Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Условная устойчивость является недостатком явного метода„так как вынуждает брать слишком мелкий шаг т. Например, если Х= = — 200, то условие (8) выполнено при т»0,01, и для того чтобы вычислить решение и(!) при !=1, надо сделать сто шагов по методу Эйлера, Неявный метод лишен этого недостатка, однако его применение к задаче (1) приводит к необходимости решения на каждом шаге системы алгебраических уравнений, в общем случае нелинейной. 2. Понятие жесткой системы дифференциальных уравнений. Многие из рассмотренных в $ 1 — 4 численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений переносятся без изменений на системы дифференциальных уравнений.
Однако в случае численного решения систем уравнений могут появиться дополнительные трудности, связанные с разномасштабностью процессов, описываемых данной системой. Поясним характер возникающих трудностей на примере системы, состоящей из двух независимых уравнений — '+атид —— О, — "' +а,и,=О, 1)О, (9) ч'! с! где а, и а,— положительные постоянные.
Система (9) имеет решение и, (О = и, (О) е-"', из (1) = и, (0) е "', 249 монотонно убывающее с ростом 1. Предположим, что аз гораздо больше, чем ао Тогда компонента и,(1) затухает гораздо быстрее, чем и,(1), и, начиная с некоторого 1, поведение решения и(1) = =(и,(1), и,(1)) почти полностью определяется компонентой и,(1). Однако оказывается, что при решении системы (9) разностным методом шаг интегрирования т определяется, как правило, компонентой и,(1), не существенной с точки зрения поведения решения системы. Например, метод Эйлера 6+1 в + пгял 0 (!О) где илг =сс,(1„), 1=1, 2, будет устойчив, если шаг т удовлетворяет одновременно двум неравенствам та,(2, та,(2. Поскольку аз» »а,>0, условие устойчивости приводит к ограничению т~2/аз. Приведенный пример может показаться искусственным, так как ясно, что каждое из уравнений системы (9) следует решать независимо одно от другого со своим шагом интегрирования т,, /'= 1, 2, т,~2/ап тз(2/аз.
Однако аналогичные трудности возникают н при решении любой системы обыкновенных дифференциальных урав- нений — =Ам, г(и щ (1 1) матрица которой имеет те же собственяые числа, что и матрица А. Сформулируем теперь определение жесткой системы уравнений. Рассмотрим сначала систему (11) с постоянной, т. е, не зависящей от 1 матрнцей А. Система дифференциальных уравнений (11) с постоянной матрицей А(гггМт) называется жесткой, если Ке ).ь<0, /с=1, 2,..., гп (т. е.
система асимптотическп устойчива по Ляпунову), 2) отношение гпах , 'Ке Ла1 г~емм з пйп (КеЛа1 1<зеро велико. ь!нсло з назыпастсп числом жесткости системы (11). Второе требование не указывает границу для з, начиная с которой система становпзсн жесткой. 250 если матрица втой системы имеет большой разброс собственных чисел. Предположим, например, что матрицу А системы (11) мотиио привести преобразованием подобия Я-'АЯ н диагональному виду. Тогда замена и=()в преобразует систему (11) в систему независимых уравнений йс — =Я 'А0с, ,(1 Если матрица А зависит от 1, та 11=21(!), й=!, 2, ..., т.
При каждом ! можно определить число жесткости шах ! кель(!) ! 1<1ечлл ю!и ! Ке лл !1)! ах~ л1 В этом случае свойство жесткости ма>нет зависеть от длины отрезка интегрирования. Система — =А(!) и ли Л1 называется жесткой на интервале (О, Т), если !СеЦ(т)(0, 11=1, 2,..., и, для всех !е= (О, Т) н число знр э Я велико. 1 1л,т1 Так же, как н в случае системы (10), нетрудно прийти к следую- щему выводу. Решение жесткой системы содержит как быстро убы- вающие, так и медленно убывающие составляющие. Начиная с не- которого !>О решение системы почти полностью определяется мед- ленна убывающей составляющей.
Однако цри использовании яв- ных разнастных методов быстро убывающая составляющая отрпца- тельно влияет на устойчивость, что вынуждает брать шаг интегри- рования т слишком мелким, Выход из этой парадоксальной ситуации был найден в примене- нии неявных абсолютно устойчивых разностных методов. Например, систему (10) мозква решать с помощью неявного метода Эйлера и" 11 лЛ лы л + а и","' =- О, ' -' + а и',"' = О, 1 1 1 который устойчив ири всех т>0.
Поэтому шаг интегрирования т здесь можно выбирать, руководствуясь лишь соображениями точности, а не устойчивости. 3. Нелинейные системы дифференциальных уравнений. Обобщим понятие жесткости на случай нелинейной системы — =)(1, и), 1) О, (! 2) Л'1 где и(!) =(и1(!), и,(!),, и (!)), т (1, и) = ()1 (1, и), /1((, и), ..., 1,„(1, и)) . Зафиксируем какое-либо решение и(!) системы (!2) и образуем разность г(!) =и(!) — о(!) между произвольным решением системы (!2) и данным решением и(!). Эта разность удовлетворяет следующей системе уравненяй: — = Ы (!) + (!)) — И и (!)) й = 1 2, ( 1 З) щ 25! Будем рассматривать г(() как малое возмущение, внесенное в основное решение о(1).
