Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Из этих оценок будут сразу следовать оценки погреш- ности гс через погрешность аппроксимации ср;, характеризующие сходимость и точность схемы (2), (3). Ы А. А. Сикорский, А. В. Гулим 321 Для того чтобы схемой (2), (3) можно было пользоваться, необходимо, чтобы уравнение (2) было разрешимо относительно д"+'. Введем оператор, уже рассмотренный в 3 1, а именно оператор второй разностной производной (Ау);= — у;„л 1=1,2, ..., й( — 1„уе — — ул =О. (5) Тогда схему (2), (3) можно записать в операторном виде ллг л + аАул" + (! — о) Ау" = грл у' = и', (б) л л Т л л л Т Где Ул = (Уг Уы ° ° Ул'-г) 'Рл = (%г ° ° г 'Рлг-г) и,(х,),..., и,(х,))т, или, что то же самое„в виде (Е+отА)у"л'= (Š— (1 — о) тА)у" + ар, и'= (и,(х,), где Š— единичный оператор. Разрешимость уравнения (б) относительно у" ' эквивалентна обратимости оператора В=Е+отА.
Оператор В будет иметь обратный, если потребовать 1+от)»>0, гг=1, 2,, ((( — 1, (7) где )»>Π— собственные числа оператора (5). В дальнейшем всегда будем предполагать, что неравенство (7) выполнено. Заметим, впрочем, что условие разрешимости (7) следует из полученного далее условия устойчивости схемы (2), (3). 2. Устойчивость схемы по начальным данным.
Переходя к исследованию устойчивости схемы (2), (3), будем искать ее решение в виде разложения по ортонормированному базису (рл)л гг ных функций оператора (5). Явный вид собственных чисел и собственных функций 1», дается формулами (12), (14) из 3 1. При каждом л решение у' =у(хн („) можно представить в виде ге-г д(хо Рл) =р', с»((л) р»(х;). л=-г Правая часть гр,". уравнения (2) также допускает разложение а-г гр (хг, (л) = ~хр ~срл (гл) р» (х ).
(9) +(1 — а) ) лс» (Рл) — гр» ((л)1 = О. В силу линейной независимости функций и»(х) отсюда следует ра- 322 Здесь с„((„), гр„((„) — коэффициенты Фурье функций у(хн г.), гр(х„(„) соответственно. Подстанляи (8) и (9) в уравнение (2) и УчитываЯ, что (Р,(х)) л= — Хл(г»(х,), полУчим Г с» (Е,,) — с» ((л) ~Ч' ,рл(хг) ~ " " + о),»с»((ллг)+ » г венство нулю выражений, стоящих в квадратных скобках, т. е. сл (1„ ) — сл (1„) + оЛгсь (т +~) + ( 1 — о) Ллсл (1„) =фл(1„), о=0,1,...,К вЂ” !, )т=1,2,...,о" — 1, (1О) где 1 — (1 — о) тЛл дл (12) 1+ отЛл Выражение, стоящее в знаменателе, положительно согласно (7).
Учитывая (8) и (11), представим решение у",.'т задачи (2), (3) в виде М-т у = Х ! длсл(т )+ фл(1) ) )тл(хд. (13) 1 + отЛ„ Обозначая Л-т У; = у~ длсл(1 ))лл(х), л т л'-т У ~ = 2'' чъь (гл) )лл (тй 1+ отЛл л (14) получим, что У,""'=Ую" + У~" Оценим по отдельности нормы Функций У" ' и У"". Из (14) в силу ортонормированности базиса (и„) получаем Ф-т Ф-г ))Улм)! =~ (У~ ) "=3 д'(сл(1 )) и, следовательно, ул — 1 1у"'")'( '~', (сл(1„))т шах )д»~=1)у") шах )дл), 1~лам-1 оклеил-т Потребуем, чтобы выполнялось условие )д,)~1, л=(, 2, ..., Л1 — 1.
