Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Подчеркнем, что выполиение условий (3) (наряду с другими условиями, сформулированными в теоремах из 2 2) является достаточным условием корректности. Приведем несколько примеров монотонных разиостиых схем для иестациоиарпых уравиеяий. П р и и е р 1, Рассмотрим схемы с весами для уравнения тепло- проводиости да д'и д4 дк~ 0<х(1, 0<,'г<Т, (4) и(х,О) =и,(х), и(О, 1) =1л,(1), и(1, Г) =14,(1). Эти схемы подробио выписывались в д 4 из гл. 1 (см.
схему (!5) при Ч~," =О из 4 4 гл. !), поэтому мы ие будем формулировать разиостиую задачу в полной постановке, а приведем только одно 304 причем оператор (. удовлетворяет условию положительности коэффпциеитов А(х))0, В(х, $) )О, В(х)=А(х) — ~~~~ В(х, $).- О. (3) хашим Линейный оператор 1 называется монотонным оператором, если из условия Еу(х) = О для всех хеп(2 следует, что у(х) )О для всех хаий.
Поэтому разиостиые схемы, удовлетворяющие при всех хе=11 условиям (3), называются монотонными разностнылги схемами. Схемы, для которых условия (3) ие выполнены хотя бы в одиой точке хепП, называются немонотонными. В $ 2 было показано, что условия (3) обеспечивают моиотоиность оператора Е, выполнение прииципа максимума и корректность разиостиой задачи (1) в сеточной норме С: Ь~~п„=п- Ь()!. уравнение нн л ' =ау";,",+ (1 — а)у-,„, х (5) Найдем, при каких значениях параметров т, й, а схема (5) будет монотонной. Чтобы записать уравнение (5) в виде (1), (2), разрешим его относительно у," ~.
Тогда получим уравнение у7 ~ = ау (у",~'~ — 2у! ~ + у,-'~~) + (1 — а) у (у,", — 2у,'+ у";,) + у";, 2 = т//1~ или (1+ 2ау)у,"" = = (1 — 2 (1 — а) 7) у," + ау (у,",",' + у' ",) + (! — а) у (у'„+ у,",). (5) Отсюда видно, что в каждом узле х=(х„/„~,) шаблон Ш(х) состоит из шести точек, а окрестность Ш'(х) точки (х„1„,) состоит из пяти точек (х„ь1„+,), (хи 1„), (х, „1„). Условия положительности коэффициентов (3) сводятся к неравенствам 0<а<1, а>! — 1/(2т). Заметим, что схема останется монотонной н в том случае, если эти неравенства заменить на нестрогие, т.
е. потре- бовать 0 =а -1, а)! — 1/(27). (7) Действительно, выполнение одного из условий (7) со знаком равенства означает лишь, что окрестность Ш'(х) состоит не из пяти, а из меньшего числа узлов. Например, при а=О (явная схема) окрестность Ш'(х) состоит из точек (х„/„), (х, „/„) и условие монотонности (7) принимает вид (8) Если а=О, т/й'=0,5, то два из трех неравенств (7) выполнены со знаком равенства. В этом случае надо считать, что окрестность Ш'(х) состоит из двух узлов (х, „ /„).
Итак, схема с весами (5) является монотонной при условиях (7), а чисто неявная схема (а=!) монотонна при любых т и /!. Шести- точечная симметричная схема (а=0,5) монотонна при условии т(/!'. В $4 из гл. 1 отмечалось, что необходимым условием устойчивости схемы (5) является условие 1 ! а> — — —. 2 (9) заз Сопоставляя с (7), видим, что монотонность является, вообще говоря, более сильным требованием, чем просто устойчивость. В следующей главе будет показано, что условие (9) достаточно для устойчивости схемы (5), однако не в сеточной норме С, а в среднеквадратичной норме.
