Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Это означает, что для любой и~Я, выполняется условие !!ш )!рви)у =)!и)(о. (3) (я1- о Требование согласования норм обеспечивает единственность предела сеточных функций при !)г!- О. Действительно, если длн и, не=Я, имеем 1)ш ))у;рои))о=О, 1нп !)у;ров))о=О, то согласно (3) 1Ц о !а) а ))рои — рос))о=)! (р„и — у,) + (у,-ров) !)ое ))рои-уо))о+ )!до — рос' о !!и — н,'(, =1нп )!ро(и — о)!'а=О, 1о1 — оо т. е. и=о. Пример 5, Сеточная норма /Ф '/> 1у1а= ! ч.'„й)у, !о~, согласована с нормой в (.з / з и 1у1= ) ! у(х) !во(х о Сеточная норма /ог ь Но 1у1,,= 'У', )уг!о, «)У=1 г=о не согласована ни с одной из норм для функций непрерывного аргумента, так как ряд Хяо„)уо!' может расходиться. Норма (=о 1у(а — — щах (уо! ож1МИ согласована с нормой в С. звв Пусть и(х) — решение исходной задачи (1) и ул(х) — решение разностной задачи (2).
О и р е д е л е н н е 1. Сеточная функция г,(х) =у,(х) — р,и(х), хе=ба, называется погрешностью разностной схемы (2). Подставим у,(х)=р,и(х)+г,(х) в уравнение (2). Тогда получим, что погрешность г,(х) удовлетворяет уравнению )лгл(х)=фл(х), х~б„ (4) где тул(х) =лр,(х) — 1.,(р,и(х) ) = — цл(х) — 1.,и,(х). (5) О и р е дел е н и е 2. Сеточная функция фл(х), определенная формулой (5), называется погрешностью иппроксимации разностной задачи (2) на решении исходной дифференциальной задачи (1). Преобразуем выражение для фл(х). Проектируя уравнение (1) на сетку бм получим рл(.и(х) =р4(х) илн, учитывая принятые обозначения, (1 и) л (х) =)л (х) .
Из (5) н (6) получаем лрл(х) = ( (1.и) л(х) — 1.ли„(х)! + (срл(х) — ~л(х) ), т. е. тлел (Х) = флл (х) + фл,л (Х), где флл(х) = (Е.и)л(х) -(.лил(х), флл лрл(х) -1л(х). (6) Лналогично определяются погрешность аппроксимации и порядок погрешности аппроксимации правых частей и дифференциального оператора. 3 а м е ч а н и е. Мы видели, что погрешность аппроисимации на решении представляется в виде суммы погрешностей аппроксимации дифференциального оператора и правой части. Однако порядок погрешности аппроксимации на решении ф может оказаться выше, чем порядок погрешности аппроксимации оператора ф, и правой части лр в отдельности. Нетрудно, например, показать, что разиостное уравнение Ал лт„-„,.= — чп ч, =1,+ — „1, !й А.
А. Саилрслла. А. В. Гулиа Определение Э. Функции лрлл(х) и флл(х) называются, соответственно, погрешностью аппроксимации дифференциального оператора 1. разностным оператором й, и погрешностью аппроксимац ии яра вой части. О п р е д е л е н и е 4. Говорят, что разностная задача (2) аппраксимирует исходную задачу (1), если Цл~1л — 0 при )Ь) — л0, Разностная схема имеет й-й порядок аппроксимации, если существуют постоянные й>0, М,>0, не зависящие от й и такие, что йфлл~М,)й!'.
имеет четвертый порядок аппроксимации на решения дифференциального уравнения и"(х) — 1(х), хотя дифференциальный оператор и правая часть аппроксимируются лишь со вторым порядком 3. Корректность разностной схемы. Сходимость. Связь между устойчивостью и сходимостью. По аналогии с дифференциальным случаем вводится понятие корректности разностной задачи. О п р е д е л е н н е 5. Разностная схема (2) называется корректной, если !) ее решение существует н единственно прн любых правых частях <ряс=Я» и 2) существует постоянная М,>0, не зависящая от й н такая, что при любых <рь~Яь справедлива <>цепка ~!уь!!»~~Мз~!<рь!~ы (8) Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно П, решения разностной задачи от правой части, называется устойчивостью разностной схемы.