Нетрудно видеть, что (!б) эквивалентно условию 1 о~ )— —— 2 тЛ, (10) 333 Уравнение (10) при каждом й представляет собой разностное уравнение первого порядка относительно с'"'=с,(1„). Чтобы выделить единственное решение, надо задать начальное условие с,(0) = = (у", р.) Из уравнения (10) получаем сл(1„„) =длсл(1л)+ фл()л), 1 + отЛ, где Л ,= †с — — наибольшее собственное значение операто- 4 ьпа Йь 2! ра (5). Условие (!7) будет выполнено, если потребовать ь2 о> — — —, 4т (18) Заметим, что из (17) при любом й=!, 2, ..., )Ч вЂ” 1 следует неравенство тЛь 1+отЛь> — >О, 2 т. е.
неравенство (7). Итак, если выполнено (18), то справедлива оценка Ь"")! ~ Ь")) (19) По существу, эта оценка означает устойчивость схемы (2), (3) по начальным данным. Действительно, если в уравнении (2) ф! =О, то у";"=у";~', и из (19) получаем )1у"")1 (!)у" ~) ~ Ь' ')) ( < Ь'!), что означает устойчивость схемы (2), (3) по начальным данным в норме н ~ и ))у!1= ~ йу' ! =-1 (20) Таким образом, приходим к следующему выводу.
Если параметры схемьс (2), (3) связаньс неравенством (18), то схема устойчива по начальным данным и при любых у'~Н для реи!ения задачи (2), (3) с ф,". = — 0 справедлива оценка !!у"+Ч!~))у'!), п=О, 1, ..., К вЂ” 1, где норма ))уЦ определена, согласно (20), Заметим, что неравенство (18) совпадает с полученным в 2 4 гл. 1 необходимым условием устойчивости схемы (2), (3). 3.
Устойчивость по правом части и сходимость. Чтобы оценить функцию у"ь' (см. (15) ), усилим условие (18) и потребуем выполнения неравенства ! (1 — г) ь,1 о- 2 4т =1, 2,..., й« вЂ” 1 получим тхь (! — ь) Хь (1 — ь) Хн, 1+ отЛь) — + 1 — >1 — " ' =е >О, «'ны Лм-г 324 с постоянной аен(0, 1). Тогда а~ — — —, и при любом й= ! 1 — е 2 тЛя , т. е, 1+отХо~а)0. Из разложения (!5) получаем н-г М-г !~у""Г= "', „(ро(Г.))' < —,,'Я (те(1.))', (! + ете 1' ео о=1 о о=о следовательно, Если о)0, то условие (21) становится лишним, так как 1+отХ,= 1 и оценка (22) выполняется с е=!.
Из неравенства треугольника !~у"" ~! ~ 1!у"Ч+ 11у""11 и оценок (19), (22) получаем неравенство !/ он '/» 1 у» ~ + !/ цго о (23) справедливое при п=0, 1, ..., К вЂ” 1. Суммирование (23) по и при- водит к оценке гуогг'1» 1уо~ ! '%~ т)!цгг"!! (24) / — -о которая означает устойчивость задачи (2), (3) по начальным данным и по правой части. Из оценки (24), учитывая условие тп(Т, получим !!уогг((!)уо!(+ — - гпах !!гр'(!. е о~/~о Итак, если выполнено условие (21) с ееп(0, 1), то схема (2), (3) устойчива по начальнылг данным и по привой части, причем для ее решения справедлива оценка (25).
