Самарский А.А. Гулин А.В. - Численные методы (1078412), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Рассмотрим операторы В= В(со) = (Е+ ай*) (Е+ юй) = Е+ соА+ оззР.'й, В ( — ю) =(Š— сей')(Š— сой) = Š— озА + юай'й. Отсюда получим В (со) — В ( — ю) =2юА, В=В(со))2соА, следовательно, поскольку В( — ю) )О. Таким образом, А(Т,В, где Т,= (2со) Далее, учиттявая предположения (6), (7), получим В = Е + юА + юЧ7')7 ~ — А + соА + — А, б 4 Такнц образом. нз (7) следует неравенство Л йй*+ й*й( — (й+ й").
2 (9) С другой стороны, воспользовавшись тождеством 2(йэй, йй*] (йэ ~.й) э.~. (й* й) (й й) э йэй+йй') 0,6(й'+ й)'. получим Отсюда н из (9) приходим к неравенству (й'-;'й) э( Л (й'+ й) „ т. е. А= Т,В, где константа 7, определена согласно (8). Лемма 1 доказала.
3 а меч ание 1. В качестве константы б в условии (б) можно взять минимальное собственное значение Хмм(А) оператора А или любую положительную постоянную, не превосходящую лись(А). Замечание 2. Докажем, что еслв выполнено условие (7) с некоторой константой Л>0, то при А=йэ+й>0 выполняетсн неравенство Л-элж,х (А), где йж„ (А) — максимальное собственное значение оператора А.
Преобразуем (7) с помощью следующей цепочки экчивалентных преобразований (см. п,4 й С гл. З): Л Л Л й*й < — (й*+ й), Е ( — (й '+ й' с), йй* ~ — (й+ й'). 4 4 которое эквивалентно неравенству А = й*+ й( ЬЕ, означающему, что Хы„з(А) (д. Учитывая замечание 1, внанм, что если выполнены неравенства (6), (7) и Хты(А) чаХыяа(А), то Ь)6.
Обратимся теперь к исследованию сходимости попеременпотпеугольного итерационного метода. Теор ем а 1. Предположим, что А=)('+)с и существуют положитсльньзе постоянные 6, Л, при которых вечяолнены неравенства А)6Е, 4Р.'К =ЛА. Пусть со=, т= 2 2 (10') У66 ' та+та ' где "та= . с= "та= (11 7 2 (1 + Р а) Тогда итерационный метод (2), (3) сходится, причем для погретиности справедлива оценка ((у,— у(! ~р"((у.— у((, (12) где 1 — )~6 (1Зр !в 31/$ Д о к а з а т е л ь с т в о. В лемме 1 установлено, что при любом ю)0 операторы А и В рассматриваемого итерационного метода связаны неравенствами (5), где т,=т,(от) и т,=та(ю) определены согласно (8). Поэтому выполнены все предположения теоремы 1 из 3 4 гл.
2 ч. П о сходимости стационарных итерационных методов с самосопряженными операторами А и В. Согласно этой теореме, для выполнения оценки (!2) с константой р=-= т(=— 1+и ' т,(ы) достаточно положить т=2((Т,+7а). Выберем теперь параметр то так, чтобы минимизировать р. Для этого достаточно найти значение ю=ю„ при котором функция )( )=и '= т' тт (ы) достигает максимума. Из формул (8) имеем 1 1 I ! ыа) 1( )= — + — ~ — + — ), 2 2(ы6 4/ откуда видно, что 1(ю) достигает максимума при то=аз.=2/116Л. Подставляя от=о, в выражения (8) для 7, и йы получим нх значения, совпадающие с (11). При этом для константы 1 — ч тз (М 21'6 Р= '1= 1+я' тз(ыа) 1+у'Г получаем выражение (13).
Теорема 1 доказана. 397 2. Применение к модельной задаче. Рассмотрим модельную задачу — д,— д — д — „, =Ц, 1, 1=1,2,..., М вЂ” 1, йФ=1, (14) до=У,х=О, доо=дх~=О, 1, 1=1, 2,, Л' — 1 Введем пространство Н функций, заданных на сетке Й=(хп =(х',", хо ), х,п=!й, хх =!й);у=о и) и! еи ° ш ° м и обращающихся в нуль на ее границе.
