Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 62
Текст из файла (страница 62)
4 3 3. В этом случае уравнения, аналогичные (1), приходится решать многократно (на каждом временном слое), поэтому особенно важной становится экономия числа действий, которую обеспечивает данный метод. ГЛАВА 4 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В главе 3 уже изучалась устойчивость разностных схем, аппроксимирующих уравнение теплопроводности. В настоящей главе изучается устойчивость двуслойных и трехслойных линейных разностных схем общего вида. Разностные схемы рассматриваются независимо от тех или иных исходных уравнений и определяются как операторные уравнения с операторами, действующими в евклидовом пространстве. Условия устойчивости формулируются в виде операторных неравенств.
Применение теории к исследованию устойчивости конкретных разностиых схем состоит в приведении этих схем к каноническому виду и проверке выполнения операторных неравенств. Параграф 1 носит вспомогательный характер, в ием на примерах поясняется, что разностную схему можно рассматривать как операторное уравнение; при этом корректность схемы определяется не структурой разностного оператора, а его общими свойствами, такими, как самосопряженность и положительная определенность. В 3 2, 3 излагаются элементы теории устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем, а в 3 4 теория устойчивости применяется к исследованию экономичных разностпых схем для многомерных задач математической физики. $1.
Разностные схемы как операторные уравнения 1. Представление разностных схем в виде операторных уравнений. Разностные схемы возникают в результате аппроксимаций той илн иной задачи математической физики и прсдназначены для ее приближенного решения. Поэтому в теории разностных схем важное место занимают вопросы аппроксимации дифференциальных уравнений разностными и сходнмости решений разпостных задач н решениям исходных дифференциальных задач. Однако будучи построенной, разностная схема превращается в самостоятельный математический объект н может изучаться вне связи с породившей ее дифференциальной задачей.
При этом отпадают проблемы ззв аппроксимации и сходимости и остается лишь проблема корректности разностиой схемы, т. е. ее разрешимости и устойчивости. Разностная схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Ее всегда можно записать в векторной форме '1У='Г (1) где А — матрица системы, у — искомый вектор и ~р — заданный вектор, определяемый правыми частями разностных уравнений н дополнительными (начальными и граничными) условиями.
Такая запись наиболее удобна для стационарных разностных задач, в случае же двуслойных и трехслойных разиостных схем будем использовать другую форму записи (см, $ 2, 3). Уравнение (1) можно рассматривать также как операторное уравнение, где А — линейный оператор, действующий в конечно- мерном пространстве Н, у — искомый элемент этого пространства и фенН вЂ” заданный элемент.
Для разностных схем характерно, что каждая схема определяет не одно уравнение (1), а целое семейство ураннений Акуа=~рь (2) зависящее от шага сетки й. При каждом допустимом значении й оператор А„действует в конечномерном пространстве Н,. Размерность пространства Н„ зависит от шага сетки и и, как правило, неограниченно возрастает при Ь-~О. Приведем несколько примеров записи разностной схемы в виде операторного уравнения (2).
Чтобы записать конкретную схему в виде (2), надо ввести соответствующим образом пространства Н„ определить операторы А, н задать правые части р,. Следующий пример уже рассматривался в 2 1 гл. 3. Пр имер 1. На сетке й,= (х,=й, 1=0, 1, ..., У, АУ=1) рассматривается разностная схема И;„( — — — 1ь 1=1, 2, ..., У вЂ” 1, у,=п,, ум =р,.
