Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения колебаний струны О(х<1 О<1 т дга дхт весами уи,.=о;Лу","+ (1 — и, — и,) Лу,"+ озлу"; ", и = 1, 2,..., К вЂ” 1, 1= 1, 2, ..., )ч' — 1, 0 1 л л у', = и, (х;), у; = и, (х,), у, = ум = О, (15) Здесь о„о, — заданные числа, ~н 2 лд и 1 и 2 и+ и нх тт /Р а значения й,(х,) подобраны так, чтобы порядок погрешности аппроксимации начального условия ди(х, О)/д1=й,(х) совпадал с порядком погрешности аппроксимации основного уравнения (конкретное выражение для й,(х,) нам не потребуется, а способ построения й,(х,) был указан в з 5 гл. 1). Введем пространство Н„как множество Нм, функций, задана) ных на сетке ы, и равных нулю при 1=0, 1=У.
Определим в Ни, и] оператор (Ау);= у~кп ' — — 1„2,..., Ж вЂ” 1 уь=уи =О. (16) Тогда разпостиую схему (15) можно записать в виде у-„+ а,Ау„,+ (1 — а, — о,) Ау„+ а,Ау„, = О, (17) где у„=Нй~м у„=(у,", у.,", ..., ух,)", уй =(у„.„— 2у„+у„,)!т'. Пользуясь тождествами (2), легко привести схему (17) к каноническому виду (3), где ср=О, оцерагор А определен согласно (16) и В = (о, — о,) тА, й = — Е + ~'-~-~ — ' А. (18) .~з 2 Для выяснении условий устойчивости схемы (15) воспользуемся теоремой 1.
Уже неоднократно было показано (см. 9 1 гл. 3), что оператор (16) является самосопряженным и положительным оператором в смысле скалярного произведения И-1 (у, и) = '~~ уп;Л, причем его наибольшее собственное значение 4 зпЛ Х,~~„= — соз Л~ 2Г аат оценивается сверху величиной А=4,'Л'. Операторы В и )с, определенные формулой (18), также само- сопряженные. Согласно теореме 1, для устойчивости схемы (15) достаточно выполнения условий (9). Условие В)0 приводит к ограничению п,)а„означаюшему, что вес нижнего слоя не должен превосходить веса верхнего слоя.
Первое из условий (9), а именно операторное неравенство Я= — А, в данном случае приводит к неравенству 1 ! — Е+( — ' — — )А)О, ! Го+а 1' тт (, 2 4 ) (20) (22) означающему, что Д~уР+ 1'"+ се — — '1(Ау, у) ) О (19) тт ! 2 4/ для любого отличного от нуля у~ОЙ,. Поскольку !!у5') — (Ау у). неравенство (19) будет выполнено, если потребовать 1 а1+а2 1 — + ' — — )О.
Лтт 2 4 Итак, схема (15) устойчива при выполнении условий а+ат ! ! 11 а, - о„— '"- ) — ~1 — — ), у = — . (21) 2 4 т) Ь~ Следует отметить, что эти неравенства, полученные как достаточные условия устойчивости, иа самом деле очень близки к необходимым условиям устойчивости схемы (15). А именно, применяя метод гармоник (см. 9 5 гл. 1), можно показать, что для устойчивости схемы (15) необходимо а, + а, 1 ! ! т' 2 4), т! Ьт Частным случаем схемы (15) являются симметричные схемы (о,=о,=о), которые имеют второй порядок погрешности аппроксимации на решении задачи (14).
В этом случае условия устойчивости сводятся к одному неравенству 1 Г 11 т' о) — ~! — — 1, у= — . 4 т/ Ь~ Например, явная симметричная схема (о,=о,=О) устойчива при условии т<1, т. е. т</ь П р и мер 2. В ф 5 гл. 1 уже рассматривалась схема для уравнения теплопроводности (23) 2т ьт имеющая аппроксимацию 0(т'+/!')+ 01 — ) . Покажем, что эта (лт / схема абсолютно устойчива. Перепишем ее в виде у. + — у-„+Ау=О, 1 где оператор А определен согласно (16). заа Тогда получпм, что схема (23) имеет канонический вид (3), где гр=О, В=Е и )с = — Е.
Условия устойчивости (9) сводятся к нера- ' 1 Ьа венству — Е> — А, Аа ' 4 которое всегда выполнено в силу (20). Тем самым схема (23) аб- солютно устойчива. 9 4. Об экономичных методах решения многомерных нестациоиарных задач математической физики 1.
Недостатки обычных разностных методов. Цель настоящего параграфа дать первоначальное представление о некоторых разностных методах, предназначенных специально для решения нестационарных задач математической физики с числом пространственных переменных, равных двум или трем (такие задачи называют многомерными).
Прежде всего поясним необходимость применения специальных методов. В качестве примера рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности ди дам д'и — = — + —, х=(х„ха)к=6, дг дх дх ' и(х, () =!А(х, 1), х = Г, 0(1(Т, и(х, 0)=и,(х), х= — 6+Г в прямоугольнике 6= (О~х, с;1„0 х, 1,) с границей Г. Введем, как обычно, сетку по времени йу.= (1а=ггт, п=О, 1, ..., К вЂ” 1, Кт= Т) и пространственную сетку йй — — (хи =-(хггг, хг")„х"г.=йо хггг =)угй), 1 с 2 " 1 1 2 где 1=0, 1, 2, ..., й(о 1=0, 1, 2, ..., ггг„причем )г,Ж,=1„па(гг,=(,, Множество внутренних точек сетки й, (когда 2=1, 2, ..., гуг,— 1, 1=1, 2,..., Лг,— 1) будем обозначать через йг„а границу сетки й„— чеРез та. Таким обРазом, Та — это множество точек сетки йм пРинадлежащнх границе Г прямоугольника 6. Будем обозначать ун = =д(хгм (.), гДе хг,енйа, (.а=гй,.
