Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 48
Текст из файла (страница 48)
е. множество точек тех — ((хт х ) ! хт — (йт ха — /йа' ( ) 0 ,' '2,...) (см. рнс. 9), н обозначим и;,; — 2ип -)- и; А,х,.н йт 1 и;;, — 2ип + и,.;, «,х„н Ьа Рис. 9. Сетка ыл и патпточеч- ный шаблон Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выраже- ние Ь,ин =и-„х, + и„-, н (5) аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком, т. е. А„ио — Еи (х,', ха) = О (й,') + О (/~,*). Более того, для функций и(х„х,), обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо разложение йт даи (х', х~) йа д'и (х'„ х~а) дх~ ! 2 дхаа Разностное выражение (5) называется пятпточечным разностныи оператором Лапласа, так как оно содержит значения функции и(х„ х,) в пяти точках сетки, а именно в точках (х'„ х.,), (х,' ',х,'), тхт (х,', х, ) (см, рис.
9). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора. Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шаблонах, содержащих большее число точек. 261 Заметим, что если положить а,=й(х,), то получим только первый порядок аппроксимации. В 2 2 будет рассмотрен регулярный метод получения разностных аппроксимаций вида (2). В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппроксимацию оператора Лапласа да и д'и 1и = —,,-+ —, (4) дхт дх„' 2 2. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом 1.
Построение разностной схемы. Задачи математической физики формулируются в виде основного дифференциального уравнения и дополнительных (начальных, граничных) условий, обеспечивающих существование и единственность решения. Типичными примерами являются: задача Дирихле для уравнения Лапласа, задача Коши и смешанные задачи для уравнений параболического и гиперболического типов. Под разносгной схемой понимают совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное уравнение и дополнительные условия исходной дифференциальной задачи.
Существуют различные способы построения разностных схем. В этом параграфе будет рассмотрен один из способов, носящий название интееро-интерполяиионного метода (или метода баланса) построения разностных схем. В качестве примера рассмотрим применение интегро-интерполяционного метода к построению разностной схемы следующей краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка: (й(х)и'(х))' — д(х)и(х)+1(х) =О, 0<х<1, (1) (2) — И(0) и'(0) + би(0) = р„и(1) = рн где н(х), д(х), 1(х) — заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям й(х) '= А.)0, д(х) = О, и (1= О, р,„р,,— заданные числа При сформулированных предположениях существует и единственно решение и(х) задачи (1), (2).
Будем считать, что это решение является достаточно гладким. Уравнение (1) можно трактовать как уравнение установившегося распределения температуры и(х) в стержне длины 1, на одном конце которого (х= 1) поддерживается заданная температура рь а на другом (х=О) происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (см. [41)). При этом й(х) — коэффициент теплопроводности, — н(х) и'(х) — тепловой поток, коэффициенты а(х), 1(х) характеризуют плотность тепловых источников, Для построения разностной схемы введем прежде всего на отрезке [О, 1) равномерную сетку с шагом и, т.
е. множество точек в =(х,=й, 1=0, 1,..., )У, ЬИ=1). Обозначим х,. а=х,-4-0,5й, ш(х) =й(х)и'(х), ш,,а=в(х; „,) и проинтегрируем уравнение (1) на отрезке [х; „„х,„„,), Тогда получим уравнение .~и'/з Й+~, пчхи — и, и — ~ г)(х)и(х)йх+ ~ 1(х)йх=О, (3) к, .ч у которое представляет собой уравнение баланса тепла на отрезке 262 [х, и„х<+„Д. Далее, заменим интеграл кои д(х) и(х) ах К! у Х,+у его приближенным значением и; ~ !7(х)дх и введем обозначения сч кои йии ! с а!= — ! а(х)ах, ср;= — ! 7(х)г(х.
! (4) х;-н сч В результате вместо уравнения (3) получим уравнение ь (5) Выразим теперь ю, „, через значения функции и(х) в точках сетки. Для этого проинтегрируем соотношение и'(х) =!е(х)/й(х) на отрезке [х, ь х,). Тогда получим к! Х! Г в(х) Г дх и; — и;!,= ) Йх из ,) а « '* ,) ь (.! ' сп 1 Обозначая (5) и — и. 4-1 получим ю, и, ~ а! =а;и-„и и;„.„,=а,+,икь Подставляя эти выражения в уравнение (5), получим разностное уравнение, содержащее значения искомой функции в точках х„ х„,: ! — (а;„и„х — а;и- ) — !(;и!+<р;=О хх или в сокращенной записи (аи„-), ! — Аи, + ~р! = О. (7) Это уравнение по своему построению является разностным аналогом основного дифференциального уравнения (1).