Заметим, что требование 1) эквивалентно существованию оператора 1.»', обратного оператору Е„ а требование 2) эквивалентно равномерной по й ограниченности оператора с,л . Основным вопросом теории разностных схем, как впрочем и других приближенных методов, является вопрос о сходнмости. Сформулируем строго понятие сходимостн. О п р е д е л е н и е б. Решение разностной задачи (2) сходится к решению дифференциальной задачи (1), если при )й)-+О ~<~<у,— рьи ~<~<а О. Разностная схема имеет <а-й порядок точности, если существуют постоянные й>0, М,>0, не зависящие от и и такие, что !!уь — рь !!ь М,!й(ь. Часто для краткости просто говорят «разностная схема сходится», подразумевая сходнмость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи.
Справедлива следующая теорема о связи устойчивости и сходимости. Пуст< дифференциальная задача (1) поставлена корректно, разностная схема (2) является корректной и аппраксимирует исходную задачу (1). Тогда решение разносгной задачи (2) сходится к решению исходной задачи (1), причел< порядок точности совпадает с порядком аппроксимации. Доказательство следует прямо из определений. Действительно, ураннение для погрешности (4) имеет ту же структуру, что и разностная задача (2). Поэтому нз требования корректности следует оценка << гь !< 6 «~ М 2 ! ! <<>ь ! < ь (9) Поскольку константа !<, пе зависит от й, получаем, что при !<ф,<; 299 — О норма погрешности гь также стремится к нулю, т.
е. схема схо- дитсЯ. Если Ц,[[ь»М,[й[", то из (9) полУчим ~[г,[[,» М,М, ) й )', т. е. разностная схема имеет й-й порядок точности. Значение приведенной выше теоремы состоит в том, что она позволяет разделить изучение сходимости на два отдельных этапа; доказательство аппроксимации и доказательство устойчивости. Обычно более сложным этапом является исследование устойчивости, которое состоит в получении оценок вида (8), называемых априорными оценками. 3 а м е ч а на е. Теорема доказана я предположсннн, что решение Уь н правая часть еь измеряются а одной н той же норме. Однако, изменив соотаетстауюшне определенна, можно легка показать, что теорема остается спрапсдлнаай н и том случае.
когда решение язмеряется а одной норме, а правая часть — а другой (см., например, [321). ГЛАВА 2 ПРИНЦИП МАКСИМУМА йЛЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В 8 1, 3 изучается разностная схема для уравнения Пуассона в двумерной прямоугольной области.
В $ 1 формулируется разностная краевая задача и вводится каноническая форма записи разностных схем, удобная для применения принципа максимума. Такая каноническая форма пригодна не только для разностного уравнения Пуассона, но и вообще для любого линейного разностного уравнения. В 2 2 излагаются основные теоремы принципа максимума для разностных схем, записанных в канонической форме. В 8 3 принцип максимума применяется к исследованию сходи- мости разностной аппроксимации задачи Дирихле, В 9 4, 5 приводятся примеры применения принципа максимума к другим стационарным и нестационарным разностным задачам.
$ 1. Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона 1. Постановка разностной задачи. Рассмотрим задачу Днрихле для уравнения Пуассона: найти непрерывную в С=С! ~Г функцию и(х„х,), удовлетворяющую уравнению дап опп — + — = — 1 (х„х,), х = (.х„ха) — С, (1) дх'; дх', и граничному условию и (х) =И(х), хан Г, 1Ое 291 где 6 — прямоугольник, 6=(0<х,<1„0<х2<12), à — его граница, 1(х), р(х) — заданные функции.