Как мы знаем (см. 9 4 гл. 1), для решения уравнения теплопроводности можно применить либо явную, либо неявную разностную 43 А. А. Самарский, А. В. !'улик 399 схему. Рассмотрим сначала явную схему И»1 И П 1/ = Лф, если хд Е=. »1», 7„Е= ы„ (2) у,"" =р(хн, г'„„1), если хд ~=у», г'„е=га„ если хд;= »1», и = О, У,'. =и,(хд), где Лдд = Л,дд + Л,дд„ д„ь; — 2УП + У1, ~ Л1уд =уимид = (3) ус!11 — 2д1! + У1,/-1 Решение разностной схемы (2) находится по слоям с помощью явной формулы У;;1=дд+тЛуд, л=О, 1..., К вЂ” 1, хне= н», причем используются начальные и граничные условия, заданные согласно (2). Таким образом, преимуществом явной схемы является простота нахождения значений у",.;.' решения на верхнем слое.
Существенным недостатком этой схемы, не позволяющим использовать ее при практических расчетах, является условная устойчивость. Найдем условие устойчивости по начальным данным схемы (2), опираясь на теорему 2 из 2 2. Г1ри исследовании устойчивости будем предполагать, что граничные условия р(х, 1) равны нулю. Введем пространство Н~»и~ функций, заданных на сетке о„и равных нулю на 71, со скалярным произведением »' -1»'~-1 (у, о) = ~~~~ Й1 '~~~ ~Й»У111>11с 1=1 /=1 Определим в Н»м оператор А формулами (Ау)„=(А,У)ч+(А,д)ч, если хаен»1„ (4) уч — — О, если х„~Т». Оператор А (пятнточечный разностный оператор Лапласа) изучался в ~ 2 гл. 3.
Было показано, что А — самосопряженный положительный оператор, для которого при любых у.— Н»"' справедливо неравенство (Ау, У) ( Л(у 11, Л = — +— (5) »»~ 370 Если записать схему (2) с р=О как операторное уравнение в пространстве Н„, то оно примет вид ~н " + Ад„=О, (6) где А определен согласно (4) и В= — единичный оператор. Условие устойчивости (см. теорему 2 из $ 2) Взь0,5тА (8) в данном случае (при В=В) означает, что прн любых де= Н» (н должно выполняться неравенство ~~д!Р= 0,5т(Ад, д). Отсюда, учитывая (5), получаем, что схема (2) устойчива по на- чальным данным при условии (9) Это условие накчадывает очень жесткое ограничение на шаг по времени т.
Пусть, для определенности, 74,=й,=й. Тогда неравенство (9) примет вид — -(— ь~ 4 Если, например, 6=0,01, то устойчивость гарантируется при т(т„где т,=0,25 1О-'. Предположим, что надо найти решение задачи (1) при Т=1. Тогда, пользуясь схемой (2), надо совершить не менее чем н,=Т)т.=.40000 шагов по времени. Разумеется, счет с таким мелким шагом неприемлем для практики. По указанной причине при решении уравнений параболического типа избегают пользоваться явными схемами.
В случае уравнений гиперболического типа условия устойчивости позволяют взять шаг по времени того же порядка, что и шаг по пространству. Поэтому для гиперболических уравнений явные разностные схемы используются гораздо чаще, чем для параболических. Рассмотрим теперь неявную схему для уравнения теплопровод- ности =Ад"~", если лн,— газ и и ~: 1а ы, (10) =р(хд, 1„+), если хп ~ ум 1„~ га„ дн+Х с' дО и = и, (х;;), если хн -= Йм п =-О. 37$ где д„=д(1„) ивН„"'. Таким образом, схема (2) имеет канонический вид В +Ад,=О (7) Эта схема устойчива при любых шагах т и /и Действительно, схему (10) с р=О можно записать как операторное уравнение Ул~~ Уи + Аул.г = О, т где ус=Наги и оператор А определен согласно (4).
Таким образом, неявная схема (10) имеет канонический вид (7), где В=Е+тА, причем условие устойчивости (8) всегда выполнено. Однако недостатком неявной схемы (10) является необходимость решения на каждом временнбм слое системы уравнений уц — гЛуц = Р";„хц ~ ым рл ~ 1 ц (12) 372 уц х г — — уь, лтг ю п где уц = уц, гц = у г. Решение подобных систем уравненигй представляет значитель- ную трудность. Методы, предназначенные для решения систем ли- нейных алгебраических уравнений общего вида (см. часть 11, гл.
2), здесь непригодны из-за слишком большого размера системы. Дей- ствительно, если положить, например, 1г,=й,=0,0! и 1,=1,=1, то число неизвестных уч в системе (11) окажется равным примерно 10000. Положение усугубляется еще тем, что систему (11) необхо- димо решать многократно (на каждом временнбм слое). Можно предложить приемлемые методы решения, учитывающие специальный вид матрицы системы (11).
Один из таких методов рассматривался в 2 6 гл. 3, другие прямые и итерационные методы будут изложены в гл. 5. Здесь же мы остановимся на методах ре- шения уравнения (1), которые основаны на сведении многомерной задачи к последовательности одномерных задач. При таком сведе- нии возникают разностные методьг, сочетающие положительные стороны явной и неявной схем: абсолютную устойчивость и простоту решения. Начиная с пятидесятых годов, эти методы под различными названиями (методы переменных направлений, дробных шагов, расщепления, локально-одномерные методы) широко применялись для решения многомерных задач математической физики. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
