Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Доказательства, совершенно аналогичное доказате:,ьству теоремы 2, предлагаем провести чнтателкь Теоремы 2 и 3 позволяют сформулировать следующее правило исследования устойчивое~и конкретных двуслойных разностных схем. Пр~~де в~с~о надо яр~вести разиостиу!о схему к канонигюскому виду (3) и определить тем самым операторы А и В. Затем надо исследовать свойства оператора А.
Если этот оператор является самосопряженным и положительным и не зависит от п, то остается проверить выполнение операторного неравенства (20) (в случае комплексного пространства — неравенства (26)). Обычно неравенство (20) приводит к некоторым ограничениям на т и )г, которые и представляют собой условия устойчивости данной разностной схемы, Приведем примеры исследования устойчивости на основе теоремы 2.
П р им ер 3. Рассмотрим ту же схему с весами для уравнения теплопроводности, что и в примере 1. Эта схема была приведена к каноническому виду (11), где оператор А определен согласно (5) и В=В+птА. В главе 3 показано, что А — самосопряженный и положительный оператор в смысле скалярного произведенвя в-г (у, и) = ~~~ угпгй.
з=1 Для скалярного произведения (Ау, у) справедливо выражение у (у )яи 1=1 Таким образом, оператор А удовлетворяет условиям теоремы 2. Условие устойчивости (20) принимает вид Е+ отА ) 0,5тА !2» н означает, что при любом у~ох должно выполняться неравенство (о — 0,5)т(Ау, у)+)(у()*= О. (27) Вспоминая неравенство (см. $1 гл. 3) (Ау, у) «~)ьк с~у!/з, Хм т = — соза —, видим, что схема (4) устойчива при условии (о — 0,5)т+ = О 1 дм-ь илн 1 1 о- — —— 2 тХч „ (28) Достаточным условием устойчивости является неравенство 1 Ьа о~з — — —. (29) 2 4т ди 1 д 1' да) — = — — 1х — ~, 0<к(1, д( х дх(, дк~ (30) ди(0, О и (к, О) = из (к)„ =О, а(г, 1)=О. дх Построим разностную схему, имеющую второй порядок аппроксимации по л и первый по т.
Основная трудность состоит в аппроксимации пространственного оператора д'и 1 ди йи = — + —— дхз х дк и граничного условия в точке х=О. Введем равномерную сетиу Ял=(х; Рд 1=О, 1, ..., й(, АУ=О и заменим йи разностным выражением 1 ().ьа)! — — и- + — ат а ( = 1, 2, ..., У вЂ” 1. (3!) кк.г к Ясно, что при такой замене погрешность аппроксимации является величиной 0(йз). Заметны, что разностное выражение (31) можно записать в дивергентиом виде 1 (йза) = — ( )ли где а, 05(х,+хьы), Напомним, что те же самые условия (28) и (29) были получены ранее методом разделения переменных (см.
$3 гл. 3). П р и м е р 4. Рассмотрим уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах Далее, чтобы аппроксимировать со вторым порядком граничное условие прн к=О, воспользуемся разложением ц",— ц" дц(0, Г„) й д'ц(0, Гл) (32) Ь дк 2 дхз Чтобы исключить из (32) выражение дзц(0, 1„)/дхз, перепишем уравнение (30) в виде дц(х, () дзц(х, 1) 1 дц(х, () + дт дхз х дх я перейдем к пределу при х-ч-О, Применяя правило Лопнталя, получим и'(х) дц (О, 1) д'ц ('., 1) Вш =цл(0), откуда следует, что = 2 . Отсюда н х-ла х д( дхз нз (32) получаем дц (О, ( ) ди (О, ( ) ц" ю — ил л . л й л ! ()(йз) цл Ь а а +О(йз цта) дк ' 4 д( 4 Таким образом, разностное краевое условие цль1 цл о л л =ц х,а (33) имеет второй порядок аппроксимации на решении задачи (30). Итак, приходим к разностной схеме (ау") „ 1 = 1, 2, ..., М вЂ” 1, (34) х цг = 0,5(х;+ х,), (35) = ух,л' 4 которая на решении уравнения (30) имеет аппроксимацию 0(т+дз).
Приведем схему (34), (35) к каноническому виду (3). Обозначая льь л т перепишем (34), (35) в виде к,уг г — — (ау-),, а;=0,5(хг+хг ), 1=1,2, ...,Ф вЂ” 1, у~~,=О, (36) (37) 4 Уба = Ух,а Ь 357 Рассмотрим линейное пространство Нлю функций, заданных иа сетке Й и равных нУлю пРн (=М. ВвеДем в Нц!а! скалЯРное пРоизведение и ноРмУ ц-х (У, и) = ~~ Угц;Ь, 1!У1= У'(У, У).
г а Ясно, что во внутренних точках сетки С)л опера ор Л, сосоветствующий схеме (Зб), (37), надо определить следующим образом: (Ау); = — (ау )„с, а!=0,5(х;+х;,), с =. 1, 2, ..., М вЂ” !. к кгн Доопределим значение (Ау)е так, чтобы оператор А был самосопряженным. Если ум =ох = О, то справедливо тождества (см, (14) из 3 3 гл. 1) М-с л — з л ~ЯР ~(Ад)со.й = — Я (ад ) о.й -- ~~', а у о й+ а,у ао,. а> Полагая (Ау)а= — — у, ь получим тоисдество й (Ау, о) .= х' а;у д й, из которого сразу следует самосопрялсенность оператора А. При этом (.4у, у) = Я ас(у )ей, ас = 0,5(х;+ха,).