Проведем разложение по формуле Тейлора в правой части системы (13). Так как 1„(1, и) =('„((, и„и», ., и ), имеем т 1»((, и+ а) — !»(т, и) = ~~~ г! (») + 0((г(), ди. — 1 где через о(~г~) обозначены величины более высокого, чем первый, порядка малости по г. В результате разложения система (!3) примет вид — =А (1, и (()) г(() + о () г 1), (14) Н где через А((, и(()) = ' обозначена матрица с элементами д/(П» (~)) ди д/, (б и(»)) ан((, о(()) = ' ', 1,1=1, 2,, и.
ди; Отбрасывая в (!4) величины о((г(), получим так называемую систему уравнений первого приближения — () = А ((, и (()) си (() . (15) д( Система (15) является системой линейных лнфференцпальных уравнений относительно ш((), так как функция и(() задана, Определение жесткости системы нелинейных дифференциаль- ных уравнений связано как с данным фиксированным решением о((), так и с длиной отрезка интегрирования. Пусть Л,((), й=!, 2, ..., тн,— собственные числа матрицы А(», о(() ). Число жесткости з(() определяется как мах )йе Л (01 ва»мя пн'и (К»Л (01 1м»«» Система (12) называется жесткой на решении о(() и на данном интервале 0<(< Т, если 1) !хе Л„(() <О, й=1, 2,..., и, для всех (е=(0, Т), 2) число з.,р з(() велико.
яе(»,7) 4. Специальные определения устойчивости. При исследовании разностных методон для жестких систем уравнений обычно рассма- тривают уравнение ди — =Ли, ш 252 ж '~', (аь — рбь)у„ь=О, п=гп, гп+1, ..., (17) з=ч где М=тх — комплексный параметр. Если искать решения уравнения (17), имеющие внд и„=-о", то для о получим характеристическое уравнение ж 'Я (аь — ибь) д -' = О, 4=о (18) отлнчаюшееся от уравнения (3) тем, что его коэффициенты зависят от параметра р=ч1,. При малых ц корни уравнений (3) н (18) близки, Однако в дальнейшем мы не будем делать предположений относительно малости р. Кроме обычного определения устойчивости разностного метода (все корни характеристического уравнения (18) не превосходят по модулю единицу), в случае жестких систем используют и другие, более узкие определения устойчивости, Здесь мы рассмотрим два таких определения: А-устойчивый метод и А(а)-устойчивый мегод. Предварительно введем следующее понятие.
Облпстью устой юности разиостного метода (2) называется множество всех точек комплексной плоскости П=тХ, для которых данный метод, примененный к уравнению (16), является устойчивым. Рассмотрим, например, явный метод Эйлера ул~-1 Нн — ~ ((н~ рн) ° где Х вЂ” произвольное комплексное число, Свойства различных разностных методов изучают н сопоставляют на примере модельного уравнения (16).
Для того чтобы уравнение (16) действительно моделировало исходную систему (11), необходимо рассматривать его при всех таких Х, которые являются собственными числами матрицы А. Разностный метод (2), примененный к уравнению (16), имеет вид В применении к уравнению (16) этот метод принимает вид у,,= (1+И) р, р=тХ. Условие устойчивости ~ 1+ р) (1 для комплексного р= р,+1р, означает, что (р,+1)'+ р,'(1. Тем самым область устойчивости данного метода представляет собой круг единичного радиуса с центром в точке (-1, 0). Для неявного метода Эйлера — 1(1л~и зн+1) т областью устойчивости является внешность круга единичного ра- диуса с центром в точке (1, 0).
253 Разностный метод называется А-устайчивылй если область его устойчивости содержит левую палуплоскость Ке 1л(0. Отметим, что уравнение (!б) асимптотически устойчива при Вел(0. Поэтому сущность приведенного определения состоит в том, что А-устойчивый разностный метод является абсолютно устойчивым (устойчивым прп любых т>0), если устойчиво решение исходного дифференциального уравнения. Нетрудно видеть, что неявный метод Эйлера является А-устойчивым, а явный метод Эйлера — не является. Рассмотрим еще одношаговый метод второго порядка точности "- = О,б Ч (1...
у . ) + 1 (!., у.)). (19) Для уравнения (16) метод принимает вид 1+ 0,59 уаы = ууп, 1 — 0,5!л Отсюда видно, что !д! (1 тогда и только тогда, когда Кс 1л -О. Следовательно, метод (19) является А-устойчивым. При решении жестких систем уравнений было бы желательно пользоваться именно А-устойчивыми разностными методами, так как условия их устойчивости не накладывают ограничений на шаг т. Оказывается, однако, что класс А-устойчивых методов весьма узок. В частности, среди л~етодов види (2) не существует явных А-устойчивых методов. Для доказательства запишем характеристическое уравнение (18) в виде т ы-1 (20) Ь„д'а + Ь,д'"-'+ ... + Ь,„ Если (2) — явный ят-шаговый метод, то Ь,=О, а,~О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