С помощью принципа максимума можно исследовать также устойчивость разностных схем с переменными коэффициентами. П р и м е р 2. Рассмотрим схему (25) из й 4 гл. 1: лм л р' = (ау„-)л,ь где а=ос, О(с, (а";~с„р," >с,)О. Переписывая это разностное уравнение в виде л 7 л л л ~, получаем, что схема монотонна при условии т (а",„+ а",) (рл, 1=1, 2, ..., А' — 1, в==О, 1, ..., К вЂ” 1, (1!) (ср, с (27) из $ 4 гл. 1), которое и является условием устойчивости данной схемы. Оно будет выполнено, если потребовать тсл ! — ( †. Илсл 2 Последнее неравенство совпадает с условием устойчивости, полученным в $4 гл, 1 при помощи принципа замороженных коэф- фициентов Получим априорную оценку решения задачи (10) через начальные значения дс при условии (11).
Предположим, что у," =уй О, п=б, 1,..., К, и обозначим 11ул1~„...> — — шах 1у".1. 1~с и-1 Тогда в силу неотрицательности коэффициентов уравнения (10) получим — '1 нГ" 1» — 'Ьл 11,„, Р", Р"с т ' т и, следовательно, Ьл" 1),.а, «Ь" 1~,.д < " <1Ь'1„.„г Рассмотрим теперь краевую задачу для уравнения первого порядка ди ди — + — =О, х>0, 1)0, дс дс (12) и(х,0) =и,(х), х)0, и(0, Ю)=р,(1), 8>0.
Известно, что решение и(х,() этой задачи переносится по характеристикам (=х+сопз1 с начальной прямой, т. е. и(х,1)= =и,(х — 1), если х>1 и и(х, 1) =р, (1-х), если х<й аоа Пример 3. В квадранте х>0, 1>О введем сетку с шагом й по х и шагом т по 1 и обозначим х;=1Ь, 1=О, 1,..., 1„=пт, и= =О, 1,..., у," =у(х., 1„).
Одна из простейших схем для уравнения (!2) имеет вид пы и и а у~ — гп у; — у;, + ' '' =О, (=12, ..., п=012, ..., (13) т ь у',.=из(х;), 1=0, 1, ..., у,"=рт(1„), п=1,2,... Записывая уравнение (13) в виде, разрешенном относительно у,".", получим у,""'=(1 — г) у",+уу,"„у= — '. Отсюда следует, что схема (13) монотонна при условии т~й. Пользуясь приемам, изложенным в ч 4 гл. 1, можно показать, чта условие т -'й и необходима для устойчивости схемы (13). Другая схема .лы1 л П 4 " + "*-" =о ь неманотонна при любых т и Ь. Более того, эта схема абсолютно неустойчива. Явная схема лы л Ю О '+ "' '' =0 26 имеющая второй порядок аппроксимации па й, также немонатаниа и абсолютно неустойчива. Если в последней схеме заменить У," на полусумму 0,5 (у,".„+у",,), то получим разнастную схему лыазай а и + "' '' — О, (14) 2Ь которая монотонна при т(й.
Однако указанная замена ухудшает аппроксимацию, погрешность аппроксимации схемы (14) является величиной 0(т+Ь')+0(Ь-"/т). В этом легко убедиться, если записать схему (!4) в виде где у", = (у,"„— у,",,)/(2Ь). П р имер 4. Рассмотрим еще одну схему для уравнения (12): у",, + у", = 0,5Ь ',уй (! 5) ки Здесь м,>0 — постоянная, не зависящая от т и Ь.
При т,=О по. лучаем абсолютно неустойчивую схему. Введение искусственного Звт добавка 0,5йч, у" в правую часть уравнения делает схему условхх,Е но устойчивой, понижая одновременно порядок аппроксимации по й до первого. Схемы, аналогичные (15) н аппроксимирующие уравнения газовой динамики, называются схемами с искусственной вязкостью (см. (36)). Записывая уравнение (15) в виде У"."=0,57(эΠ— !) У"..„+(1 — 07)У",.