(38) Итак, оператор А определяется форлсулаьнс ас (Ау) = — — у уд -. О, а,=0,5(хс-нхс с), (39) 1--1,2, ..., Л' — !. (Лд) с =- — (ау-„),,с Заметим, что разностное граничное условие (37) можно записать в виде lс Ус д(АУ)е=О, так как а~=-05 й. Таким обРазом, Разностнаи схема (36), ! .О (3?) имеет канонический вид (3), где оператор А определен согласно (39).
а оператор  †формула й (Ву)а = уо (Ву);.= х,ус, с' = 1, 2, ..., М вЂ” 1. (40) сч-с д й — уз-,( ~~ хсусй~0,5т ~ ас(у- )'й, (41) 4 -.с которое должно выполняться при каждом у Я Нл* . сь! Найдем, при каких соотношениях на шаги т и й выполняется условие (41). Для этого оценим сверку величину (Ау, и), данную выражением (38). Используя 858 Докажем положительную определенность оператора (39). Из тождества (38) следует, что (Ау, у) )О для всех у~м Н~ч~~. Предчоложим, что (Ау, у) =0 для некоторого у хс Нсч!, в покажем, что тогда у=О. Если (Ау, у) =О, то у,,=О, С= 1, 2, ..., Л", т. е.
до=у =...=ухо Но в силу граничного условия ух=О, и, следовательно, у,=О для всех с. Таким образом, А — самосопряженный положительный оператор и можно применить теорему 2. Условие устойчивости (20) с учетом (38) и (40) приводит к неравенству неравенство (и+Ь)т(2(ат+Ьт), получим при уа=б, что ( (Ау, у) = — ~ и, (уг — у 2(н л -ч Отсюда при о,=о,б(х.;-х;,) имеем ш+аоы — — 2х, н, следовательно, л н — г ')' и;(у-.)за ~< — ~~г~', х;у';а+у',. (42) Неравенство (41) будет выполнено, если потребовать Ю-1 7 ьыт г=1 г=г т, е. н — т — (1 — —,~у,'+ (1 — — „„,),'~ хгу',Л>О.
г=г Следовательно, схема (36), (3?) устойчива при условии т<й'?4, причем устойчивость имеет место в норме л ((У(~Л - — — ~ У', О,б(хс+ х;,) (У„- )тй) ,г —.-т (43) где А — оператор, действуюп(ий в вешественном конечномерном пространстве На со скалярным произведением (, ), а о — числовой параметр. Схема (43) имеет канонический вид (3), где В= =Е+отА. Как и всегда, предполагаем существование В-'. В отличие от теорем 2 и 3 ие будем требовать самосопряженностн оператора А.
Справедлива Теорем а 4. Если при любых ое:-Н, выполнено неравенство (о — О 5) т ~(А о ~('+ (А о, о ) ) О, (44) то схема (43) равномерно устойчива по начальным данным и для ее решения справедлива оценка 'йу ч.1(~~((у )( п=О 1 Л' — 1 (45) где ((у„((=у'(рю у„), збй Отметим, что ухудшение условия устойчивости по сравнению с обычным условием устойчивости явной схемы т -О,о йе произошло лишь за счет разностного граничяого условия (37). 4. Несамосопряженные разиостные схемы. Рассмотрим двуслойную схему с весами " +оАу т+(1 — о)Ау„=О, Доказательство. Запишем схему (43) в виде У,,=ВУя, где Б=Š— тВ 'А, В=Е+атА. Оценка (45) эквивалентна тому, что ()Зу.(!~)(у.(!. (46) В силу тождества )!Яу (!'= (у.— тВ 'Ау, у„— тВ-'Ау„) = = ((у.(!а — 2т(В 'Ау„, у.) +та()В-'Ау„)!а закл1очаем, что неравенство (46) выполнено тогда и только тогда, когда (В-'Ау„, у„) ="-:0,5т)(В 'Ау.(!*.
Учитывая перестановочность операторов А и В, последнее неравенство можно переписать в виде (АВ 'у„у,) ~0,5т(!АВ 'у.((х. (47) Обозначим о=В-'у„. Тогда (47) примет вид (Ао, Во) = 0,5т(!Ао!!' или (Ао, и+атАо) ==:0,5т()Ао(!'. Но это неравенство выполняется в силу условия (44), что и дока- зывает теорему 4. 3 а меч а ив е 1.
Если А — положительиый оператор, то при о~1/2 схема (43) устойчива при любых т (абсолютно устойчива). За меч а и ие 2 Если оператор А зависят от л, то в теореме 4 надо потребовать, чтобы иеравеиство (44) выполнялось при всех и. Пример 5. Рассмотрим разностные схемы для уравнения первого порядка — + — =О, 0( г~Т, О<" х(1, (48) д( дх и(0, 1) =О, и(х, О) =и,(х). Введем сетку саь,= юьХсо„где юл — — (хс=й, 1=0, 1... )т', )с)))=1), ю, = (1„= пт, п = О, 1, ..., К, Кт=Т), и аппраксимируем задачу (48) разностной схемой аы я +стух1+(1 ")Ух1=0~ (=112с ° я й(» (40) у,'=О, п=О, 1, ..., К, ус=па(хс), (=О, 1, ..., Ф, где а — числовой параметр и ч уй Ус У~с т 366 Введем пространство Н~~ функций, заданных иа сетке цг, и равных нулю при г=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
