Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 70
Текст из файла (страница 70)
„(1, )4) — 1), (2, 1), (2, 2),, (2, )У вЂ” 1),, (йг — 1, !), (У вЂ” 1, 2), ..., (й) — 1, Л' — 1). В этом случае говорят, что вычисления ведутся от левого нижнего угла прямоугольника 6 к правому верхнему углу. Метод Зейдсля сходится несколько быстрее, чем метод Якоби, однако число итераций, необходимое для достижения заданной точности, здесь также является величиной порядка ))-'. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно построить пример начальнык данных, прн иоторык погрешность итерационного метода убывает не быстрее, )ем д", где у=! — 0(!)'!.
Приведем такой пример. Пусть (уп);! решение разиостной задачи 12! н (у",)ч,.",— приближенное решение, полученное на л.й итерации с помощью метода Зейделя (10). Для погрешности гн= у)!— — уо получаем уравнение ч аз льт л чгч ггч,; — 4гг) + г) гу+ г;;„+ гг;,=О, х; 4= ыи, го=О, х„щуи, (!1) г)) = У)à — УП. Будам искзть решение задачи (11) в виде н ч г)1 — у ои„ где д — число, а ца — сеточная функция, не зависящая нулевым граничным условиям.
Подставляя (12! в (!1! чим систему урзвненйй о ям г-4уо 1+ уп, ) ) 4 а,;к те Уос) ) — — О, оп=о, х„шуь. Система уравнений (13) представляет собой задачу Будем иска~ь ее решевие в виде !и) ) ь) !и) и и Ут) ' от и и удовлетворяющая и сокращая на уч, палу- хц)ыыи, (13) на собственные значения.
(14) 383 где Ь=-(Ьь Ьз), Ь«=1, 2, ..., У вЂ” 1, а=!, 2, )г~~ — собственные функции пяти (Ц точечного разностного оператора лапласа, р~'! = 2 яп (ль,х!Ь) яп (пьзх!1!) и зл — числа, подлежащие определению. Подставляя (!4) в (13), получим уравнение зз !м, (ь! й! (ы кв зь(ро л+рп )+д(рп —,+р; ! — 4зьри)=-0. Полагая д=дь= за, приходим к задаче на собственные значения 3 х,.> Еы„, Рн=о, хи!=вы где Х=хь=4(! — зь))Ь', Выражения для Ьь известны (см, $2, гл. 3); 4 Ь =Х = — ~япз — '+япз — *). "з — жь, — Ь, Выбирая Ь=(1, !), получим 8, па Ь=Лг=б= — япз— Ьз 2 При этом зиачеяии Ь величина )ач)=за достигает максимума, равного (13) Таким образом, если положим „а „! с!гд! (16) где уы — точное решение задачи (3) и с! ' ! = 3 ~)г) ' , 5 = ! — = 1 — 2 51п Ь'6 пЬ то согласно (12) получим з» = д"я~у, где выражение для д определено согласно (!5).
Следовательно, для начальных данных (16) при любой норме выполняется равенство !!У' — У!! = )4!"!!У.— У!!. При малых шагах Ь имеем Чяк1 — 0,5 Ьгбив! — изйэ, т е, необходимое число итераций возрастает кзк Ь-з. 4. Метод верхней релаксации. Рассмотрим применение метода верхней релаксации к модельной задаче (3). Для общей системы уравнений (1) метод верхней релаксации определяется следующим образом (см. $ 1 гл.
2 ч. 11). Система (1) представляется в виде (А +А +)))у=(, (17) где А, Ае — нижняя треугольная и верхняя треугольная матрицы с нулевыми диагоналями, г) — диагональная матрица. Вводится итерационный параметр о!е:-(О, 2) и итерации определяются фор- 384 которое приводится к каноническому виду где г„=(гт)";,'„оператор А определен согласно (6) и Е+ы(Й1+ Йз) т=ся лх (22) т- а (Й12)~' = — ', (Йзг)т = — ' и норма ~!у!~=)'(у, у). Оператор А является самосопряжепным и положительно определенным оператором в Н~,". Более того, А= =Й" +Й, где Й=Й,+Й,.
Таким образом, метод (18) является стационарным итерационным методом с салюсопряженным оператором А и несамосопряжеипым оператором В. Было доказано (см. п. 5 $2 гл. 2 ч. П), что в этом случае выполнение операторного неравенства Во 0,5тА) — РВА 'В Во=0 5(В+В) 2т (23) с константой р~(0, 1) гарантирует сходимость итерационного метода, причем для погрешности справедлива оценка зу„— у~~„.-.=.р" ~1у,— у~1„. (24) Проверим выполнение неравенства (23) в случае метода верхней релаксации, когда В= — Е+ вй, А =Й*+ Й, т=ы. 2 (2 — м) ьз (25) Прежде всего заметим, что поэтому неравенство (23) упрощается и принимает вид Е ~:~ В'А 'В.