Определим в Н скалярное произведение Ф-х (д, и) = ~ ддпий а,/=х и норму ~!д!!=)!(д, д). Задача (14) записывается как операторное уравнение (1) в пространстве Н, где оператор А определен следующим образом: (Ад)н = — д-„х, — д„- и, 1, !'=1, 2,..., Н вЂ” !. (15) Этот оператор является самосопряженным и положительным. Для того чтобы применить к системе (14) попеременно-треугольный итерационный метод, необходимо представить матрицу оператора (15) в виде А=-!7+)!', где Я вЂ” нижняя треугольная матрица, и найти константы б и Л, входящие в неравенства (6), (7).
Запишем (15) в виде ) х, ХГ х„д Уход Ух„» У вЂ” .+У— дд й й или, более подробно, в виде 1 /Ун УО-ь! + УП Уьг-о ) й( й й — -~ !У"" Уи + Уш" "1 . (16) и (, й з Тем самым оператор А представлен как сумма двух операторов, А=Я+Н, где ! (Нд)И = —, Ьгч „+ д-„„), (17) ! (ид)д = (д„.д ) д„„!). Нетрудно понять, что матрица оператора Я является нижней треугольной, а матрица оператора Н вЂ” верхней треутольной. Чтобы убедиться в этом, достаточно записать систему двумерных разностных уравнений (14) в виде одномерной системы (5) из $ 1. 398 Более того, оператор 0 является сопряженным оператору Я в пространстве Н.
Для доказательства вычислим скалярное произведение (Ру, о), где у и и — любые сеточные функции, заданные на сетке 1) и обращающиеся в нуль на ее границе. По определению оператора Р имеем У ~ Йь и) =;Я ((из — ы; — .!) + Ь! — Нс,- )] он = Сзев И-г = 2 ~ч' унан — ~ч~ ~~ уном,; — '~ '~7„унпс;„ С другой стороны, Ф-~ ч-1 и-~ (у, Нп) =- 2 ~ у,рн — '~~~ унпы„,у.— '~~унпс1„, с~=1 и, следовательно, У-~ Ф-~ (Ну, о) — (р, Нп) =ч'„(у —.,; м1 — Ым)+~ Ь, —.о — И.пв).
Выражение, стоящее в правой части последнего равенства, равно нулю в силу граничных условий. Таким образом, (Яу, о) = =(у, Уп) для любых у, о~Н, т. е. У=)т'. Искомое разложение А=Я+Я" получено. Докажем теперь неравенства (6), (7). Как уже отмечалось, в качестве константы б можно взять минимальное собственное значение оператора А, т.
е. 8 .з па б = — з)н'— а' 2 Проверим выполнение неравенства (7), которое означает, что 4!ЯуР ='Ь(Ау, у) (18) для любого уенН. Как показано в п. 2 $ 2 гл. 3, справедливо тождество У Ф вЂ” 1 н-~ ч (Ар, Н) =;К;К (р- -)э й'+ 3 ~ Ь- ")'йэ С другой стороны„ из определения (17) оператора Я следует, что Ф-ь '1' яу '1з = — ~ч' (у — + у — )' йэ ! с/=1 и поэтому Ь'-1 Ф-1 11яиг< —,~ 3 ь;„„)'~'~- 3 ь;.„;Г~)~ —,(Фэ. ~,ну=~ н! =~ 399 Таким образом, требуемое неравенство (18) выполнено с константой Л=8/Ла. Заметим, что константа Л в данном случае незначительно отличается от максимального собственного значения оператора А, 3 а ай которое равно — соза — . йа 2 Чтобы окончательно задать попеременно-треугольный метод для решения системы (14), надо в соответствии с теоремой ! определить параметры и) и т.
Подставляя найденные выражения для б, Л в формулы (1О), (11), получим т/0 . пй г~$= йа — =5!п —, а 2 )'бЛ = — "з)п "— ", йа 2 Пй 25)п— 2 =- п1), Пй 1+ Мп— 2 т) 9= — = та (19) Пй ) й' (1+ Мп— 2! 2й 5!П 1 + 35)П 2 ~ 2 ) йа й й У' 2п 45)П 2 Константа р из оценки (12) в данном случае равна 1 — Мп 2 р= =1 — 2яй. Пй 1+35!п— 2 Поэтому при малых й число итераций а,(е), необходимых для получения заданной точности е, оценивается как ЙО (5) ' 1и ()ат) 2пй (20) 400 Алгоритм нахождения значений у(";"и на новой итерации Й+1 в соответствии с (4а), (4б) состоит в следующем.