(3) Перепишем систему (3) в виде ь~ — У- .=1ь 1=2, 3, ... У вЂ” 2„ (4) ул-з + хил-~ ~Р = )М-ь где Г,=~,+р,Нг', ~„-,=~,+р,/й'. Введем пространства и,, размерности У вЂ” 1, состоящие из функций д(х), заданных для хыам Ох — — (х;=Й, 1=1, 2, ..., У вЂ” 1, ЬУ=1). 340 Недостатком данного метода является необходимость построения в явном виде собственных чисел и собственных функций одно- ззз Определим в Н„, оператор А и вектор !р следующим образом: (АУ),= "' "', (АУ);= — У-„и !=2,3, ..., У вЂ” 2, и А (Ау)и, = ь~ (5) ~р,=Г„гр;=)„!=2, 3, ..., Ф вЂ” 2, гр;,=~,. (6) Тогда разностную схему (4) (или, что то же самое, раэностную схему (3)) можно записать в операторной форме (1).
Матрица этого оператора является симметричной и трехдиагональной. Например, для случая У=6 она имеет вид — О О О ! — 1 2 †! О О А= —, о — ! 2 — ! а ΠΠ— ! 2 — ! ΠΠΠ— ! 2 Возможно и несколько иное определение оператора А, позволяющее записать выражения для его компонент единообразно во всех точках сетки а„. Пусть Нч,— подпространство функций, заданных на сетке й~ и обращающихся в нуль при 1=О, !=У.
Введем оператор А, действующий изб~, в Н, и определенный формулами (АУ);= — У-„„и 1=1,2, . ° ., Л! — 1, у,=ум=О, (7) н зададим вектор !р согласно (6). Тогда по-прежнему разностную схему (3) можно записать в виде Ау=ср, где уев Нь-ь Ч!енН'-,. Такое определение оператора А мы уже использовали в $1 гл. 3. Подчеркнем, что формулы (5) и (7) определяют, по существу, один в тот же оператор.
Разностные схемы для многомерных задач также можно представить в операторной форме (1). П р и м е р 2. В области 6(0<х,(1, а=1, 2) введем сетку 12л = (хп = (х,~, х, ) ! х,и = (й„х, ' = 1йм ю пл ю ю 1=О, 1, ..., Н„1=0, 1, ..., Жм й,Ф1 =1„6,У,=(Д. Пусть у, — множество узлов сетки й,, принадлежащих границе области 6 и в,— множество внутренних узлов сетки 12„. Рассмотрим разностную схему, аппроксимирующую уравнение Пуассона у — „,, + у„— „.
= — ~;;, если хн е= ем (8) ун — — О, если хн 6= ум Пусть Н(1э,) и Н(ы,) — линейные пространства функций, заданных соответственно иа сетках И, и ы,. Введем также подпростран. ство Н'Я,) функций, заданных на 11, и равных нулю на у,. Размер- ность этого подпространства совпадает с числом внутренних узлов сетки ь), и равна (Н, †!)(Н, — 1). Задаче (8) соответствует оператор А, действующий из Н'(2,) в Н(ю,) и определенный формулами (Ау)п= — у„—, и — у,—.
н, если хи=аз( уп=0, если хилую (9) Разностную схему (8) можно записать в виде (1), где оператор А определен согласно (9), а компоненты вектора грепН(шь) задаются формулами гро=~р(хи) =(ч, если хьс щы Свойства оператора (9) подробно изучались в 5 2 гл. 3. Можно было бы, так же как и в примере ~1, определить оператор А как оператор, действующий из Н(ыь) в Н(шь). Однако в данном случае это привело бы к громоздким формулам. Например, только на одной части гранины при (=1 надо было бы задать значения оператора А формулами 2 уз! Уз( (Ау), = т 2уи — ут, (Ау)ьт = д, 2У,, Ь~ 1 — у —, 1=2,3, ..., Мз — 2, хьхь Н 2уы — Уы + ь, Узы т + 2уьи т Утм,-з з (Ау)1м, т Поэтому удобнее использовать определения (91 оператора А. Если краевые условия (8) неоднородные, то, по аналогии с примером !, меняем правую часть в приграничных узлах.
