, сетке ыг „ введем обозначения и!= =у(х„1„), т ' хл! Ьт Иногда для упрощения записи индексы ( и и будем опускать, обо- а а значая у,= усн у-„„=и-„„и /"хг-ога 7)яА~н) !трон лот) /хг, Га) !хг ч "'а) 7!тнта) / тгчн и) рг; Гл-;-!) Й~-! Га~!)(Х' Га~!)(Хт-Нтаеу гчн л) г Рис.
! !. Шаблоны рааностных схем: а — явная схема; б — чисто неявная схема; в — симметричная схема; г — трехсловная схема Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (х„(„), введем шаблон, изображенный на рис. 11, и и состоящий из четырех узлов (х; „г„), (х„1„), (х„г„ч,). Производную ди)д! заменим в точке (хо 1„) разиостным отношением у!,н а производную д'и)дх' — второй разностной производной у-„"„с Правую часть 1(х, !) заменим при- 273 ближенно сеточной функцией ~р",. в качестве ~р,". можно взять одно из следующих выражений: с,„к,чу — Ш ~ 7(х,7)йх.
хии 7(хь 7,), — ~ 7'(х, 1,)йх ь| "$-к и В результате получим разностное уравнение н", у", ии1 у,"+ и,, ч — + чч ~ а' см 13 и зуд + уп + чч ° т /Р 1=1, 2,, Лг — 1, и=О, 1,..., К вЂ” 1, ЙЛ'=1„Кт=Т, (6) у,"=рд(4), ум=из(г„), и=0, 1, 2, „, К, у',=,(х;), 1=0, 1, Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальнымн условиями у', = и,(х ), 1=0, 1,..., Х Если решение у,", 1=0, 1, ..., Л', на слое и уже найдено, то решениеу;" на слое н+1 находится по явной формуле у,"."'=у";+ т (у„-„;+ ср ) 1=1, 2 ° ..
У вЂ” 1 (7) а значения у,"" = р, (1,„,), уй"= и,(1„„,) доопределяются из граничных условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения у; ' при заданных у, требуется решать систему уравнений. Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность г,"=у, — и(х,, 7„) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) — (3). Подставляя в (6) у~ =х,"+и(хь 1„), получим 274 которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (хь 1„) с первым порядком по т и вторым порядком по й при условии, ~то разность чч" — 1(хь 1„) имеет тот же порядок малости. Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия — в граничных узлах сетки.
Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей, В данном случае разностная схема имеет вид уравнение для погрешности т И~ 1=1, 2,, Лг — !, п=О, 1,, К вЂ” 1, ЬЛ'=1, Кт=-Т, г,",=ам=О, п=1, 2,, К, г; =О, 1=0, 1, ..., Л', (8) где чч = — и~,„+ и-„,. + <Г; — погрешность аппроксимации разностной схемка (6) на решении задачи (1) — (3), ~р"; =0(т+И'). Можно оценить решение г," уравнения (8) через правую часть ф"; н доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по т и вторым — по (ь Однако это исследование мы отложим до 5 3 гл, 3, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник.
Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии т(0,5й', означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым. Рассмотрим уравнение к~1 .л (9) т Р т. е, однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения уравнении (9), имеющие вид р" (г!) Вленьт (! О) где ( — мнимая единица, гр — любое действительное число и в — число, подлежащее определению.
Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на е"", получим д — ! ег'э — 2+ е мт т И1 откуда найдем Ч = 1 — 47 51 пй —, 7 = — . .,Ьр т (11) 2 И' Начальные условия у';(<р) =ек"', соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого гр множитель д станет по модулю больше единицы, то решение вида (!0) будет неограниченно возрастать при и-+со. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же ( ~) ! (! длн всех действительных ~, то все решения вида (10) ограничены при любом п и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешностн (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении и.
Такие разностные схемы называются неустойчивыми. Для уравнения (9) неравенство (д)(! выполняется согласно (! 1) при всех ~р тогда и только тогда, когда 7~0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия т(0,5)г. Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устой~изыми. Следовательно, схема (6) условно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид т/й'~0,5.
Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, Л=10--'. Тогда шаг т не должен превосходить 0,5 10-', и для того чтобы вычислить решение у>" при 1=1, надо взять число шагов по времени а=т '~2.10', т. е.
провести не менее 2 1О' вычислений по формулам (7). В следующем пункте будет показано, что многие неявные схемы лишены этого недостатка и являются устойчивыми при любых шагах Ь и т. Такие схемы называются абсолютно устой ~ивыми. 3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (хь 1„), (х, „1„„,), (хь 1„+,) (см.
рис. 11, б) и имеющая вид лы .Л й+1,~ «ы ан % Уг У1~.~ У~ + Уа-1 л +г, (! 2) т а1 1=1, 2,..., л! — 1, а=0, 1,..., К вЂ” 1, уо р1 ( 1) уй !с2 ( .1) и 0 1 ' К 1 у,'=и (х;), 1=0, 1, ..., М. Здесь ~р," =)(хь 1„,)+О(т+й'). Схема имеет первый порядок аппроксимации по т и второй — по й.
Решение системы (12) нахо- дится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с а=!. Одна- ко теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения у,' по л известным у; требуется решить систему уравнений уу,",'.,' — (1+27)у";"'+ уу,";= — г,", 1= 1, 2, ..., Л! — 1, (13) =)т (1 ) у ' =р (1е-~) где Т=т/)г', г', =-у~ +тчч. Эту систему можно решать методом прогонки (см. ~. 7 $4 ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