+ 0,57(та+1)У", получаем, что условия монотонности (3) выполнены прн т,-»!, Таким образом, чем больше коэффициент искусственной вязкости тн тем слабее ограничение на шаги сетки, вызванное требованием устойчивости. Надо помнить, однако, что введение искус.ственной вязкости может существенно исказить поведение истинного решения задачи (12). Поэтому при практических расчетах коэффициент вязкости ъ„берут не слишком большим. $ 5, Монотонные разностные схемы для уравнений второго порядка, содержащих первые производные Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка и" (х)(-г(х)и'(х) = — )(х), 0(х(1, и(0) =п(1) =0 (1) ,и поставим задачу построить для него разностную схему, имеющую второй порядок аппроксимации и монотонную при любых шагах сетки й.
Очевидная схема второго порядка аппроксимации, которая получается заменой и'(х) центральной разностной производной, является монотонной лишь при достаточно малых й. Действительно, такая схема имеет вид ум~ и~ у~-~ у~н а~ — ~ — 2 + +г; а' 26 Гали У~= ~ + ~Ум~+ ( —, ~У~-~+1ь ь* ~л и~ . ~ь* зь~ Условия положительности коэффициентов сводятся к неравенствам О 5Ь(г;(<1 и выполняются, если 5~2/( шах ) г;(). Схема будет омам монотонной прн любых й только в случае г(х) = — О.
Прежде чем построить требуемую схему для уравнения (1), рассмотрим несколько частных слу чаев. Предположим, что г(х) ==: «О для всех к~(0,1) и рассмотрим схему с односторонней разностью уо, — эу~+ а;, ум~ й М ьч Ь Е ° .заа Эта схема имеет первый порядок аппроксимации и монотонна при любых й. Действительно, записывая ее в виде и учи!ывая неотрицательность г(х), убеждаемся в том, что условна положительности коэффициентов выполнены прн всех Л.
Точно так же, если г(х) «О, то схема у!„— 2у!+ у,, у! — у; /Р +г; а монотонна при любых 6 и имеет первый порядок аппроксимации. В общем случае представим функцию г(х) в виде суммы г(х)= =г,(х)+г (х), где г (х)=05(г(х)+/г(х) /))О, г (х)=05(г(х) — /г(х) !) «О. (2) Схема с «направленными разностями» + г«(х!) '" ' + г (х!) ' ' ' = — ~! (3) а« является, как нетрудно видеть, монотонной при любых и, но имеет первый порядок аппроксимации.
Изучим подробнее асимптотнку погрешности аппроксимации ф! = и-„!+ г, (х!) и«л + г (х,) и-, ! + Г! (4) этой разностной схемы, Пользуясь разложением по формуле Тейлора, получим и„-„!=и" (х!)+0(л~, и„,!=и'(х!)+ — и" (х!)+0(й!), и„-,. = и' (х;) — — и" (х;) + 0 (и'), ь Подставляя эти разложения в выражение (4) и приводя подобные члены, имеем ф; = (и!+)'!)'+ (г,(х!) + г (х!)) и'(х;) + 0,5й(г,— г ) и! + 0(п'), откуда, учитывая (1) и (2), получим ф! = 0,5!«!! г (х!) ~ и! + О (У!»). Отсюда видно, что несколько измененная по сравнению с (3) схема +г (х;) = — (! а имеет второй порядок аппроксимации.
Порядок аппроксимации не 309 уменьшится, если коэффициент( — (г (х!) ! заменим с точностью до Л 2 0(Л') положительным коэффициентом ! н! ! + О, 5Л 1 г (х!1 ! (6) Таким образом, разностная схема н;у-,„! + г, (х;) у, х + г (х!) у„- ! = — )! (6) имеет второй порядок аппроксимации на решении уравнения (1). Записывая схему (6) в виде =( — „,'+ '„*' ) „~ ( — "„, — „*' ).;, ~ ь убеждаемся в том, что она монотонна при любых т и Л. Для параболического уравнения ди дии ди — = — + г(х)— д! дхв дх монотонной при любых т и Л схемой является чисто неявная схема ли! и — ' = н;у;", ",.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