Ь1 2м Отсюда с помощью эквивалентных преобразований приходим к не- зев Операторы А, В, Й„Й, определены в пространстве Н)м сеточных функций, заданных на О, н равных нулю па Т„. Б Н„введены и] скалярное произведение м(у, о) = '~" уиопй' равенству следовательно, Таким образом, 5)ххУ$ +ЦЙаУ$ = (АУ У) и из (27) следует операторное неравенство В)~'< ~, А. (28» Далее, учитывая неравенство А)бЕ, где б= — з(п — — наименьшее собственное значение оператора а ° л ах 2 А, получим — Е( А. а4,~3 лая Итак, левая часть неравенства (26) оценивается следующим образом: )т)х'* + — Е ( ~ = + ~ А = ~ — + —,— ~ (Й + Й') азах ~ ур ааааа ) ~ аи ачх'б ~ заз — А= ~ ВВ*.
а' 2а (2 — м) Подставляя сюда выражение для оператора В из (26) и приводя подобные члены, получаем окончательно а=ы/(2 — а). Найдем константу р'~(0, 1), при которой справедливо неравенство (26). Для этого оценим сверху левую часть неравенства (26). При любом уя На"' имеем ()т)т'у, у) =~)ту1з=,')Я,у+Я,у)'(2Я )х,у1'+1Я,У1'). (27» Из определения (22) операторов Р„)х', получаем (см. также и. 3 ф 1 тл. 4), что Неравенство (26) будет выполнено, если константу рг подобрать из условия 2 4 1+рг 2 — -)- —, ЛР Д'агб 1 — р' Лга Решая уравнение (29), получим рг рг (а) ! — ра (1 — ) ! + ра (1 + а) (29) (ЗО) где и= 05 Ь'б =4 з1пз —" 2 Из (30) видно, что при оз~(0, 2) (т. е.
при а>0) выполняется неравенство р'(а)(1. Следовательно, метод верхней релаксации сходится при о!я. (О, 2). В случае метода Зейделя имеем ы=1, а=(, р'= 1/(1 +(Рб). При малых Ь получаем П-'ж!+ОБ Ьгбиа1+пг/Р, 1п и-~ язп бг, так что число итерацяй пь(е), необходимых для получения заданной точности е, оказывается равиылз !не ' 1пе г по(е) = — —— Следовательно, необходимое число итераций пропорционально й-г, что свндетсльстсует о невысокой скорости сходимости метода Зейделя в случае разност. ных систем уравнений. Отметим, однако, что требуемое число итераций в методе зейделя примерно в два раза меньше, чем в методе Якоби (см. (811. р =4 з(пав гпа 2 оз = !+Ур ' и он равен 1 (ь ) 1+ О,б 1"(ь (31) зяб Подставляя с!ода и=-4 зш' —, получим при малых 6, что 2 г 1 — Мп (иа)2) 1 — пл!2 1-1-з!п(на)2) !+па!2 следовательно, (п р,-'--О,бл)т и необходимое число итераций п,(в) равно и,(.) = "-'"' ' =0~ — '~.
(32) 388 Обратимся снова к методу верхней релаксации и подберем в выражении (30) параметр а таким образом, чтобы минимизировать рг(и). Нетрудно видеть, что минимум рз(а) достигается при се=1!')!р, т. е. при ф 2. Применение явного итерационного метода с оптимальным набором параметров 1. Явный итерационный метод с чебышевскими параметрами. Данный метод подрооно рассмотрен в З 6 гл. 2 ч.
11 применительно к системам линейных алгебраических уравнений Ар=1, (1) с положительно определенной симметричной матрицей А. Напомним необходимые для дальнейшего сведения, относящиеся к данному методу. Пусть выполнены операторные неравенства ~,Е(А =(,Е, (2) где у,>'(,)О, Š— единичная матрица. В качестве гм и у, можно взять, соответственно, наименьшее н наибольшее собственные значения матрицы А. Если точные собственные значения неизвестны, то под,, и у, можно подразумевать их границы, т. е. у,— нижняя (положительная) граница минимального собственного значения и у,— верхняя граница максимального собственного значения.
Явный итерационный метод для системы (1) имеет вид "+Ау~ — — ~, й=0,1,...,л — 1, (Э) тл где й — номер итерации, у,— приближенное решение системы (1), полученное на й-й итерации. Предполагается, что задано произвольное начальное приближение л,. В чебышевском итерационном методе параметры т„й=1, 2,..., л, подбираются таким образом, чтобы при заданном числе итераций и минимизировать погрешность йу„— у~1, возникающую па л-й итерации. Под пармой ~,'г~~ вектора л здесь понимается среднеквадратичная норма ~ч=(8 г)". В % 6 гл.
2 ч. П было показано, что оптимальными являются параметры т„, определенные следующим образом: — то = ° ро тп з ~ $ (4) + о, +, ° о — й=1,2,...,л. тг 2л Гели выбрать т„согласно (4), то для погрешности будет справедлива оценка Ь.— а!! ~б.Ь.— И, где 2г" 1 йл— +Р, (6) 389 Оценим число итераций и, необходимое для уменьшения начальной погрешности в 1/е раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