Записывая уравнение (7) во всех точках сетки, в которых оно определено, т. е. при(=1, 2,..., й! — 1, получим систему из !У вЂ” 1 линейных алгебраических уравнений относительно У+ 1 неизвестных и„и„..., и„. Два недостающих уравнения получаются путем аппроксимации граничных условий (2). Одним из этих уравнений является условие и = заз =!ко, а второе может быть получено интегро-пнтерноляцнонным методом. Для этого проинтегрируем основное уравнение (!) на отрез ке (О, хч,), где хи=0,56: км км ши — юо — ') а (х) и (х) к(х + ) ! (х) дх = О. (8) о о Полагая, как и ранее, в, „,=а~и;о получим при 1=1, что шоо†,и; „, Выражение для ш, следует из граничного условия при х= =0: ои,= — !к,+рио. Наконец, полагая к,, ку ) д(х)и(х)бх=и ~ д(х)дх, получим из тождества (8) разностное уравнение ки к~ а,и-„, — !)ио + р, — и, ~ д (х) бх+ ~ 1(х) г(х = О.
(9) Обозначая ку к/ б = ~ д(х)дх, сро= — ( г'(х)йх, (10) 2э4 перепишем уравнение (9) в виде — а,и„,+ (и+0,5йг(„) и,= р„+0,бар, Из этой записи видно, что полученное уравнение является разностным аналогом граничного условия — й(0) и'(0) + ри(0) = иь В дальнейшем решение разностной задачи в отличие от решения дифференциальной задачи будем обозначать буквой у, так что у,=у(х,), х,~ы,, Объединяя все уравнения (7), (9), получаем следующую разностную схему для задачи (1), (2): (ау-,)кх — Ау + чч= О, 1= 1, 2, ..., л! — 1, — а~у.,о+ (Р+О 5ЙЫо)уо=!к~+О 56~?о, Ук= Ро. При анализе разностной схемы (10)„как впрочем и любой другой разностной схемы, возникают следующие вопросы: а) существование и единственность решения системы линейных алгебраических уравнений (10); б) каким методом надо отыскивать это решение; в) какое отношение имеет система разностных уравнений (10) к исходной задаче (1), (2), иначе говоря, переходит ли разностное уравнение (10) в уравнение (1), если шаг сетки й стремится к нулю? Это вопрос об аппроксимации дифференциальной задачи (1), (2) разностной схемой (10); г) сходится ли решение у(х) разностной задачи к решению и(х) дифференциальной задачи при Й- О? На первые два вопроса можно ответить немедленно.
Разностная задача (10) является типичным примером задачи, которая решает- ся методом прогонки, изложенным в и. 7 3 4 ч. 1. Систему уравнений (10) можно записать в виде АУ,,— СУ,+ВУ,,= — Рн 1=1, 2,, )Ч вЂ” 1, Уо = н1У1 + Р ! Ум = нэух+, Рм где А;=аь В,=а; „С,=а,+а,+,+й иь Р,=й2ср„н«=0, ! й (Н1-(- О зрю) ! + йа, ~ (й + О 5йио) Из условий а,)0, ))~0, а,)0 следует, что С;= А,+В,>0, т. е.
выполнены условия устойчивости прогонки. Поэтому разностная задача (10) однозначно разрешима и ее можно решать методом прогонки по формулам (44) — (46) из 3 4 ч. 1. Вопросы аппроксимации и сходнмости обсуждаются в следующем параграфе. в 3. Исследование аппроксимации и сходимости 1. Аппроксимация дифференциального уравнения. В ~ 2 рассма- тривалась краевая задача (й(х)и'(х))' — у(х)и(х)+1(х)=0, 0<х<1, (1) — й(0)и'(0)+()и(0) =)хо и(1) =)хм (2) й(х) )с,>0, р~О, для которой ннтегро-интерполяцнонным методом была построена разностная схема (ау„-), ~ — Ау; + <р; = О, 1 = 1, 2, ..., Ф вЂ” 1, а1у«,а+ах=)хм ум =)хм (3) (4) где «~ — 1 а~= ! Г дх 1=1,2, ..., А(, й,~ й (х) «и« (6) 265 «ли «1>и — д(х)дх, гр;= — ( 1(х)с(х, 1=1,2...,, )ч' — 1, (6) й й «; «~-у )) =6+ 0,6М., р1=!1+ О,бйр., о,м О.Ы с(,= — ( а(х)((х, <рв= ') )(х)с(х.