Предполагаем, что 1(х), р(х) таковы, что решение задачи (1) существует, единст- венно и является достаточна гладкой функцией. При 1=0 получа- ем задачу Дирихле для уравнения Лапласа д'и д'и — + — =О, хе=6; и(х)=)х(х), хе=Г. (2) дх' дхе 1 2 Одним из основных свойств задачи (2) является выполнение принципа максимума: непрерывное в 6 и отличное от константы решение и(х„х,) может достигать своего максимального по модулю значения только на границе Г.
Отсюда следует, что справедлива оценка щах )и(хо х,) ( = щах )р(хо х,) ~, 6=6()Г, счхд Г означающая устойчивость задачи (2) по граничным данным. В следующих параграфах аналогичные оценки будут получены и для некоторых разностных схем, аппроксимирующих уравнение (2). Эти оценки помогут установить сходимость разностпой схемы для уравнения Пуассона (1).
Введем в 6 прямоугольную сетку й с шагами Ь, по направлению х, и й,— по направлению х„так что Й,=1,(Ж„Й,=1,;М„ где У, и Ю,— целые числа. Обозначим х' =й„х' =/й,. Сетка 1 й состоит из совокупности узлов х„= (х',', х'), 1=0, 1,, Жи (в =О, 1,..., М,. Для функций у, определенных на 11, обозначим уу =у(хи), у- и =(у;„,; — 2уи +. Уин фй,', ӄ— „и = (Ущы — 2УУ + Уса-1)Ж.
Задаче Дирихле (1) сопоставим следующую разностную схему: (3) Уса = р (х,', О), Усн, = р (х,', 1,), 1 = 1, 2, ..., М1 — 1, (4) Уад=р(0, х(), Ухи=)е((м х~'), /=1,2,, Уе — 1, Точки х;.„в которых записываются уравнения (3), принадлежат подмножеству ы=(х„)1=1, 2,..., Ж,— 1, 1=1, 2,..., Ж,— 1) сетки О, называемому множеством внутренних точек се~ки ь1. Совокупность точек у=(хкь ххи),'.,' () (хм, хм,)'=' ', 292 Обозначим через х точку х„— центральную точку шаблона, на котором аппроксимируется уравнение (!), а через Ш(х) — весь этот шаблон, т.
е, совокупность пяти точек х;„х,, ь х,,, Назовем окрестностью точки х и обозначим через Ш'(х) все точки шаблона Ш(х) за исключением точки х, т. е. Ш'(х) — это четыре точки х,„,л х;;,. Тогда уравнение (6) можно записать в виде А(х)у(х)=,Я~ В(х,й)у($)+Р(х), (6) аШ Чя1 где коэффициенты А(х), В(х,$) следующим образом: 2 2 А(х)= — "+ —, л' я~ 2 и праная часть Р(х) определены В (х, х~я, г) = — , 1 гг ' В(х, хсгяо= —, Р(х)= ~(хи). Л,' ' Обратим внимание на свойства этих коэффициентов: А(х) >О, В(х, $) >О, А (х) =,~~~ В(х, 9). Запись разностного уравнении 1кчи ио в виде (6) называется канонической формой разносгного уравне- 293 в которых заданы разностные граничные условия (4), называется границей сетки й.
На рис. 12 внутренние точки отмечены кружочками, а граничные — крестиками. Отметим, что угловые точки (О, 0), (1„0), (О, 1,), (1„1,) не участвуют в данной аппроксимации н поэтому не относятся ни к внутренним, ни к граничным точкам. По поводу разностпой схемы (3), (4) можно задать обычные вопросы о существовании и едннственности ее решения, о сходимости при й;~0, й; О, о способах решения. Эти вопросы рассматриваются в следующих параграфах. Здесь мы ограничимся лишь очевидными замечаниями о том, что построенная ц х> разностная схема имеет второй по.
Ряс. 12. Прямоугольная сетка рядок погрешности аппроксимации по Ь, и по Ь, и что она представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно у„, состоящую из (йг — 1) Х Х()Чт — 1) уравнений и стольких же неизвестных. 2. Канонический вид разностного уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