На первом этапе решается система уравнений )аа)0 )м-)1) Фтн) !яана) 1 !йаи) П) П)аа,) У)) а Уа',) а У)) (5) ),1=1,2, ..., М вЂ” 1, (21) у)и~'и~ — О, 1=1,2, ..., Аг — 1, где )Р)) = (1)У!5))я — т(АУ)аа) 0+т()п из котоРой находЯтсЯ пРомежУточ- ные значения у '. На втором этапе решается система уравнений ц»и) 9+и ~»хн (»лн (»тп а н, »» (яп я~-ь(, нп и,~'-» ) (»»и) 1.1=1, 2, ....
И вЂ” 1, (22) /=1,2, ..., Ф вЂ” 1, 1=1,2, ..., М вЂ” 1. Параметры»» и т выбираются здесь согласно (19). Уравнения (21) следует начинать решать с точки (=М вЂ” 1, 1=л1 — 1. В этой точке, учитывая граничные условия (»»М~) (»»Ф п».,э-, = О, рн-,я = О, уравнение (21) можно записать в виде ( (»~Ф [»»н) ~»»,н, и ( ам — ь а-», ал'-ья-» 1 (») а ~ а а (»»'Д,) откуда сразу же найдем у~»'„~н~,.
Далее, проводим вычисления в точке (=Ж вЂ” 2, 1=1»" — 1 и находим рн,,н „затем продвигаемся й»н) влево еще на одну точку и т. д. После нахождения у~:,и~~~ перехо- дим в точку (=Л' — 1, )=Ю вЂ” 2 и т. д, Таким образом вычисления по формулам (21) осуществляются явным образом, причем счет ведется, начиная с правого верхнего угла области 0 (от точки (=У вЂ” 1„1'=Л' — 1) и нплоть до левого нижнего угла (до точки 1=1, 1=11 Система уравнений (22) решаетсн аналогично, однако вычис- ления здесь начинаются в точке 1=1, 1=1 н заканчиваются в точ- ке 1= М вЂ” 1, 1= Л' — 1.
3. Попеременно-треугольный метод с чебышевскнми итерацион- ными параметрами. Как мы только что видели, попеременно-тре- угольный итерационный метод с постоянным параметром т при ре- шении разностных краевых задач требует 0(й ') итераций для достижения заданной точности. Покажем теперь, что использова- ние итерационного метода В " +Ау»=~, й=О, 1, ..., и — 1, у» н — а» »»» А = Я'+Я, В = (Е+»»Я') (Е+а»й) (24) при соответствующем выборе параметров т„а» позволяет сократить число итераций до 0(й»). Воспользуемся теоремой 3 из $6 гл. 2 ч. П о сходимости неявного чебышевского итерационного метода. Согласно этой теореме, прп заданном числе итераций п параметры т, выбираются по пра- вилу т»=, ", й=!, 2...,, и, ~ т по»» 14 А.
» сам»асккй, » В. Г>лнн (25) 40! 2 ! — в тс (2Ф вЂ” 1) и где т,= — рь= — ° с)= —, (е —— соз ус+ус 1+Ч Те 2п й = 1, 2, ..., и, Ть Т,— константы из неравенства (5). При этом для малых с1 число итераций п,(е), необходимых для получения заданной точности е, примерно равно (п (2/е) п,(е)==. 2 )сс( Остается заметить, что для операторов (24) константы (, н т, определены согласно (111 н в случае задачи (14) согласно (19) имеем с) п)с и поэтому При практическом применении данного метода следует использовать итерационные параметры т, в том порядке, которып обеспечивает вычислительную устойчивость. 4. Модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод. Зададим диагональную матрицу О с положительными элементами на диагонали и будем рассматривать итерационный и год (2), где В= (О+сеЯ')О с(О+сеЯ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