0,5й,) 0,5й о о Обозначим через (.и(х) левую часть уравнения (1) и через х«у, — левую часть уравнения (3), т. е. Еи(х)=(й(х)и')' — у(х)и(х)+)(х), (,йу;=(ау„-)«,; — Ау;+!рь выполняется соотношение (ав„-)„и — (й (х) в' (х))' )„= 0 (й'). Если кроме того, докажем, что с(,=д(х,)+0(й'), <р,=~(х;)+0(й'), (9) то тем самым будет установлено, что оператор Е, аппроксимирует Е со вторым порядком по й, т.
е. Е„п,— Еп(х<) =0(й'), 1=1, 2,..., й! — 1. (1О) Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (б), (б). Проверим сначала выполнение условий (8). Обозначая р(х)=й '(х), получим к! 1 1 С !Р— — 1 р(х)дх=р! и+ — р! „+ 0(Ч), а; й у ° тн — 1 следовательно, Р; у а,=й! и —— !2 Р, и Аналогично +0(й!)=й, ', +О(/!).
Ьа Р! 12 Р! а„, = йи и — — —, + 0 (й ). й' Р~ з 12 Р~ О~сюда получим ""*+" =й(х!)+О(й), 2 ' и + 0 (й') = й' (к,) + 0 (1 '), т. е. условия (В) выполнены, Условия (9) выполнены в силу того, 266 Пусть п(х) — достаточно гладкая функция н п(х,) — ее значение в точке х, сетки ам=(х,=!й, 1=О, 1,..., Л', ЕМ=1).
(7) Говорят, что разностный оператор Е, аппраксимирует дифференциальный оператор Е в точке х=х„если разность Е,п,— Ев(х;) стремится к нулю при й — «О. В этом случае говорят также, что разностное уравнение (3) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1). Чтобы установить наличие аппроксимации, достаточно разложить по формуле Тейлора в точке х=х, значения в;„=в(х,-«й), входящие в разностное выражение Е,п«Большая часть этой работы проделана в 5 1, где показано, что при условиях й '=й'(х;)+0(й'), '" ' =й(х!)+0(й') (8) 2 что замена интегралов (б) значениями дь !', соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямоугольников с узлам в середине отрезка интегрирования.
2. Аппроксимация граничного условия. Исследуем погрешность аппроксимации разностного граничного условия (4). Обозначим 1еи(0) = — а,п„,+рп,. Если п(х) — произвольная достаточно гладкая функция, то очевидно 1ьп(0) = — й(0) и'(0)+ра(0) + 0(й), т. е. имеет место аппроксимация первого порядка по й. Однако если п=и(х) — решение задачи (1), (2), то разностнае граничное условие (4) имеет второй порядок аппроксимации, т.
е. — а,и,, + ~3и, — ц, = — й (0) и' (О) + ри (0) — р, + 0 (62). Докажем последнее утверждение, Используя разложения и„д —— (и,— и,)16=и'(х„,) + 0(ЕР), х,и — — 0,5й, а,=й„,+0(й-'), получим а,и„, = юи + 0 (й""1 = ц, + 0,56ш, + 0 (6') = =й(0)и'(О)+ 0,56(йи')' (0)+ 0(й'). Отсюда имеем 1„и (О) = — й (0) и' (0) — 0,56 (йи') ' (0) + ри, — и, + 0 (6') = = 1 — й (0) и' (0) + (Зи (0) — р,)+ 0,56 ! — (йи') ' (О) + Н,и,— АД + 0 (6') Учитывая граничное условие (2), получаем 1,и(0) =0 56( — (йи') '(0) +д,и,— ср,!+0(й'). Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразуем, учитывая уравнение (1), к виду — (йи') ' (0) + сК„и,— аь = — (йи') ' (0) + д (0) и (О) — ) (0) + + (г1,— а(0) ) и,— Ц(0) — ч4) = (д,— д(0) ) и,— (1(0) — ф,) . Из соотношений к,, Н,= ( д(х)йх=д(0)+0(6), п,=)(0)+0(6) о получаем 1ьи (0) = — о,и,, + (Ти, — рт = 0 (6'), что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