(! уь(! оа1 ми М~ (! грь (! стэн (10) Как уже отмечалось, условие 1) эквивалентно существованию оператора А~э', а условие 2) — равномерной по Ь ограниченно- А,,' 3 а меч а ни е. Свойство 2), выраженное оковкой (1О), называется устойчивостью розлостнод схемы (2). Вообще, устойчивость какой-либо задачи означает, что при небольшом изменении входных данных решение изменяетси мало. Таким образом, для исследовании устойчивости необходимо рассматривать уравнение, которому удовлетворяет погрешность, возникающая в результате возму- 342 2. Корректность операторных уравнений. Рассмотрим семейство операторных уравнений (2), где А,— линейный оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве Н,.
Предположим, что в пространстве Н„заданы нормы (! ((„„1 и (! !!1,„1, в которых измеряются, соответственно, решение уравнения (2) и его правая часть. В соответствии с определениями, введенными в $6 гл. 1, будем называть уравнение (2) корректным, если 1) решение уравнения (2) существует и единственно прн любых грь ив = Нл, 2) существует константа М,)0, не зависящая от Ь и такая, что при любых ~рьепН, выполняется оценка щения входяых данных. Однако в случае линейного оператора Ал структура урав- пеяня для погрешности та же, что я осяовпого уравпеяяя (2).
Поэтому прв ис- следовании устойчивости достаточно ограяячяться оценкой (10). Действительно, рассмотрим наряду с (2) уравнение Аьпь = ф„', ш отлячающсвся от (2) правой частью. Для погрсшвостя уравнение Алгь=бфл, гл=уь — пь получям где бфь=фь — ф„' — возмущение правой части, Если выполнена оценка (1О), то ш !! г„)и а1 ( м, !! бф„)ыа( следовательно,(га1 на — О пря )бф„!!1 „1 -ьО и задача (2) устойчива. Нетрудно получить некоторые достаточные условия корректности. Предположим, что О, — вещественное конечномерное пространство, в котором введены скалярное произведение (у, о), и норма !!У)!ь=у(у, у),. Справедливо следующее утверждение.
Если существует постоянная 6'- О, не зависящая от й и такая, что при любом оьвиоь выполнено неравенство (Аьпь, щ)ь ) 6 !! пь !,"„ (11) то уравнение (2) корректно и для его решения выло гняегся оценка !!Ул!!л~~б '!!фл!!ю (12) Чтобы доказать существование и единственность решения уравнения (2), достаточно убедиться в том, что однородное урав- нение А,гь= О (13) (14) $43 имеет только тривиальное решение г,= О. Пусть г,— решение уравнения (13). Тогда согласно (11) имеем 6(!гл(!л -.з((Аагш гь) = О, откуда получаем !!г,!!,=0 н, следовательно, г,=0.
Докажем оценку (12). Согласно условию (11) для решения уравнения (2) справедливо неравенство 6!!Уь!!ьч~(фь, Уь)ю Применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем, что 6)!Уз)!'(~ф. ЦУл)(я Отсюда немедленно следует оценка (12). Отметим связь условия (11) с оценками собственных значений оператора А,, Если выполнено условие (11), то все собственные значения оператора А, — действительные числа, причем для минимального собственного числа выполняется оценка Ею)п~) 6) О.
Действительно, пусть ). — любое собственное число оператора А, и р — отвечающая ему собственная функция, А,р=Хр. Тогда согласно (11) имеем ()!цр) >6ЬУ и, следовательно, к= 6. Для самосопряжеиного оператора А„верно и обратное; из условия (14) следует выполнение неравенства (11) при любых о,~Н,. В данном случае любой элемент о,енН„можно разложить по ортонормированной системе (рь) собственных векторов оператора А,: сь=~сьры и получить, что (Аьогь оь) = ~~~ Хьсь ~~).'к(ь~ил!!и )~ 6)! оь~ь Таким образом, можно сформулировать еще один признак корректности. Пусть А,— самосопряженный оператор и Х ы — его минилсальсп ное собственное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