Если в)0 и вьшолнено условие (18), то справедлива оценка (25) с е= 1. Из оценки (25) и требования аппроксимации следует сходимость схемы (2), (3). Для задачи (4) оценка (25) принимает вид !! гого ~! = — пах (! г1гг !!. (26) е омг'Мо Следовательно, !!го+'1~ имеет тот же порядок малости, что и по«й грешность аппроксимации, В частности, прн о=о.= — — — , 2 !2т р,". =го(хг, 1 и) + — "г'" (хь г„,и)+ 0(т'+й') имеем 11г1гг11 = 0(т'+й'), а условие устойчивости (21) выполнено с а=2/3, поэтому 1!гож!1= =0(т'+й'), т. е. схема имеет второй порядок точности по т и четвеРтый — по й. Если о=05, гРог =)(х„т„о оо) +0(т'+й'), то Условие устойчивости выполнено при любых т и й и 11г"+'1~ =0(т'+8*). При остальных значениях о имеем !1г""~1=0(т+й'), если выполнено (21) с ееп(0, 1), или если алч0 и выполнено (18).
4. Схема с весами для двумерного уравнения теплопроводности. Пусть область <т — прямоугольник (0<х,<1, а=1, 2) с границей Г. В области <<=бх(0, Т) рассмотрим первую краевую задачу для двумерного уравнения теплопроводности ди д»и д»и — = — + —, (х„х„1). Я, д< дх» дх» 1 » и (х„х, 0) = и,'(х„х,), (х,, х,) <;= 6, и (х, х, 1) = О, (х<, х<ь 1) Я Г и (О, Т) Оператор Лапласа аппраксимируем так же, как и в $ 2, пятиточеч- ным разностным оператором. Для этого введем сетку 11, по про- странственным переменным следующим образом: Я» = (х;< = (х«<, х<п) ) х<'< = <йм х<П = )йм <=О, 1, ..., М„1=0, 1,, Ф„Ь„<<1„=1, а=1, 2).
Множество точек сетки 11„, принадлежащих Г, будем обозначать через <„а множество внутренних точек — через»<~, так что й,= =<»»() (,. Определим на 11, разностный оператор .4уи = — У„- и — У-„,, и, х<< ее»<», '* (28) уа=О, хне: <л. По переменной 1 введем равномерную сетку »<.=(<„=пт, п=О, 1, ..., К, Кт=Т) и обозначим у,", =у(х,"<, х,"<, 1„). Дифференциальную задачу (27) аппраксимируем разностной схемой с весами + аАУ"."' + (1 — а) Ауг = О, 1 = 1, 2, ..., )(<, — 1, 1 = 1, 2, ..., Л<, — 1, и = О, 1, ..., К вЂ” 1, (29) уи = и, (х<е, х<О), хи —.
Я», у,",.'=О, х«<-иу», п=1,2, ., К.' При а=О получаем явную схему, для которой решение у<'» выражается явным образом через значения у,";. Если а~О, то схема неявная и для нахождения у";;" требуется решить систему двумерных разностных уравнений. Методы решения таких систем будут изложены в гл.
5, а один из методов рассматривается в ф б настоящей главы. Схема имеет второй порядок аппроксимации по й и первый по т (за исключением случая а=0,5, когда по т также второй порядок аппроксимации). Рассмотрим вопрос об устойчивости схемы (29) по начальным данным. Исследование устойчивости проводится точно так же, как ааа 1 1 и) — —— 2 ах аа (30) Обратим внимаияе на то, что схема (29) имеет тот же вид, что и схема (6) с чь"— = О, однако оператор А определяется теперь по-иному, а именно в соответствии с формулами (28). Как было показано в 3 2, оператор (28) обладает перечисленными выше свойствами 1) и 2), причем для него Хаааа СО5 — + СО5 ( + — .
4 апаь 4 аяаа 4 4 Ла 2!ь Ла 2! Ла Ла ь г ь а Условие устойчивости (30) будет выполнено, если ! ! 4 4 и) — — —, Л= — + —. 2 тЛ а Таким образом, схема (29) устойчива по ничальным данным при условии (3!). Устойчивость здесь понимается как выполнение при любых начальных данных оценки Ь" ~~ Ь'~~, =О, 1,..., К вЂ” 1, (31) где н,-ь ю;ь ~(да)а= ~;., И, Ч.„И,(у'!)а, Е=-ь 1=ь Аналогично исследуются устойчивость схемы (29) по правой части и ее сходимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
